Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Екі жұп параллель қабырғасы бар төртбұрыш – төртбұрышты пішін.
Quadrilateral with two pairs of parallel sides
the quadrilateral shape
Евклид геометриясында параллелограмм – екі жұп параллель қабырғасы бар, қарапайым (өзін-өзі қиып өтпейтін) төртбұрыш. Параллелограмның қарама-қарсы жақтары тең ұзындықта болады және қарама-қарсы бұрыштары тең өлшемде болады. Қарама-қарсы жақтар мен қарама-қарсы бұрыштардың сәйкес келуі Евклидтің параллельдік постулатының тікелей салдары болып табылады, және бұл шарттың ешқайсысын Евклидтің параллельдік постулатына немесе оның баламалы тұжырымдамаларына сілтеме жасамай дәлелдеу мүмкін емес. Алыстан қарағанда, кем дегенде бір жұп параллель қабырғасы бар төртбұрыш американдық ағылшын тілінде трапеция, ал британдық ағылшын тілінде трапеций деп аталады. Параллелограмның үш өлшемді аналогы – параллелепипед. Бұл сөз грек тіліндегі παραλληλό γραμμον (parallēló grammon) сөзінен шыққан, ол "параллель сызықтар" деген мағынаны білдіреді.
In Euclidean geometry, a parallelogram is a simple (non self intersecting) quadrilateral with two pairs of parallel sides. The opposite or facing sides of a parallelogram are of equal length and the opposite angles of a parallelogram are of equal measure. The congruence of opposite sides and opposite angles is a direct consequence of the Euclidean parallel postulate and neither condition can be proven without appealing to the Euclidean parallel postulate or one of its equivalent formulations. By comparison, a quadrilateral with at least one pair of parallel sides is a trapezoid in American English or a trapezium in British English. The three dimensional counterpart of a parallelogram is a parallelepiped. The word comes from the Greek παραλληλό γραμμον, parallēló grammon, which means a shape "of parallel lines".
Ерекше жағдайлар
Тіктөртбұрыш – Төрт бұрышы тең өлшемді (тұрық бұрыштар) параллелограмм. Ромб – Төрт қабырғасы тең ұзындықтағы параллелограмм. Тіктөртбұрыш та, ромб та емес кез келген параллелограмм бұрын ромбоид деп аталған, бірақ бұл термин қазіргі математикада қолданылмайды. Квадрат – Төрт қабырғасы тең ұзындықтағы және бұрыштары тең өлшемді (тұрық бұрыштар) параллелограмм.
Rectangle – A parallelogram with four angles of equal size (right angles). Rhombus – A parallelogram with four sides of equal length. Any parallelogram that is neither a rectangle nor a rhombus was traditionally called a rhomboid but this term is not used in modern mathematics. Square – A parallelogram with four sides of equal length and angles of equal size (right angles).
Басқа қасиеттері
Паралелограммның қарама-қарсы жақтары параллель (анықтама бойынша) және сондықтан ешқашан қиылыспайды. Паралелограммның ауданы оның диагональдарының бірімен құрылған үшбұрыштың ауданынан екі есе көп. Паралелограммның ауданы сондай-ақ екі іргелес жақтың векторлық көбейтіндісінің шамасына тең. Паралелограмның орта нүктесінен өтетін кез келген түзу ауданын екіге бөледі. Кез келген дегенерацияланбаған аффиндік түрлендіру параллелограмды басқа параллелограмға айналдырады. Паралелограммның айналу симметриясы 2-ші рет (180° бұрылыс арқылы) (немесе квадрат болған жағдайда 4-ші рет) болады. Егер оның дәл екі көрістіру симметриясы болса, онда ол ромб немесе тіктөртбұрыш (квадрат емес) болуы керек. Егер оның төрт көрістіру симметриясы болса, онда ол квадрат болады. Паралелограммның периметрі 2(a + b) тең, мұнда a және b – іргелес жақтарының ұзындығы. Басқа дөңес көпбұрыштардан айырмашылығы, параллелограммды оның ауданынан екі есе кем үшбұрышқа сыйыстыру мүмкін емес. Паралелограмның жақтарына ішкі немесе сыртқы жағынан салынған төрт квадраттың орталары квадраттың төбелерін құрайды. Егер параллелограмның жақтарына параллель екі түзу диагональмен бірге салынса, онда осы диагональдің қарама-қарсы жақтарында пайда болған параллелограмдардың аудандары тең болады. Егер параллелограмм екі іргелес жақтың B және C ұзындықтарымен және диагональдің D1 ұзындығымен анықталса, онда ауданын Герон формуласы арқылы табуға болады. Атап айтқанда, ол мынадай:
Opposite sides of a parallelogram are parallel (by definition) and so will never intersect. The area of a parallelogram is twice the area of a triangle created by one of its diagonals. The area of a parallelogram is also equal to the magnitude of the vector cross product of two adjacent sides. Any line through the midpoint of a parallelogram bisects the area. Any non degenerate affine transformation takes a parallelogram to another parallelogram. A parallelogram has rotational symmetry of order 2 (through 180°) (or order 4 if a square). If it also has exactly two lines of reflectional symmetry then it must be a rhombus or an oblong (a non square rectangle). If it has four lines of reflectional symmetry, it is a square. The perimeter of a parallelogram is 2(a + b) where a and b are the lengths of adjacent sides. Unlike any other convex polygon, a parallelogram cannot be inscribed in any triangle with less than twice its area. The centers of four squares all constructed either internally or externally on the sides of a parallelogram are the vertices of a square. If two lines parallel to sides of a parallelogram are constructed concurrent to a diagonal, then the parallelograms formed on opposite sides of that diagonal are equal in area. When the parallelogram is specified from the lengths B and C of two adjacent sides together with the length D1 of either diagonal, then the area can be found from Heron's formula. Specifically it is
мұнда және жетекші коэффициент 2 – таңдалған диагоналдың параллелограмды екі конгруэнтті үшбұрышқа бөлетінімен байланысты.
