Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада нақты сандар тізбегі (s1, s2, s3, ...) тең үлестірілген немесе біркелкі үлестірілген деп аталады, егер кез келген кіші интервалға түсетін мүшелердің үлесі сол кіші интервалдың ұзындығына пропорционалды болса. Мұндай тізбектер Диофантикалық жуықтау теориясында зерттеледі және Монте-Карло интеграциясында қолданылады.
In mathematics, a sequence (s1, s2, s3, ) of real numbers is said to be equidistributed, or uniformly distributed, if the proportion of terms falling in a subinterval is proportional to the length of that subinterval. Such sequences are studied in Diophantine approximation theory and have applications to Monte Carlo integration.
Анықтама
Нақты сандар тізбегі (s1, s2, s3, ...) [a, b] аралығында тең таралған деп есептеледі, егер [a, b] аралығының кез келген [c, d] кіші аралығы үшін мына шарт орындалса:
A sequence (s1, s2, s3, ) of real numbers is said to be equidistributed on a non degenerate interval [a, b] if for every subinterval [c, d] of [a, b] we have
(Мұнда, |{s1, …, sn} ∩ [c, d]| белгісі тізбектің алғашқы n мүшесінің арасында c мен d аралығына тиісті элементтердің санын білдіреді.)
(Here, the notation |{s1, ,sn} ∩ [c, d]| denotes the number of elements, out of the first n elements of the sequence, that are between c and d.)
Мысалы, егер тізбек [0, 2] аралығында тең таралған болса, онда [0.5, 0.9] аралығы [0, 2] аралығының ұзындығының 1/5 бөлігін құрайды. Сондықтан, n саны артқан сайын, тізбектің алғашқы n мүшесінің 0.5 пен 0.9 аралығына түсетін үлесі 1/5-ке жақындауы керек. Шамамен айтқанда, тізбектің әрбір мүшесі өзінің мүмкін болатын мәндерінің кез келген жеріне тең мүмкіндікпен түседі деуге болады. Алайда, бұл (sn) тізбегі кездейсоқ шамалар тізбегі дегенді білдірмейді; керісінше, бұл нақты сандардың анықталған тізбегі.
For example, if a sequence is equidistributed in [0, 2], since the interval [0.5, 0.9] occupies 1/5 of the length of the interval [0, 2], as n becomes large, the proportion of the first n members of the sequence which fall between 0.5 and 0.9 must approach 1/5. Loosely speaking, one could say that each member of the sequence is equally likely to fall anywhere in its range. However, this is not to say that (sn) is a sequence of random variables; rather, it is a determinate sequence of real numbers.
Келіспеушілік
Біз (s1, s2, s3, ...) тізбегі үшін [a, b] аралығына қатысты DN сәйкессіздігін былай анықтаймыз:
We define the discrepancy DN for a sequence (s1, s2, s3, ) with respect to the interval [a, b] as
Осылайша, тізбек N шексіздікке ұмтылғанда DN сәйкессіздігі нөлге ұмтылса, ол тең үлестірілген болады. Тең үлестіру – бұл тізбектің сегментті ешқандай бос орын қалдырмай толтыруын көрсететін біршама әлсіз критерий. Мысалы, сегментте біркелкі таратылған кездейсоқ шаманың графиктері сегментте тең үлестіріледі, бірақ олар, сегменттегі ε-нің еселіктерін бірінші кезекте санап шығу арқылы, дұрыс таңдалған жағдайда, кейбір кішкентай ε үшін, үлкен аралықтарға ие болады, содан кейін ε-нің кішірек және кішірек мәндері үшін осылай жалғасады. Қатаң критерийлер және одан да біркелкі таратылған тізбектерді құру үшін төмен сәйкессіздікті тізбектерді қараңыз.
A sequence is thus equidistributed if the discrepancy DN tends to zero as N tends to infinity. Equidistribution is a rather weak criterion to express the fact that a sequence fills the segment leaving no gaps. For example, the drawings of a random variable uniform over a segment will be equidistributed in the segment, but there will be large gaps compared to a sequence which first enumerates multiples of ε in the segment, for some small ε, in an appropriately chosen way, and then continues to do this for smaller and smaller values of ε. For stronger criteria and for constructions of sequences that are more evenly distributed, see low discrepancy sequence.
Тең үлестіру модулі 1
Нақты сандар тізбегі (a1, a2, a3, ...) модуль 1 бойынша тең үлестірілген немесе модуль 1 бойынша біркелкі үлестірілген деп аталады, егер an-ның бөлшектік бөліктерінің тізбегі, (an) немесе an – ⌊an⌋ арқылы белгіленген, [0, 1] аралығында тең үлестірілген болса.
A sequence (a1, a2, a3, ) of real numbers is said to be equidistributed modulo 1 or uniformly distributed modulo 1 if the sequence of the fractional parts of an, denoted by (an) or by an − ⌊an⌋, is equidistributed in the interval [0, 1].
Пайдалану үлгісі
Вейлдің критерийі тең үлестіру теоремасын оңай дәлелдеу үшін қолданылуы мүмкін, яғни 0, α, 2α, 3α, сияқты нақты сан α-ның еселіктерінің тізбегі 1-ге қарай тең үлестіріледі, егер және тек қана α иррационал болса. Егер әр h үшін sn+h − sn тізбегі 1-ге қарай біркелкі таратылған болса, онда sn да солай болады. Ван дер Корпут жиыны – H бүтін сандарының жиыны, егер H жиынындағы әр h үшін sn+h − sn тізбегі 1-ге қарай біркелкі таратылған болса, онда sn да солай болады. (αn) тізбегі α > 1-дің дерлік барлық мәндері үшін 1-ге қарай тең үлестіріледі. (en) немесе (n) тізбектері 1-ге қарай тең үлестіріле ме, әзірге белгісіз. Дегенмен, α – PV саны болса, (αn) тізбегі 1-ге қарай тең үлестірілмейтіні белгілі.
Weyl's criterion can be used to easily prove the equidistribution theorem, stating that the sequence of multiples 0, α, 2α, 3α, of some real number α is equidistributed modulo 1 if and only if α is irrational. states that if for each h the sequence sn+h − sn is uniformly distributed modulo 1, then so is sn. A van der Corput set is a set H of integers such that if for each h in H the sequence sn+h − sn is uniformly distributed modulo 1, then so is sn. The sequence (αn) is equidistributed mod 1 for almost all values of α > 1. It is not known whether the sequences (en) or (n) are equidistributed mod 1. However it is known that the sequence (αn) is not equidistributed mod 1 if α is a PV number.
Жақсы таралған тізбек
Нақты сандар тізбегі (s1, s2, s3, ...) [a, b] аралығында жақсы таралған деп есептеледі, егер [a, b] аралығының кез келген [c, d] кіші аралығы үшін
A sequence (s1, s2, s3, ) of real numbers is said to be well distributed on [a, b] if for any subinterval [c, d] of [a, b] we have
k бойынша біркелкі түрде орындалса. Әрине, жақсы таралған кез келген тізбек біркелкі таралған, бірақ керісіне дұрыс емес. 1-модуль бойынша жақсы таралудың анықтамасы да осыған ұқсас.
uniformly in k. Clearly every well distributed sequence is uniformly distributed, but the converse does not hold. The definition of well distributed modulo 1 is analogous.