Момент инерции площади: определение и расчеты

Введение

Математическая конструкция в инженерии – геометрическое свойство площади, называемое вторым моментом площади. Список уравнений для вторых моментов площади стандартных форм.

Второй момент площади, или второй момент инерции, или квадратичный момент площади, также известный как момент инерции площади, является геометрическим свойством площади, отражающим распределение ее точек относительно произвольной оси. Второй момент площади обычно обозначается либо *I* (для оси, лежащей в плоскости площади), либо *J* (для оси, перпендикулярной плоскости). В обоих случаях он вычисляется с помощью кратного интеграла по рассматриваемому объекту. Его размерность – длина (L) в четвертой степени. Его единица измерения при работе с Международной системой единиц – метр в четвертой степени, м4, или дюйм в четвертой степени, in4, при работе в Имперской системе единиц или американской системе мер. В строительной механике второй момент площади балки является важным свойством, используемым при расчете прогиба балки и напряжения, вызванного моментом, приложенным к балке. Для максимизации второго момента площади большая часть площади поперечного сечения тавровой балки располагается на максимально возможном расстоянии от центроида поперечного сечения тавровой балки. Плоскостной второй момент площади дает представление о сопротивлении балки изгибу под действием приложенного момента, силы или распределенной нагрузки, перпендикулярной нейтральной оси, как функции ее формы. Полярный второй момент площади дает представление о сопротивлении балки крутильному прогибу под действием момента, приложенного параллельно ее поперечному сечению, как функции ее формы. Различные дисциплины используют термин «момент инерции» (МОИ) для обозначения различных моментов. Он может относиться либо к плоскостному второму моменту площади (часто *I* или *J* относительно некоторой опорной плоскости), либо к полярному второму моменту площади (*J*, где *r* – расстояние до некоторой опорной оси). В каждом случае интеграл берется по всем бесконечно малым элементам площади, *dA*, в некотором двумерном поперечном сечении. В физике момент инерции строго определяется как второй момент массы относительно расстояния от оси: *I* = ∫*r*2*dm*, где *r* – расстояние до некоторой потенциальной оси вращения, а интеграл берется по всем бесконечно малым элементам массы, *dm*, в трехмерном пространстве, занимаемом объектом *Q*. В этом смысле МОИ является аналогом массы для задач вращения. В инженерии (особенно в механической и строительной) момент инерции обычно относится ко второму моменту площади.

The second moment of area, or second area moment, or quadratic moment of area and also known as the area moment of inertia, is a geometrical property of an area which reflects how its points are distributed with regard to an arbitrary axis. The second moment of area is typically denoted with either an (for an axis that lies in the plane of the area) or with a (for an axis perpendicular to the plane). In both cases, it is calculated with a multiple integral over the object in question. Its dimension is L (length) to the fourth power. Its unit of dimension, when working with the International System of Units, is meters to the fourth power, m4, or inches to the fourth power, in4, when working in the Imperial System of Units or the US customary system. In structural engineering, the second moment of area of a beam is an important property used in the calculation of the beam's deflection and the calculation of stress caused by a moment applied to the beam. In order to maximize the second moment of area, a large fraction of the cross sectional area of an I beam is located at the maximum possible distance from the centroid of the I beam's cross section. The planar second moment of area provides insight into a beam's resistance to bending due to an applied moment, force, or distributed load perpendicular to its neutral axis, as a function of its shape. The polar second moment of area provides insight into a beam's resistance to torsional deflection, due to an applied moment parallel to its cross section, as a function of its shape. Different disciplines use the term moment of inertia (MOI) to refer to different moments. It may refer to either of the planar second moments of area (often or with respect to some reference plane), or the polar second moment of area (, where r is the distance to some reference axis). In each case the integral is over all the infinitesimal elements of area, dA, in some two dimensional cross section. In physics, moment of inertia is strictly the second moment of mass with respect to distance from an axis: , where r is the distance to some potential rotation axis, and the integral is over all the infinitesimal elements of mass, dm, in a three dimensional space occupied by an object Q. The MOI, in this sense, is the analog of mass for rotational problems. In engineering (especially mechanical and civil), moment of inertia commonly refers to the second moment of the area.

Теорема перпендикулярной оси

Для упрощения вычислений часто желательно выразить полярный момент инерции (относительно перпендикулярной оси) через два момента инерции площади (относительно двух взаимно перпендикулярных осей в плоскости). Наиболее простой случай связывает и . Эта зависимость основана на теореме Пифагора, связывающей и с , и на линейности интегрирования.

Композитные формы

Для более сложных областей часто проще разделить область на ряд "более простых" фигур. Второй момент площади для всей фигуры равен сумме вторых моментов площади всех её частей относительно общей оси. Это могут быть и "вырезанные" области (то есть отверстия, полые фигуры и т.п.), в этом случае второй момент площади "вырезанных" областей вычитается, а не прибавляется. Иными словами, второй момент площади "вырезанных" частей считается отрицательным при использовании метода составных фигур.

Примеры

См. список моментов инерции для других форм.

Прямоугольник с центроем в начале

Рассмотрим прямоугольник с основанием и высотой, центроид которого находится в начале координат. обозначает второй момент площади относительно оси x; обозначает второй момент площади относительно оси y; обозначает полярный момент инерции относительно оси z. Используя теорему о перпендикулярных осях, мы получаем значение .

Аннулус сосредоточен в начале

Рассмотрим кольцо, центр которого находится в начале координат, внешний радиус равен , а внутренний радиус равен . Из-за симметрии кольца, центроид также находится в начале координат. Мы можем определить полярный момент инерции, , относительно оси z методом составных фигур. Этот полярный момент инерции эквивалентен полярному моменту инерции круга радиуса минус полярный момент инерции круга радиуса , оба с центром в начале координат. Сначала выведем полярный момент инерции круга радиуса относительно начала координат. В этом случае проще непосредственно вычислить , поскольку у нас уже есть , который имеет как x, так и y компоненты. Вместо вычисления момента инерции в декартовых координатах, как это было сделано в предыдущем разделе, мы вычислим и непосредственно, используя полярные координаты. Таким образом, полярный момент инерции кольца относительно оси z равен, как указано выше, разности моментов инерции круга радиуса и круга радиуса . В качестве альтернативы, мы могли бы изменить пределы интегрирования, чтобы учесть наличие отверстия. Это можно сделать следующим образом.

Любой многоугольник

Второй момент площади относительно начала координат для любого простого многоугольника на плоскости XY может быть вычислен в общем случае путем суммирования вкладов от каждого отрезка многоугольника после разбиения площади на набор треугольников. Эта формула связана с формулой шнурков и может рассматриваться как частный случай теоремы Грина. Предполагается, что многоугольник имеет *n* вершин, пронумерованных против часовой стрелки. Если вершины многоугольника пронумерованы по часовой стрелке, возвращаемые значения будут отрицательными, но абсолютные значения будут верными. Где (*xi*, *yi*) – координаты *i*-й вершины многоугольника, для *i* от 1 до *n*. Также, координаты *n*-й вершины принимаются равными координатам первой вершины, то есть *xn* = *x0* и *yn* = *y0*.