Статистикалық өзара әрекеттесулер және олардың түрлері

Статистикадағы өзара әрекеттесу – үш немесе одан көп айнымалы арасындағы тәуелділік. Бір фактордың әсері екінші факторға байланысты. Регрессия, эксперименттерде маңызды.

7 мин оқу

100%

Дереккөз: Interaction (statistics) — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Статистикалық термин
Статистикада өзара әрекеттесу үш немесе одан көп айнымалылардың арақатынасын қарастырғанда туындауы мүмкін, және ол бір себептік айнымалының нәтижесі екінші себептік айнымалының күйіне байланысты болатын жағдайды сипаттайды (яғни екі себептің әсерлері қосымша емес). Көбінесе себеп-салдарлық қатынастар тұрғысынан қарастырылғанмен, өзара әрекеттесу түсінігі себеп-салдарлық емес байланыстарды да сипаттауы мүмкін (онда ол әсерді баяулату немесе өзгерту деп те аталады). Өзара әрекеттесулер көбінесе регрессиялық талдаулар немесе факторлық эксперименттер контекстінде қарастырылады. Өзара әрекеттесудің болуы статистикалық модельдерді түсіндіруде маңызды рөл атқарады. Егер екі қызығушылық тудыратын айнымалы өзара әрекеттессе, әрбір өзара әрекеттесетін айнымалы мен үшінші "тәуелді айнымалының" арасындағы қатынас екінші өзара әрекеттесетін айнымалының мәніне байланысты болады. Практикада бұл айнымалының мәнін өзгертудің салдарына болжам жасауды қиындатады, әсіресе егер өзара әрекеттесетін айнымалыларды өлшеу немесе бақылау қиын болса. "Өзара әрекеттесу" ұғымы әлеуметтік және денсаулық ғылымдарындағы зерттеулерде жиі кездесетін баяулату ұғымымен тығыз байланысты: түсіндірме айнымалы мен орта айнымалы арасындағы өзара әрекеттесу түсіндірме айнымалының әсері орта айнымалымен баяулатылған немесе өзгертілгенін көрсетеді. A және B арасындағы сандық өзара әрекеттесу – B әсерінің шамасы A мәніне байланысты, бірақ B әсерінің бағыты барлық A үшін тұрақты болады. A және B арасындағы сапалық өзара әрекеттесу – әрбір айнымалының әсерінің шамасы мен бағыты екінші айнымалының мәніне байланысты болатын жағдайды білдіреді. Төмендегі сол жақтағы орташа мәндер кестесі сандық өзара әрекеттесуді көрсетеді – A емделуі B берілген кезде де, B берілмеген кезде де пайдалы, бірақ B берілмеген кезде пайдасы жоғары (яғни A жалғыз берілген кезде). Оң жақтағы орташа мәндер кестесі сапалық өзара әрекеттесуді көрсетеді. A, B берілген кезде зиянды, бірақ B берілмеген кезде пайдалы. Егер біз A берілгендігіне байланысты B пайдасын қарастырсақ, дәл осындай түсінік қолданылады. B = 0 B = 1 B = 0 B = 1 A = 0 2 1 A = 0 2 6 A = 1 5 3 A = 1 5 3

Statistical term
In statistics, an interaction may arise when considering the relationship among three or more variables, and describes a situation in which the effect of one causal variable on an outcome depends on the state of a second causal variable (that is, when effects of the two causes are not additive). Although commonly thought of in terms of causal relationships, the concept of an interaction can also describe non causal associations (then also called moderation or effect modification). Interactions are often considered in the context of regression analyses or factorial experiments. The presence of interactions can have important implications for the interpretation of statistical models. If two variables of interest interact, the relationship between each of the interacting variables and a third "dependent variable" depends on the value of the other interacting variable. In practice, this makes it more difficult to predict the consequences of changing the value of a variable, particularly if the variables it interacts with are hard to measure or difficult to control. The notion of "interaction" is closely related to that of moderation that is common in social and health science research: the interaction between an explanatory variable and an environmental variable suggests that the effect of the explanatory variable has been moderated or modified by the environmental variable. A quantitative interaction between A and B is a situation where the magnitude of the effect of B depends on the value of A, but the direction of the effect of B is constant for all A. A qualitative interaction between A and B refers to a situation where both the magnitude and direction of each variable's effect can depend on the value of the other variable. The table of means on the left, below, shows a quantitative interaction — treatment A is beneficial both when B is given, and when B is not given, but the benefit is greater when B is not given (i. e. when A is given alone). The table of means on the right shows a qualitative interaction. A is harmful when B is given, but it is beneficial when B is not given. Note that the same interpretation would hold if we consider the benefit of B based on whether A is given. B = 0 B = 1 B = 0 B = 1 A = 0 2 1 A = 0 2 6 A = 1 5 3 A = 1 5 3

