Торлы полигонның ауданы: Пик теоремасы

Кіріспе

Торлы көпбұрыш ауданы үшін формула күрделі талдаудағы теорема. Геометрияда Пик теоремасы, бүтін санды координаталары бар қарапайым көпбұрыш ауданын, оның ішіндегі және шекарасындағы бүтін санды нүктелер саны арқылы есептейтін формула береді. Бұл нәтижені алғаш рет 1899 жылы Георг Александр Пик сипаттаған. Оны 1950 жылы Хьюго Стейнхаус өзінің "Математикалық суреттер" кітабының ағылшын тіліндегі басылымында кеңінен таныстырды. Теореманың бірнеше дәлелдемелері бар және оны кейбір жағдайда қарапайым емес көпбұрыштар үшін де қолдануға болады.

Формуласы

Көпбұрыштың барлық төбелері бүтін сандық координаталармен берілген деп есептейік. көпбұрыштың ішкі бөлігіндегі бүтін нүктелер саны болсын, ал көпбұрыштың шекарасындағы бүтін нүктелер саны болсын (төбелер мен қабырғаларындағы нүктелерді қоса алғанда). Онда осы көпбұрыштың ауданы:

Мысалда көрсетілгеніндей, ішкі нүкте және шекаралық нүкте болса, оның ауданы квадрат бірлікке тең.

Оулер формуласы арқылы

Бір теореманың дәлелі көпбұрышты үш бүтін координатасы бар және басқа бүтін координатасы жоқ үшбұрыштарға бөлуді қамтиды. Осылайша, әрбір бөлінген үшбұрыштың ауданы дәл болады. Сондықтан, бүкіл көпбұрыштың ауданы бөліністегі үшбұрыштар санын екіге бөлуге тең. Ауданы осылайша үшбұрыштар санымен байланыстырғаннан кейін, дәлелдеу Эйлердің полиэдр формуласын пайдаланып, үшбұрыштар санын көпбұрыштағы тор нүктелерінің санына байланыстырады. Осы дәлелдің бірінші бөлігі үш бүтін координатасы бар және басқа бүтін координаталары жоқ үшбұрыштың ауданы дәл екенін көрсетеді, өйткені Пик формуласы осылай айтады. Дәлелдеуде барлық үшбұрыштар жазықтықты жабады және іргелес үшбұрыштар ортақ қабырғасы бойынша бір-бірінен 180° бұрылады деген фактілер пайдаланылады. Үш бүтін координатасы бар үшбұрыштармен жабатын жазықтықтағы әрбір бүтін тор нүктесі алты жабын нүктесі болып табылады. Үшбұрыш нүктесіндегі үшбұрыштар саны (алты) үшбұрыш нүктесіндегі тор нүктелерінің санынан (үш) екі есе көп болғандықтан, үшбұрыштар тор нүктелеріне қарағанда жазықтықта екі есе тығыз. Жазықтықтың кез келген масштабталған аймағында үшбұрыштар саны (масштабтық коэффициент шексізге жақындағанда) оның құрамындағы тор нүктелерінің санынан екі есе көп. Сондықтан, әрбір үшбұрыштың ауданы , дәлелдеу үшін қажет. Осы үшбұрыштардың ауданы бар екенін дәлелдейтін басқа дәлел симметриялық дөңес жиынтықтағы тор нүктелері туралы Минковский теоремасын қолдануға негізделген. Бұл Пик формуласын осы арнайы үшбұрыштардың бірі үшін дәлелдейді. Кез келген басқа көпбұрышты арнайы үшбұрыштарға бөлуге болады: көпбұрыш ішінде тор нүктелерінің жұптары арасында қиылыспайтын сызық сегменттерін қосыңыз, осылайша ешқандай сызық сегментін қосу мүмкін болмайды. Осылайша бөлінбейтін жалғыз көпбұрыш - жоғарыда қарастырылған арнайы үшбұрыш; сондықтан, алынған бөліністе тек арнайы үшбұрыштар ғана пайда болады. Әрбір арнайы үшбұрыштың ауданы болғандықтан, ауданы бар көпбұрыш арнайы үшбұрыштарға бөлінеді. Көпбұрышты үшбұрыштарға бөлу жазықтық графын құрайды, ал Эйлер формуласы кез келген жазықтық графтың төбелерінің, қабырғаларының және жақтарының санына қатысты теңдеу береді. Төбелер - көпбұрыштың тор нүктелері ғана, олардың саны . Жақтар - бөліністің үшбұрыштары және көпбұрыштан тыс жазықтықтың бір аймағы. Үшбұрыштар саны , сондықтан барлығы жақ бар. Қабырғаларды санау үшін, бөліністе үшбұрыштардың қабырғалары бар екенін байқаңыз. Көпбұрыштың ішкі әрбір қабырғасы екі үшбұрыштың қабырғасы болып табылады. Алайда, көпбұрыштың шекарасында орналасқан және тек бір үшбұрыштың құрамына кіретін үшбұрыштардың қабырғалары бар. Сондықтан үшбұрыштардың қабырғаларының саны , бұл қабырғалар санын табуға мүмкіндік беретін теңдеуге бағынады. Бұл мәндерді , , үшін қосып, Эйлер формуласына қосу Пик формуласын береді. Бұл сызықтық теңдеуді шешу арқылы алынған. Басқа бағытта да жүруге болады, Пик теоремасын (басқаша дәлелденген) Эйлер формуласын дәлелдеудің негізі ретінде пайдалануға болады.

