Введение

Интегральное преобразование, используемое в различных областях математики. Преобразование суммирования. В математике преобразование Абеля, названное в честь Нильса Хенрика Абеля, является интегральным преобразованием, часто используемым в анализе сферически симметричных или осесимметричных функций. Преобразование Абеля функции f(r) задается следующим образом:

При условии, что f(r) убывает к нулю быстрее, чем 1/r, обратное преобразование Абеля задается следующим образом:

В анализе изображений прямое преобразование Абеля используется для проецирования оптически тонкой осесимметричной функции излучения на плоскость, а обратное преобразование Абеля – для вычисления функции излучения по ее проекции (то есть по скану или фотографии этой функции излучения). В абсорбционной спектроскопии цилиндрических пламен или шлейфов прямое преобразование Абеля представляет собой интегрированную поглощающую способность вдоль луча с минимальным расстоянием y от центра пламени, в то время как обратное преобразование Абеля дает локальный коэффициент поглощения на расстоянии r от центра. Преобразование Абеля ограничено приложениями с осевой симметрией. Для более общих асимметричных случаев следует использовать более общие алгоритмы ориентированной реконструкции, такие как метод алгебраической реконструкции (ART), максимизация правдоподобия с использованием метода максимального ожидания (MLEM) и алгоритмы фильтрованной обратной проекции (FBP). В последние годы обратное преобразование Абеля (и его варианты) стало краеугольным камнем анализа данных в фотофрагментной ионной визуализации и фотоэлектронной визуализации. Среди последних наиболее заметных расширений обратного преобразования Абеля – методы "очистки луковицы" (onion peeling) и "расширения базисного набора" (BASEX) для анализа фотоэлектронных и фотоионных изображений.

Отношение к трансформации Радона

Трансформацию Абеля можно рассматривать как преобразование Радона изотропной 2D функции f(r). Поскольку функция f(r) изотропна, её преобразование Радона одинаково при различных углах оси наблюдения. Таким образом, трансформация Абеля является функцией только расстояния вдоль оси наблюдения.