Сапалық және сандық өзара әрекеттесулердің айырмашылығы айнымалыларды қарастыру тәртібіне байланысты (керісінше, қосымшалық қасиеті айнымалылардың тәртібіне тәуелсіз). Келесі кестеде, егер біз A емделуінің әсеріне назар аударсақ, онда сандық өзара әрекеттесу бар – A емделуін беру B емделуі берілген немесе берілмеген жағдайда орташа нәтижені жақсартады (бірақ A емделуі жалғыз берілгенде пайдасы жоғары). Алайда, егер біз B емделуінің әсеріне назар аударсақ, сапалық өзара әрекеттесу бар – B емделуін A емделуін қабылдап жатқан адамға беру (орташа алғанда) жағдайды нашарлатады, ал B емделуін A емделуін қабылдамайтын адамға беру орташа есеппен нәтижені жақсартады. B = 0 B = 1 A = 0 1 4 A = 1 7 6

Бірлікпен емдеудің қосымшалығы

Ең қарапайым түрінде ем бірлігінің аддитивтілігі туралы болжам бойынша, ем j алған кезде i эксперименттік бірліктің yij байқалған жауабын yij = yi + tj сомасы түрінде жазуға болады. Бірлік емнің аддитивтілігін қабылдау, әрбір емнің әрбір эксперименттік бірлікке бірдей аддитивті әсер ететінін білдіреді. Кез келген эксперименттік бірлік тек бір емді қабылдай алатындықтан, бірлік емнің аддитивтілігі туралы болжам, Кокс пен Кемпторнның пікірінше, тікелей жоққа шығарылмайтын гипотеза болып табылады. Дегенмен, ем бірлігінің аддитивтілігінің көптеген салдары жоққа шығарылуы мүмкін. Кездейсоқ эксперимент үшін емнің аддитивтілігін қабылдау барлық емдер үшін дисперсия тұрақты екенін білдіреді. Сондықтан, кері тұжырым бойынша, бірлік емнің аддитивтілігі үшін қажетті шарт – дисперсияның тұрақты болуы. Бірлік емнің аддитивтілігінің қасиеті масштаб өзгергенде инвариантты емес, сондықтан статистиктер бірлік емнің аддитивтілігіне қол жеткізу үшін көбінесе түрлендірулерді қолданады. Жауап айнымалысы ықтималдық үлестірімдерінің параметрлік отбасына сәйкес келеді деп күтілсе, статистик (эксперимент немесе байқау зерттеуінің хаттамасында) жауаптардың дисперсиясын тұрақтандыру үшін түрлендірілуін нақтылай алады. Көптеген жағдайларда статистик жауаптарға логарифмдік түрлендірулерді қолдануға болады, олар көбейту моделін ұстанады деп есептеледі. Бірлік емнің аддитивтілігін Кемпторн мен Кокс эксперименттік жобалауда тұжырымдаған. Кемпторнның бірлік емнің аддитивтілігі мен рандомизациялауды қолдануы, шекті популяцияны зерттеудің үлгі алуын жобалауға негізделген талдауға ұқсас. Соңғы жылдары Дональд Рубиннің терминологиясын қолдану кең таралды, ол контрафактикалық талдауды пайдаланады. Екі топты салыстырып жатырмыз дейік. Мысалы, бірінші топқа медициналық жағдайға стандартты ем алған адамдар, ал екінші топқа белгісіз әсері бар жаңа ем алған адамдар кіруі мүмкін. "Контрафактикалық" тұрғысынан қарасақ, егер бұл адам бірінші топқа жатса, оның атрибуты y мәнін алса, ал егер ол екінші топқа жатса, оның атрибуты τ(y) мәнін алса, сол адамды қарастыра аламыз. "Бірлік емнің аддитивтілігі" туралы болжам – τ(y) = τ, яғни "ем әсері" y-ге тәуелді емес. Біз y және τ(y) екеуін де бір адам үшін бақылай алмаймыз, сондықтан бұл жеке деңгейде тексеруге болмайды. Алайда, бірлік емнің аддитивтілігі екі топ үшін F1 және F2 жиынтық үлестірім функциялары F2(y) = F1(y − τ) шартын қанағаттандыратынын білдіреді, егер 1 және 2 топтарға адамдардың тағайындалуы y-ге әсер ететін барлық басқа факторлардан тәуелсіз болса (яғни, араластырушы факторлар болмаса). Бірлік емнің аддитивтілігінің болмауы, емді тағайындаудың (мысалы, 1 немесе 2 топқа) және y-дің бастапқы немесе емделмеген мәнінің арасындағы өзара әрекеттесудің бір түрі ретінде қарастырылуы мүмкін.