One proof of this theorem involves subdividing the polygon into triangles with three integer vertices and no other integer points. One can then prove that each subdivided triangle has area exactly Therefore, the area of the whole polygon equals half the number of triangles in the subdivision. After relating area to the number of triangles in this way, the proof concludes by using Euler's polyhedral formula to relate the number of triangles to the number of grid points in the polygon. The first part of this proof shows that a triangle with three integer vertices and no other integer points has area exactly , as Pick's formula states. The proof uses the fact that all triangles tile the plane, with adjacent triangles rotated by 180° from each other around their shared edge. For tilings by a triangle with three integer vertices and no other integer points, each point of the integer grid is a vertex of six tiles. Because the number of triangles per grid point (six) is twice the number of grid points per triangle (three), the triangles are twice as dense in the plane as the grid points. Any scaled region of the plane contains twice as many triangles (in the limit as the scale factor goes to infinity) as the number of grid points it contains. Therefore, each triangle has area , as needed for the proof. A different proof that these triangles have area is based on the use of Minkowski's theorem on lattice points in symmetric convex sets. This already proves Pick's formula for a polygon that is one of these special triangles. Any other polygon can be subdivided into special triangles: add non crossing line segments within the polygon between pairs of grid points until no more line segments can be added. The only polygons that cannot be subdivided in this way are the special triangles considered above; therefore, only special triangles can appear in the resulting subdivision. Because each special triangle has area , a polygon of area will be subdivided into special triangles. The subdivision of the polygon into triangles forms a planar graph, and Euler's formula gives an equation that applies to the number of vertices, edges, and faces of any planar graph. The vertices are just the grid points of the polygon; there are of them. The faces are the triangles of the subdivision, and the single region of the plane outside of the polygon. The number of triangles is , so altogether there are faces. To count the edges, observe that there are sides of triangles in the subdivision. Each edge interior to the polygon is the side of two triangles. However, there are edges of triangles that lie along the polygon's boundary and form part of only one triangle. Therefore, the number of sides of triangles obeys the equation , from which one can solve for the number of edges, Plugging these values for , , and into Euler's formula gives

Pick's formula is obtained by solving this linear equation for An alternative but similar calculation involves proving that the number of edges of the same subdivision is , leading to the same result. It is also possible to go the other direction, using Pick's theorem (proved in a different way) as the basis for a proof of Euler's formula.