where and the leading factor 2 comes from the fact that the chosen diagonal divides the parallelogram into two congruent triangles.
Бағаналық координаттарынан
Векторлар a және b болсын, және a мен b элементтерінен құралған матрицаны білдірсін. Онда a және b векторларымен құрылған параллелограммның ауданы келесіге тең болады:
Векторлар a және b болсын, және a мен b элементтерінен құралған матрицаны білдірсін. Онда a және b векторларымен құрылған параллелограммның ауданы келесіге тең болады:
Нүктелер a, b және c болсын. Онда a, b және c нүктелерімен құрылған параллелограммның бағытталған ауданы, a, b және c-ні қатарлар ретінде пайдаланып, соңғы бағаны біліктермен толтырылған матрицаның анықтамасына тең болады:
Let vectors and let denote the matrix with elements of a and b. Then the area of the parallelogram generated by a and b is equal to
Let vectors and let Then the area of the parallelogram generated by a and b is equal to
Let points Then the signed area of the parallelogram with vertices at a, b and c is equivalent to the determinant of a matrix built using a, b and c as rows with the last column padded using ones as follows:
Автомедианды үшбұрыш
Автомедианды үшбұрыш – медиандары қабырғаларымен бірдей пропорциядағы (бірақ басқа ретпен) үшбұрыш. Егер ABC автомедианды үшбұрыш болса, онда A төбесі a қабырғасына қарама-қарсы жатса, G – центроид (ABC үшбұрышының үш медианасы қиылысатын нүкте), ал AL – ABC үшбұрышының созылған медианаларының бірі, L нүктесі ABC-нің сырттай шеңберінің үстінде жатса, онда BGCL – параллелограмм.
An automedian triangle is one whose medians are in the same proportions as its sides (though in a different order). If ABC is an automedian triangle in which vertex A stands opposite the side a, G is the centroid (where the three medians of ABC intersect), and AL is one of the extended medians of ABC with L lying on the circumcircle of ABC, then BGCL is a parallelogram.
Эллипстің тангенстік параллелограммасы
Эллипстің екі диаметрі, егер және тек қана бір диаметрдің соңындағы эллипске жанасатын түзу екінші диаметріне параллель болса, қосымша диаметрлер деп аталады. Эллипстің қосымша диаметрлерінің әрбір жұбына сәйкес тангенс параллелограмы бар, кейде оны шектеуші параллелограмм деп атайды, ол қосымша диаметрлердің төрт соңындағы эллипске жанасатын түзулермен құралады. Белгілі бір эллипстің барлық тангенс параллелограммаларының ауданы бірдей. Эллипсті кез келген қосымша диаметрлер жұбынан немесе кез келген тангенс параллелограмынан қайта құруға болады.
For an ellipse, two diameters are said to be conjugate if and only if the tangent line to the ellipse at an endpoint of one diameter is parallel to the other diameter. Each pair of conjugate diameters of an ellipse has a corresponding tangent parallelogram, sometimes called a bounding parallelogram, formed by the tangent lines to the ellipse at the four endpoints of the conjugate diameters. All tangent parallelograms for a given ellipse have the same area. It is possible to reconstruct an ellipse from any pair of conjugate diameters, or from any tangent parallelogram.
Паралелепипедтің беттері
Паралелепипед – алты жағы параллелограмм болған үш өлшемді фигура.
A parallelepiped is a three dimensional figure whose six faces are parallelograms.