Введение
В статистике анализ пути используется для описания направленных зависимостей между набором переменных. Это включает в себя модели, эквивалентные любой форме множественного регрессионного анализа, факторного анализа, канонического корреляционного анализа, дискриминантного анализа, а также более общие семейства моделей в многомерном анализе дисперсии и ковариаций (MANOVA, ANOVA, ANCOVA). Помимо рассмотрения как формы множественной регрессии, ориентированной на причинность, анализ пути можно рассматривать как частный случай структурного моделирования уравнений (SEM), в котором для каждой переменной в причинной модели используются только единичные индикаторы. Иными словами, анализ пути – это SEM со структурной моделью, но без модели измерения. Другие термины, используемые для обозначения анализа пути, включают причинно-следственное моделирование и анализ ковариационных структур. Юдея Перл считает анализ пути прямым предшественником методов причинно-следственных выводов.
История
Анализ пути был разработан примерно в 1918 году генетиком Сеуоллом Райтом, который более подробно описал его в 1920-х годах. С тех пор он нашел применение в самых разных сложных областях моделирования, включая биологию, психологию, социологию и эконометрику.
Моделирование пути
Как правило, модели пути состоят из независимых и зависимых переменных, графически изображенных в виде блоков или прямоугольников. Переменные, являющиеся независимыми, но не зависимыми, называются «экзогенными». Графически эти экзогенные переменные располагаются на внешних границах модели и имеют только исходящие стрелки с одной головкой. Ни одна стрелка с одной головкой не направлена на экзогенные переменные. Переменные, которые являются исключительно зависимыми или одновременно независимыми и зависимыми, называются «эндогенными». Графически эндогенные переменные имеют как минимум одну входящую стрелку с одной головкой. В представленной ниже модели две экзогенные переменные (Ex1 и Ex2) моделируются как коррелированные, что показано двунаправленной стрелкой. Обе эти переменные оказывают прямое и косвенное (через En1) влияние на En2 (две зависимые или «эндогенные» переменные/факторы). В большинстве реальных моделей эндогенные переменные также могут подвергаться влиянию переменных и факторов, находящихся за пределами модели (внешние эффекты, включая погрешность измерения). Эти эффекты изображаются в виде «e» или членов ошибки в модели. Используя те же переменные, можно представить альтернативные модели. Например, можно предположить, что Ex1 оказывает только косвенное влияние на En2, удалив стрелку от Ex1 к En2; и статистически можно сравнить правдоподобие или «соответствие» этих двух моделей.
Отслеживание пути в нестандартных моделях
Если моделируемые переменные не стандартизированы, дополнительное правило позволяет рассчитывать ожидаемые ковариации, при условии отсутствия путей, соединяющих зависимые переменные с другими зависимыми переменными. Наиболее простой случай возникает, когда все остаточные дисперсии моделируются явно. В этом случае, в дополнение к трем вышеуказанным правилам, ожидаемые ковариации рассчитываются следующим образом: вычислите произведение коэффициентов по каждому пути между интересующими переменными, прослеживая путь назад, меняя направление на двунаправленной стрелке, а затем прослеживая путь вперед. Просуммируйте значения по всем различным путям, при этом пути считаются различными, если они содержат разные коэффициенты или встречают эти коэффициенты в разном порядке. Если остаточные дисперсии не включены в модель, или в качестве более общего решения, при любом изменении направления пути (за исключением двунаправленных стрелок) учитывайте дисперсию переменной в точке изменения направления. То есть, при прослеживании пути от зависимой переменной к независимой переменной, учитывайте дисперсию независимой переменной, за исключением случаев, когда это нарушит правило 1 (прохождение через соседние головки стрелок, то есть когда независимая переменная также соединена двунаправленной стрелкой с другой независимой переменной). При вычислении дисперсий (что необходимо, если они не моделируются явно), путь от зависимой переменной к независимой и обратно учитывается только один раз.
Compute the product of coefficients in each route between the variables of interest, tracing backwards, changing direction at a two headed arrow, then tracing forwards. Sum over all distinct routes, where pathways are considered distinct if they contain different coefficients, or encounter those coefficients in a different order. Where residual variances are not explicitly included, or as a more general solution, at any change of direction encountered in a route (except for at two way arrows), include the variance of the variable at the point of change. That is, in tracing a path from a dependent variable to an independent variable, include the variance of the independent variable except where so doing would violate rule 1 above (passing through adjacent arrowheads: i. e., when the independent variable also connects to a double headed arrow connecting it to another independent variable). In deriving variances (which is necessary in the case where they are not modeled explicitly), the path from a dependent variable into an independent variable and back is counted once only.