Введение

В математике последовательность (s1, s2, s3, ...) действительных чисел называется равнораспределенной, или равномерно распределенной, если доля членов, попадающих в подинтервал, пропорциональна длине этого подинтервала. Такие последовательности изучаются в теории диофантовых приближений и находят применение в методе Монте-Карло.

Определение

Последовательность (s1, s2, s3, ...) действительных чисел называется равномерно распределенной на невырожденном интервале [a, b], если для каждого подинтервала [c, d] интервала [a, b] выполняется:

(Здесь обозначение |{s1, ..., sn} ∩ [c, d]| обозначает количество элементов из первых n элементов последовательности, попадающих между c и d.)

Например, если последовательность равномерно распределена в [0, 2], то, поскольку интервал [0.5, 0.9] занимает 1/5 длины интервала [0, 2], при больших значениях n доля первых n членов последовательности, попадающих между 0.5 и 0.9, должна стремиться к 1/5. В общих чертах, можно сказать, что каждый член последовательности с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке своего диапазона. Однако это не означает, что (sn) является последовательностью случайных величин; скорее, это детерминированная последовательность действительных чисел.

Несовпадение

Мы определяем расхождение DN для последовательности (s1, s2, s3, ...) относительно интервала [a, b] как... Последовательность называется равномерно распределенной, если расхождение DN стремится к нулю при N стремящемся к бесконечности. Равномерное распределение является довольно слабым критерием для выражения того факта, что последовательность заполняет отрезок, не оставляя пробелов. Например, точки, полученные из случайной величины, равномерно распределенной на отрезке, будут равномерно распределены на этом отрезке, но в них будут большие промежутки по сравнению с последовательностью, которая сначала перечисляет кратные ε на отрезке для некоторого малого ε, а затем продолжает делать это для все меньших и меньших значений ε. Для более строгих критериев и построения последовательностей, которые распределены более равномерно, см. последовательности с малым расхождением.

Модуль 1 равномерного распределения

Последовательность (a1, a2, a3, ...) действительных чисел называется равнораспределенной по модулю 1 или равномерно распределенной по модулю 1, если последовательность дробных частей an, обозначаемая {an} или an − ⌊an⌋, равнораспределена в интервале [0, 1].

Пример использования

Критерий Вейля может быть использован для легкого доказательства теоремы о равнораспределении, утверждающей, что последовательность кратных 0, α, 2α, 3α, некоторого действительного числа α равнораспределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда α иррационально. Также утверждается, что если для каждого h последовательность sn+h − sn равномерно распределена по модулю 1, то и последовательность sn равномерно распределена по модулю 1. Множество ван дер Корпута — это множество H целых чисел, обладающее следующим свойством: если для каждого h из H последовательность sn+h − sn равномерно распределена по модулю 1, то и последовательность sn равномерно распределена по модулю 1. Последовательность (αn) равнораспределена по модулю 1 почти для всех значений α > 1. Неизвестно, являются ли последовательности (en) или (n) равнораспределенными по модулю 1. Однако известно, что последовательность (αn) не равнораспределена по модулю 1, если α является числом PV.

Хорошо распределенная последовательность

Последовательность (s1, s2, s3, ...) действительных чисел называется хорошо распределенной на [a, b], если для любого подинтервала [c, d] интервала [a, b] выполняется

равномерно по k. Очевидно, что любая хорошо распределенная последовательность является равномерно распределенной, но обратное неверно. Определение хорошо распределенной по модулю 1 аналогично.