In its simplest form, the assumption of treatment unit additivity states that the observed response yij from experimental unit i when receiving treatment j can be written as the sum yij = yi + tj. The assumption of unit treatment additivity implies that every treatment has exactly the same additive effect on each experimental unit. Since any given experimental unit can only undergo one of the treatments, the assumption of unit treatment additivity is a hypothesis that is not directly falsifiable, according to Cox and Kempthorne. However, many consequences of treatment unit additivity can be falsified. For a randomized experiment, the assumption of treatment additivity implies that the variance is constant for all treatments. Therefore, by contraposition, a necessary condition for unit treatment additivity is that the variance is constant. The property of unit treatment additivity is not invariant under a change of scale, so statisticians often use transformations to achieve unit treatment additivity. If the response variable is expected to follow a parametric family of probability distributions, then the statistician may specify (in the protocol for the experiment or observational study) that the responses be transformed to stabilize the variance. In many cases, a statistician may specify that logarithmic transforms be applied to the responses, which are believed to follow a multiplicative model. The assumption of unit treatment additivity was enunciated in experimental design by Kempthorne and Cox. Kempthorne's use of unit treatment additivity and randomization is similar to the design based analysis of finite population survey sampling. In recent years, it has become common to use the terminology of Donald Rubin, which uses counterfactuals. Suppose we are comparing two groups of people with respect to some attribute y. For example, the first group might consist of people who are given a standard treatment for a medical condition, with the second group consisting of people who receive a new treatment with unknown effect. Taking a "counterfactual" perspective, we can consider an individual whose attribute has value y if that individual belongs to the first group, and whose attribute has value τ(y) if the individual belongs to the second group. The assumption of "unit treatment additivity" is that τ(y) = τ, that is, the "treatment effect" does not depend on y. Since we cannot observe both y and τ(y) for a given individual, this is not testable at the individual level. However, unit treatment additivity implies that the cumulative distribution functions F1 and F2 for the two groups satisfy
F2(y) = F1(y − τ), as long as the assignment of individuals to groups 1 and 2 is independent of all other factors influencing y (i. e. there are no confounders). Lack of unit treatment additivity can be viewed as a form of interaction between the treatment assignment (e. g. to groups 1 or 2), and the baseline, or untreated value of y.

Категориялық айнымалылар

Кейде өзара әрекеттесетін айнымалылар нақты сандар емес, категориялық айнымалылар болып табылады, сондықтан зерттеу дисперсиялық талдау (ANOVA) мәселесі ретінде қарастырылуы мүмкін. Мысалы, халықтың мүшелері дін және кәсіп бойынша жіктелуі мүмкін. Егер адамның бойын оның діні мен кәсібіне ғана сүйеніп болжағыңыз келсе, қарапайым қосымша модель, яғни өзара әрекеттесу жоқ модель, жалпы орташа бойға белгілі бір дінге және белгілі бір кәсіпке сәйкес түзетулер қосады. Өзара әрекеттесуі бар модель, қосымша модельден өзгеше, сол дін мен кәсіп арасындағы "өзара әрекеттесуге" қосымша түзетулер енгізе алады. Бұл мысалдан кейін, "өзара әрекеттесу" сөзінің шартты екенін күмәндануға болады. Статистикалық тұрғыдан алғанда, категориялық айнымалылар арасындағы өзара әрекеттесудің болуы әдетте дисперсиялық талдаудың (ANOVA) бір түрін қолдану арқылы тексеріледі. Бірақ, егер бір немесе бірнеше айнымалылар үздіксіз болса, олар көбінесе модерацияланған көптік регрессия арқылы тексеріледі. Бұл модератордың екі басқа айнымалы арасындағы қатынастың күшіне әсер ететін айнымалы болғандықтан осылай аталады.

Жобаланған эксперименттер

Геничи Тагучи жүйеден өзара әрекеттесулерді жауап айнымалысын және түрлендіруді тиісті түрде таңдау арқылы жоюға болатынын айтты. Дегенмен, Джордж Бокс және басқалар мұның жалпы жағдайда орын алмайтынын дәлелдеді.

