Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Напряжение, вызванное внешней нагрузкой
Strain caused by an external load
В прикладной механике изгиб (также известный как флексура) характеризует поведение тонкого конструктивного элемента, подверженного внешней нагрузке, приложенной перпендикулярно его продольной оси. Предполагается, что конструктивный элемент имеет размеры, при которых хотя бы одна из его сторон составляет небольшую долю, обычно 1/10 или меньше, от двух других сторон. Когда длина значительно превышает ширину и толщину, элемент называется балкой. Например, штанга для одежды, прогибающаяся под весом одежды на вешалках, является примером балки, испытывающей изгиб. С другой стороны, оболочка – это конструкция любой геометрической формы, у которой длина и ширина сопоставимы, а толщина (известная как "стенка") значительно меньше. Большая по диаметру, но с тонкой стенкой, короткая труба, опертая на концы и нагруженная боковым усилием, является примером оболочки, испытывающей изгиб. Без уточнения термин "изгиб" является неоднозначным, поскольку изгибание может возникать локально в любом объекте. Поэтому, для большей точности, инженеры используют уточняющие термины, такие как изгиб стержней, изгиб оболочек и так далее.
In applied mechanics, bending (also known as flexure) characterizes the behavior of a slender structural element subjected to an external load applied perpendicularly to a longitudinal axis of the element. The structural element is assumed to be such that at least one of its dimensions is a small fraction, typically 1/10 or less, of the other two. When the length is considerably longer than the width and the thickness, the element is called a beam. For example, a closet rod sagging under the weight of clothes on clothes hangers is an example of a beam experiencing bending. On the other hand, a shell is a structure of any geometric form where the length and the width are of the same order of magnitude but the thickness of the structure (known as the 'wall') is considerably smaller. A large diameter, but thin walled, short tube supported at its ends and loaded laterally is an example of a shell experiencing bending. In the absence of a qualifier, the term bending is ambiguous because bending can occur locally in all objects. Therefore, to make the usage of the term more precise, engineers refer to a specific object such as; the bending of rods, the bending of shells and so on.
Изгибание пластмассы
Уравнение справедливо только тогда, когда напряжение на крайнем волокне (то есть, в части балки, наиболее удаленной от нейтральной оси) не превышает предел текучести материала, из которого она изготовлена. При больших нагрузках распределение напряжений становится нелинейным, и пластичные материалы в конечном итоге переходят в состояние пластического шарнира, где величина напряжения повсюду в балке равна пределу текучести, с разрывом на нейтральной оси, где напряжение изменяется от растягивающего до сжимающего. Это состояние пластического шарнира обычно используется в качестве предельного состояния при проектировании стальных конструкций.
The equation is valid only when the stress at the extreme fiber (i. e., the portion of the beam farthest from the neutral axis) is below the yield stress of the material from which it is constructed. At higher loadings the stress distribution becomes non linear, and ductile materials will eventually enter a plastic hinge state where the magnitude of the stress is equal to the yield stress everywhere in the beam, with a discontinuity at the neutral axis where the stress changes from tensile to compressive. This plastic hinge state is typically used as a limit state in the design of steel structures.
Сложное или асимметричное изгибание
Вышеуказанное уравнение справедливо только для симметричных сечений. Для однородных балок с асимметричными сечениями максимальное напряжение при изгибе в балке определяется выражением:
The equation above is only valid if the cross section is symmetrical. For homogeneous beams with asymmetrical sections, the maximum bending stress in the beam is given by
где (x, y) – координаты точки на сечении, в которой необходимо определить напряжение, как показано на рисунке справа, M<sub>y</sub> и M<sub>z</sub> – изгибающие моменты относительно центроидальных осей y и z, I<sub>y</sub> и I<sub>z</sub> – вторые моменты площади (отличающиеся от моментов инерции) относительно осей y и z, а I<sub>yz</sub> – произведение моментов площади. С помощью этого уравнения можно рассчитать напряжение при изгибе в любой точке поперечного сечения балки независимо от ориентации момента или формы сечения. Следует отметить, что M<sub>y</sub> и M<sub>z</sub> не изменяются от одной точки к другой на сечении.
where are the coordinates of a point on the cross section at which the stress is to be determined as shown to the right, and are the bending moments about the y and z centroid axes, and are the second moments of area (distinct from moments of inertia) about the y and z axes, and is the product of moments of area. Using this equation it is possible to calculate the bending stress at any point on the beam cross section regardless of moment orientation or cross sectional shape. Note that do not change from one point to another on the cross section.
Динамическое изгибание балки
Динамическое изгибание балок, также известное как колебания изгиба, впервые было исследовано Даниэлем Бернулли в конце XVIII века. Уравнение движения вибрирующей балки, предложенное Бернулли, имело тенденцию к завышению собственных частот, и в 1877 году Рэйли незначительно улучшил его, добавив учёт вращения средней плоскости. В 1921 году Стивен Тимошенко дополнительно усовершенствовал теорию, включив в неё влияние поперечного сдвига на динамическое поведение изгибающихся балок. Это позволило применять теорию для решения задач с высокими частотами колебаний, где динамическая теория Эйлера-Бернулли оказывается неадекватной. Теории Эйлера-Бернулли и Тимошенко для динамического изгиба балок по-прежнему широко используются инженерами.
The dynamic bending of beams, also known as flexural vibrations of beams, was first investigated by Daniel Bernoulli in the late 18th century. Bernoulli's equation of motion of a vibrating beam tended to overestimate the natural frequencies of beams and was improved marginally by Rayleigh in 1877 by the addition of a mid plane rotation. In 1921 Stephen Timoshenko improved the theory further by incorporating the effect of shear on the dynamic response of bending beams. This allowed the theory to be used for problems involving high frequencies of vibration where the dynamic Euler–Bernoulli theory is inadequate. The Euler Bernoulli and Timoshenko theories for the dynamic bending of beams continue to be used widely by engineers.