Введение
В теории вычислительной сложности класс сложности ELEMENTARY элементарных рекурсивных функций является объединением классов. Название было предложено Ласло Калмаром в контексте рекурсивных функций и неразрешимости; большинство задач в нем далеки от элементарных. Некоторые естественные рекурсивные задачи лежат вне класса ELEMENTARY и, следовательно, являются NONELEMENTARY. В частности, существуют примитивно рекурсивные задачи, которые не принадлежат классу ELEMENTARY. Известно, что
The name was coined by László Kalmár, in the context of recursive functions and undecidability; most problems in it are far from elementary. Some natural recursive problems lie outside ELEMENTARY, and are thus NONELEMENTARY. Most notably, there are primitive recursive problems that are not in ELEMENTARY. We know
LOWER ELEMENTARY ⊊ EXPTIME ⊊ ELEMENTARY ⊊ PR ⊊ R
Whereas ELEMENTARY contains bounded applications of exponentiation (for example, ), PR allows more general hyper operators (for example, tetration) which are not contained in ELEMENTARY.
LOWER ELEMENTARY ⊊ EXPTIME ⊊ ELEMENTARY ⊊ PR ⊊ R
The name was coined by László Kalmár, in the context of recursive functions and undecidability; most problems in it are far from elementary. Some natural recursive problems lie outside ELEMENTARY, and are thus NONELEMENTARY. Most notably, there are primitive recursive problems that are not in ELEMENTARY. We know
LOWER ELEMENTARY ⊊ EXPTIME ⊊ ELEMENTARY ⊊ PR ⊊ R
Whereas ELEMENTARY contains bounded applications of exponentiation (for example, ), PR allows more general hyper operators (for example, tetration) which are not contained in ELEMENTARY.
В то время как ELEMENTARY содержит ограниченное применение возведения в степень (например, ), PR допускает более общие гипероператоры (например, тетрацию), которые не содержатся в ELEMENTARY.
The name was coined by László Kalmár, in the context of recursive functions and undecidability; most problems in it are far from elementary. Some natural recursive problems lie outside ELEMENTARY, and are thus NONELEMENTARY. Most notably, there are primitive recursive problems that are not in ELEMENTARY. We know
LOWER ELEMENTARY ⊊ EXPTIME ⊊ ELEMENTARY ⊊ PR ⊊ R
Whereas ELEMENTARY contains bounded applications of exponentiation (for example, ), PR allows more general hyper operators (for example, tetration) which are not contained in ELEMENTARY.
Определение
Определения элементарных рекурсивных функций такие же, как и для примитивных рекурсивных функций, за исключением того, что примитивная рекурсия заменяется ограниченным суммированием и ограниченным произведением. Все функции работают с натуральными числами. Основные функции, все из которых элементарные рекурсивные, следующие: нулевая функция. Возвращает ноль: f(x) = 0. Функция-последователь: f(x) = x + 1. Часто это обозначается S, как в S(x). Посредством повторного применения функции-последователя можно достичь сложения. Функции проекции: они используются для игнорирования аргументов. Например, f(a, b) = a является функцией проекции. Функция вычитания: f(x, y) = x − y, если y < x, или 0, если y ≥ x. Эта функция используется для определения условных операторов и итераций. Из этих основных функций мы можем строить другие элементарные рекурсивные функции. Композиция: применение значений из некоторой элементарной рекурсивной функции в качестве аргумента к другой элементарной рекурсивной функции. Функция f(x1, ..., xn) = h(g1(x1, ..., xn), ..., gm(x1, ..., xn)) является элементарно рекурсивной, если h является элементарно рекурсивной и каждая gi является элементарно рекурсивной. Ограниченное суммирование: является элементарно рекурсивной, если g является элементарно рекурсивной. Ограниченное произведение: является элементарно рекурсивной, если g является элементарно рекурсивной.
Zero function. Returns zero: f(x) = 0. Successor function: f(x) = x + 1. Often this is denoted by S, as in S(x). Via repeated application of a successor function, one can achieve addition. Projection functions: these are used for ignoring arguments. For example, f(a, b) = a is a projection function. Subtraction function: f(x, y) = x − y if y < x, or 0 if y ≥ x. This function is used to define conditionals and iteration. From these basic functions, we can build other elementary recursive functions. Composition: applying values from some elementary recursive function as an argument to another elementary recursive function. In f(x1, , xn) = h(g1(x1, , xn), , gm(x1, , xn)) is elementary recursive if h is elementary recursive and each gi is elementary recursive. Bounded summation: is elementary recursive if g is elementary recursive. Bounded product: is elementary recursive if g is elementary recursive.
Основа для элементарного
Класс элементарных функций совпадает с замыканием относительно композиции проекций и одного из следующих наборов функций: , , , где – функция вычитания, определённая выше.
Нижние элементарные рекурсивные функции
Нижние элементарные рекурсивные функции определяются как выше, за исключением того, что ограниченное произведение не допускается. То есть, низшая элементарная рекурсивная функция должна быть функцией нуля, функции следования или проекцией, композицией других низших элементарных рекурсивных функций или ограниченной суммой другой низшей элементарной рекурсивной функции. Нижние элементарные рекурсивные функции также известны как элементарные функции Сколема. В то время как элементарные рекурсивные функции могут иметь экспоненциальный или более быстрый рост, низшие элементарные рекурсивные функции имеют полиномиальный рост. Класс низших элементарных функций может быть описан через композицию простых функций аналогично тому, как это делается для элементарных функций. А именно, полиномиально ограниченная функция является низшей элементарной тогда и только тогда, когда она может быть выражена композицией следующих функций: проекций, , , , , , одной экспоненциальной функции ( или ) с ограничением на структуру формул: формула не может содержать более двух уровней вложенности экспоненты (например, имеет 1 уровень, имеет 2 уровня, имеет 3 уровня). Здесь – побитовое И для n и m.
Описательная характеристика
В описательной сложности ELEMENTARY равен классу HO языков, которые могут быть описаны формулой логики высшего порядка. Это означает, что каждый язык в классе сложности ELEMENTARY соответствует формуле высшего порядка, которая истинна для элементов языка и только для них. Более точно, , где ⋯ обозначает башню из i возведений в степень, а – класс запросов, начинающихся с экзистенциальных кванторов i-го порядка, за которыми следует формула (i - 1)-го порядка.