Қарым-қатынас сюжеттері

Қарым-қатынас графиктері, сонымен қатар қарапайым еңіс графиктері деп те аталады, олар айнымалылар арасындағы мүмкін өзара әрекеттесуді көрсетеді.

Мысал: Түрлер мен ауа температурасының өзара әрекеттесуі және олардың дене температурасына әсері

Әртүрлі түрлердің дене температурасын әртүрлі ауа температурасында, Фаренгейт градустары бойынша зерттеуді қарастырайық. Деректер төмендегі кестеде көрсетілген. Өзара әрекеттесу графигінде x-ось ретінде ауа температурасы немесе түрлер қолданылуы мүмкін. Екінші фактор өзара әрекеттесу графигіндегі сызықтар арқылы көрсетіледі. Екі фактордың (ауа температурасы және түрлердің) дене температурасына (құбылысқа) әсері өзара байланысты, себебі ауа температурасының әсері түрге қарай өзгереді. Бұл өзара әрекеттесу графикте сызықтардың параллель болмауы арқылы көрініс береді.

Мысал: инсульттің ауырлығы мен емдеудің сауығуға әсері

Екінші мысал ретінде, инсульт ауырлығы мен пациенттің өмір сүруіне дәрінің тиімділігі арасындағы өзара әрекеттесуді зерттейтін клиникалық сынақты қарастырайық. Деректер төмендегі кестеде көрсетілген. Өзара әрекеттесу графигінде жеңіл және орташа ауырлықтағы инсульт топтарының сызықтары параллель, бұл дәрінің екі топта да бірдей әсер ететінін көрсетеді, демек, өзара әрекеттесу жоқ. Ауыр инсульт тобының сызығы басқа сызықтармен параллель емес, бұл инсульт ауырлығы мен дәрінің тиімділігі арасында өзара әрекеттесу бар екенін көрсетеді. Ауыр инсульт тобының сызығы көлденең, бұл осы науқастардың арасында дәрілік препарат пен плацебо арасында өмір сүруде ешқандай айырмашылық жоқ екенін көрсетеді. Керісінше, жеңіл және орташа ауырлықтағы инсульт топтарының сызықтары оңға қарай төмендейді, бұл осы науқастардың арасында плацебо тобының өмір сүру көрсеткіші дәрімен емделген топқа қарағанда төмен екенін көрсетеді.

Қарым-қатынас үшін гипотезалық сынақтар

Елеулі өзара әсерлесулерді анықтау үшін дисперсиялық талдау және регрессиялық талдау пайдаланылады.

Мысал: печенье пісірудегі температура мен уақыт өзара әрекеттесуі

Пісіру температурасы мен пештегі уақыт сапалы печеньелердің өнімділігіне әсер ете ме? Кестеде 8 партия печенье туралы деректер көрсетілген. Деректер сапалы печеньелердің өнімділігі (i) температура жоғары және пеште уақыт қысқа болғанда, немесе (ii) температура төмен және пеште уақыт ұзақ болғанда ең жақсы екенін көрсетеді. Егер печеньелерді жоғары температурада ұзақ уақыт пеште қалдырса, олар күйіп, өнім төмендейді. График пен деректерден сызықтардың параллель емес екені анық көрінеді, бұл өзара әрекеттесудің бар екенін көрсетеді. Бұл дисперсиялық талдау (ANOVA) арқылы тексеруге болады. Бірінші ANOVA моделі өзара әрекеттесу мүшесін қамтымайды. Яғни, бірінші ANOVA моделі мүмкін өзара әрекеттесуді ескермейді. Екінші ANOVA моделі өзара әрекеттесу мүшесін қамтиды. Яғни, екінші ANOVA моделі өзара әрекеттесу бойынша гипотезаны нақты тексеріп шығарады.

ANOVA моделі 1: өзара әрекеттесу мерзімі жоқ; өнімділік ~ температура + уақыт

Өзара әсерлесуді ескермейтін ANOVA үлгісінде температураның да, уақыттың да өнімге елеулі әсері жоқ (p=0,91), бұл әрине дұрыс емес қорытынды. Дұрысырақ ANOVA үлгісі болуы керек, ол мүмкін болатын өзара әсерлесуді тексеруге бағытталған.

ANOVA моделі 2: өзара әрекеттесу мерзімі; өнімділік ~ температура * уақыт

Температура мен уақыттың өзара әрекеттесуі маңызды (p=0.000180). Өзара әрекеттесу тестінің және өзара әрекеттесу графигінің нәтижесіне сәйкес, уақыттың өнімге әсері температураға, ал температураның әсері уақытқа байланысты болып көрінеді.