Введение
Набор узлов графа, который отделяет данную пару узлов при удалении.
В теории графов, подмножество вершин S ⊆ V является разделителем вершин (или разрезом вершин, разделяющим множеством) для не смежных вершин a и b, если удаление S из графа разделяет a и b на различные связные компоненты.
Примеры
Рассмотрим решётчатый граф с r строками и c столбцами; общее число вершин n равно r × c. Например, на иллюстрации r = 5, c = 8 и n = 40. Если r нечетно, существует одна центральная строка, иначе – две строки, равноудаленные от центра; аналогично, если c нечетно, существует один центральный столбец, иначе – два столбца, равноудаленные от центра. Выбрав S в качестве любой из этих центральных строк или столбцов и удалив S из графа, можно разделить граф на два меньших связных подграфа A и B, каждый из которых содержит не более вершин. Если r ≤ c (как на иллюстрации), то выбор центрального столбца даст сепаратор S с вершинами, и аналогично, если c ≤ r, то выбор центральной строки даст сепаратор с не более вершинами. Таким образом, каждый решётчатый граф имеет сепаратор S размером не более, удаление которого разбивает его на два связных компонента, каждый из которых имеет размер не более.
To give another class of examples, every free tree T has a separator S consisting of a single vertex, the removal of which partitions T into two or more connected components, each of size at most More precisely, there is always exactly one or exactly two vertices, which amount to such a separator, depending on whether the tree is centered or bicentered. As opposed to these examples, not all vertex separators are balanced, but that property is most useful for applications in computer science, such as the planar separator theorem.
В качестве другого примера рассмотрим каждое свободное дерево T. Оно имеет сепаратор S, состоящий из одной вершины, удаление которой разбивает T на два или более связных компонента, каждый из которых содержит не более вершин. Более точно, всегда существует ровно одна или ровно две вершины, которые образуют такой сепаратор, в зависимости от того, является ли дерево центрированным или бицентрированным. В отличие от этих примеров, не все сепараторы вершин сбалансированы, но это свойство наиболее полезно для приложений в информатике, таких как теорема о плоских сепараторах.
To give another class of examples, every free tree T has a separator S consisting of a single vertex, the removal of which partitions T into two or more connected components, each of size at most More precisely, there is always exactly one or exactly two vertices, which amount to such a separator, depending on whether the tree is centered or bicentered. As opposed to these examples, not all vertex separators are balanced, but that property is most useful for applications in computer science, such as the planar separator theorem.
Минимальные сепараторы
Пусть S является (a,b)-разделителем, то есть подмножеством вершин, разделяющим две несмежные вершины a и b. Тогда S является минимальным (a,b)-сепаратором, если никакое собственное подмножество S не разделяет a и b. В более общем случае, S называется минимальным сепаратором, если он является минимальным сепаратором для некоторой пары (a, b) несмежных вершин. Обратите внимание, что это отличается от минимального разделяющего множества, которое требует, чтобы никакое собственное подмножество S не было минимальным (u,v)-разделителем для любой пары вершин (u,v). Следующий известный результат характеризует минимальные сепараторы:
Lemma. A vertex separator S in G is minimal if and only if the graph G – S, obtained by removing S from G, has two connected components and such that each vertex in S is both adjacent to some vertex in and to some vertex in
The minimal (a,b) separators also form an algebraic structure: For two fixed vertices a and b of a given graph G, an (a,b) separator S can be regarded as a predecessor of another (a,b) separator T, if every path from a to b meets S before it meets T. More rigorously, the predecessor relation is defined as follows: Let S and T be two (a,b) separators in G. Then S is a predecessor of T, in symbols , if for each x ∈ S \ T, every path connecting x to b meets T. It follows from the definition that the predecessor relation yields a preorder on the set of all (a,b) separators. Furthermore, proved that the predecessor relation gives rise to a complete lattice when restricted to the set of minimal (a,b) separators in G.
Лемма. Сепаратор вершин S в G минимален тогда и только тогда, когда граф G – S, полученный удалением S из G, имеет два связных компонента и , таких что каждая вершина в S смежна как с некоторой вершиной в , так и с некоторой вершиной в .
Lemma. A vertex separator S in G is minimal if and only if the graph G – S, obtained by removing S from G, has two connected components and such that each vertex in S is both adjacent to some vertex in and to some vertex in
The minimal (a,b) separators also form an algebraic structure: For two fixed vertices a and b of a given graph G, an (a,b) separator S can be regarded as a predecessor of another (a,b) separator T, if every path from a to b meets S before it meets T. More rigorously, the predecessor relation is defined as follows: Let S and T be two (a,b) separators in G. Then S is a predecessor of T, in symbols , if for each x ∈ S \ T, every path connecting x to b meets T. It follows from the definition that the predecessor relation yields a preorder on the set of all (a,b) separators. Furthermore, proved that the predecessor relation gives rise to a complete lattice when restricted to the set of minimal (a,b) separators in G.
Минимальные (a,b)-сепараторы также образуют алгебраическую структуру: для двух фиксированных вершин a и b заданного графа G, (a,b)-сепаратор S можно рассматривать как предшественник другого (a,b)-сепаратора T, если каждый путь из a в b встречает S раньше, чем T. Более строго, отношение предшествования определяется следующим образом: пусть S и T – два (a,b)-сепаратора в G. Тогда S является предшественником T, обозначается , если для каждого x ∈ S \ T, любой путь, соединяющий x с b, встречает T. Из определения следует, что отношение предшествования задает предзаказ на множестве всех (a,b)-сепараторов. Более того, было доказано, что отношение предшествования порождает полную решетку, если оно ограничено множеством минимальных (a,b)-сепараторов в G.
Lemma. A vertex separator S in G is minimal if and only if the graph G – S, obtained by removing S from G, has two connected components and such that each vertex in S is both adjacent to some vertex in and to some vertex in
The minimal (a,b) separators also form an algebraic structure: For two fixed vertices a and b of a given graph G, an (a,b) separator S can be regarded as a predecessor of another (a,b) separator T, if every path from a to b meets S before it meets T. More rigorously, the predecessor relation is defined as follows: Let S and T be two (a,b) separators in G. Then S is a predecessor of T, in symbols , if for each x ∈ S \ T, every path connecting x to b meets T. It follows from the definition that the predecessor relation yields a preorder on the set of all (a,b) separators. Furthermore, proved that the predecessor relation gives rise to a complete lattice when restricted to the set of minimal (a,b) separators in G.