Басқа дәлелдемелер

Пик теоремасының Эйлер формуласын қолданбайтын баламалы дәлелдемелері мыналарды қамтиды. Берілген көпбұрышты үшбұрыштарға рекурсивті түрде бөлуге болады, мұнда бөліністің кейбір үшбұрыштарының ауданы 1/2-ден үлкен болуы мүмкін. Пик формуласында қолданылатын аудан мен нүктелер саны бір-бірімен үйлесімді түрде қосылады, сондықтан Пик формуласының жалпы көпбұрыштар үшін дұрыстығы үшбұрыштар үшін дұрыстығынан туындайды. Кез келген үшбұрыш өзінің шекаралық тіктөртбұрышын үшбұрыштың өзіне және қосымша тікбұрыштарға бөледі, ал шекаралық тіктөртбұрыш пен тікбұрыштардың аудандарын есептеу оңай. Бұл аудан есептеулерін біріктіру арқылы Пик формуласы үшбұрыштар үшін, ал үшбұрыштарды біріктіру арқылы Пик формуласы кез келген көпбұрыштар үшін шығарылады. Балама ретінде, тор нүктелеріне ортақталған тор шаршыларын пайдаланудың орнына, тор нүктелерінде төбелері бар тор шаршыларын пайдалануға болады. Бұл тор шаршылары берілген көпбұрышты бөліктерге бөліп, оларды (көпбұрыштың әр қабырғасы бойымен шаршылардың жұптарын сәйкестендіру арқылы) бірдей ауданға ие полиоминоға қайта орналастыруға мүмкіндік береді. Пик теоремасы Вейерштрасс эллиптік функцияларымен байланысты екі рет периодты функцияның күрделі интеграциясына негізделген дәлелдеме арқылы да көрсетілуі мүмкін. Пойсоннің қосынды формуласын көпбұрыштың сипаттамалық функциясына қолдану тағы бір дәлелге әкеледі. Пик теоремасы 1999 жылы "топ 100 математикалық теорема" веб-тізіміне енгізілді, кейіннен Фрик Видейк оны әртүрлі дәлелдеу құралдарының күшін сынау үшін эталондық жиынтық ретінде пайдаланды. 2024 жылға қарай Пик теоремасы Видейк тіркеген он дәлелдеу құралының тек біреуінде ғана формалданып, дәлелденді.

Жалпылау

Пик теоремасының қарапайым емес көпбұрыштарға жалпылануы күрделірек және тек ішкі және шекаралық төбелер санынан гөрі көбірек ақпаратты қажет етеді. Мысалы, ішінде h тесігі бар, бір-бірінен және шекарадан бөлек жатқан қарапайым бүтін санмен шектелген көпбұрыштың ауданы

Сонымен қатар, Пик теоремасын аймақтың Эйлер сипаттамасы мен оның шекарасын пайдалана отырып, қосымша шарттарды қолдану арқылы, бүтін координаталары бар күрделі жазық сызықтық графтармен шектелген аймақтарға немесе өзін-өзі қиып өтетін жалғыз шекаралы көпбұрыштарға, әрбір бүтін нүкте төңірегіндегі көпбұрыштың оралу санын, сондай-ақ оның жалпы оралу санын қамтитын формула арқылы жалпылауға болады. Үш өлшемді Рив тетраэдрінің төрт бүтін нүктесі бар және басқа бүтін нүктелер жоқ, бірақ олардың барлығы бірдей көлемге ие емес. Сондықтан, үш өлшемде Пик теоремасының аналогы жоқ, ол көпбұрыштың көлемін тек ішкі және шекаралық нүктелер санының функциясы ретінде көрсетеді. Дегенмен, бұл көлемдерді Эрхарт полиномдарын қолдану арқылы көрсетуге болады.

Қатысушы тақырыптар

Басқа да бірнеше математикалық тақырыптар аймақтардың аудандарын тор нүктелерінің санымен байланыстырады. Блихфельдт теоремасы кез келген пішіннің ауданына тең немесе одан көп тор нүктелерін қамту үшін жылжытылуы мүмкін екенін көрсетеді. Гаусс шеңбері мәселесі шеңберлердегі аудан мен тор нүктелерінің саны арасындағы айырманы шектеуге қатысты. Дөңес көпбұрыштардағы бүтін нүктелерді санау мәселесі математика мен компьютерлік ғылымның әртүрлі салаларында кездеседі. Қолданыс салаларында нүктелік планметр – пішіннің ауданын оның ішіндегі тор нүктелерін санау арқылы бағалауға арналған мөлдір құрылғы. Фарей тізбегі – шектелген бөлімдері бар рационал сандардың реттелген тізбегі, оның талдауы Пик теоремасын пайдаланады. Көпбұрыштың ауданын есептеудің тағы бір оңай әдісі – бағдарламашының формуласы. Ол кез келген қарапайым көпбұрыштың ауданын оның көршілес төбелерінің координаттарынан есептелген мүшелердің қосындысы ретінде береді. Пик теоремасынан өзгеше, бағдарламашының формуласы төбелердің бүтін сандық координаттарын талап етпейді.