Введение

Методы вероятностных измерений. Методы Монте-Карло используются в корпоративных и математических финансах для оценки и анализа (сложных) инструментов, портфелей и инвестиций путем моделирования различных источников неопределенности, влияющих на их стоимость, и последующего определения распределения их стоимости в диапазоне возможных результатов. Обычно это выполняется с помощью стохастических моделей активов. Преимущество методов Монте-Карло перед другими техниками возрастает с увеличением размерности (количества источников неопределенности) задачи. Методы Монте-Карло впервые были применены в финансах в 1964 году Дэвидом Б. Герцем в его статье для Harvard Business Review, где рассматривалось их применение в корпоративных финансах. В 1977 году Фелим Бойл стал пионером в использовании моделирования для оценки производных финансовых инструментов в своей основополагающей статье в журнале Journal of Financial Economics. В данной статье рассматриваются типичные финансовые задачи, в которых применяются методы Монте-Карло. Также затрагивается использование так называемых "квазислучайных" методов, таких как последовательности Соболя.

Метод контрольной вариации

Естественно, также использовать контрольную переменную. Предположим, мы хотим получить значение производной H методом Монте-Карло, но знаем аналитическое значение аналогичной производной I. Тогда H* = (значение H, полученное методом Монте-Карло) + B*[(аналитическое значение I) − (значение I, полученное по тем же траекториям Монте-Карло)] является более точной оценкой, где B = covar(H,I)/var(H). Интуиция, лежащая в основе этой техники применительно к производным инструментам, заключается в следующем: обратите внимание, что источник дисперсии производной напрямую зависит от рисков (например, дельты, веги) этой производной. Это связано с тем, что любая ошибка в оценке, скажем, форвардной цены базового актива, приведет к соответствующей ошибке, зависящей от дельты производной по отношению к этой форвардной цене. Самый простой пример, демонстрирующий это, – сравнение ошибки при оценке колл-опциона и стрэддла (то есть колл + пут) по цене исполнения, близкой к текущей цене базового актива, у которого значительно меньшая дельта. Поэтому стандартный способ выбора производной I – это выбор реплицирующего портфеля опционов для H. На практике производная H оценивается без снижения дисперсии, вычисляются дельты и веги, а затем используется комбинация колл- и пут-опционов с теми же дельтами и вегами в качестве контрольной переменной.

Значение выборки

Важность выборки заключается в моделировании траекторий Монте-Карло с использованием иного распределения вероятностей (также известного как смена меры), которое увеличивает вероятность того, что моделируемый базовый актив окажется в области, где выплата по деривативу обладает наибольшей выпуклостью (например, вблизи страйка для простого опциона). Симулированные выплаты затем не просто усредняются, как в обычном методе Монте-Карло, а предварительно умножаются на отношение правдоподобия между модифицированным и исходным распределениями вероятностей (которое определяется аналитическими формулами, специфичными для данного распределения). Это обеспечивает снижение веса траекторий, вероятность которых была искусственно увеличена сменой распределения вероятностей (таким образом снижается дисперсия). Данный метод может быть особенно полезен при расчете рисков по деривативам. При расчете дельты методом Монте-Карло наиболее простой подход – это метод "черного ящика", заключающийся в проведении Монте-Карло на исходных рыночных данных и еще одном – на измененных рыночных данных, а затем вычислении риска как разности результатов. Вместо этого, метод важности выборки предполагает проведение Монте-Карло на произвольных рыночных данных (в идеале – с минимальной дисперсией) и расчет цен с использованием техники изменения весов, описанной выше. Это позволяет получить более стабильную оценку риска по сравнению с подходом "черного ящика".

Квазислучайные (с низким уровнем расхождения) методы

Вместо случайной генерации траекторий выборки можно систематически (и фактически полностью детерминированно, несмотря на термин "квазислучайный") выбирать точки в пространстве вероятностей таким образом, чтобы оптимально заполнить это пространство. Выбор точек осуществляется с помощью последовательности с низкой расходимостью, например, последовательности Соболя. Вычисление средних значений производных от выигрышей в точках с низкой расходимостью часто оказывается более эффективным, чем вычисление средних значений выигрышей в случайных точках.

Статьи

Бойл, П., Бродди, М. и Глассерман, П. Методы Монте-Карло для оценки стоимости активов. Журнал экономической динамики и управления, том 21, выпуски 8–9, страницы 1267–1321.
Рубинштейн, Самородицкий, Шэкед. Антитетические случайные величины, многомерная зависимость и моделирование стохастических систем. Исследование операций, том 31, № 1, январь 1985 г., стр. 66–67.