Жағрайманың екінші моменты және инженерлік қолданыстары

Кіріспе

Математикалық конструкция инженерлік саласында, ауданның геометриялық қасиеті, ауданның екінші моменті деп аталады. Стандартты пішіндердің ауданның екінші моменті үшін теңдеулер тізімі.

Аумақтың екінші моменті, немесе екінші аудан моменті, немесе ауданның квадраттық моменті, сондай-ақ инерция моменті деп аталады, бұл ауданның геометриялық қасиеті, ол оның нүктелерінің кез келген оське қатысты таралуын көрсетеді. Аумақтың екінші моменті әдетте *I* (аумақтың жазықтығында жатқан ось үшін) немесе *J* (аумақтың жазықтығына перпендикуляр ось үшін) арқылы белгіленеді. Екі жағдайда да ол зерттеліп отырған объекті бойынша көптік интеграл арқылы есептеледі. Оның өлшемдері ұзындық (*L*) төртінші дәрежесімен өрнектеледі. Халықаралық жүйеде өлшем бірлігі – метрдің төртінші дәрежесі (м⁴), ал Империялық жүйеде немесе АҚШ стандартты жүйесінде – дюймнің төртінші дәрежесі (in⁴). Құрылыс инженерлігінде, қабырғаның екінші моменті – қабырғаның иілуін және қабырғаға түсірілген моменттен туындаған кернеуді есептеуде маңызды қасиет болып табылады. Екінші моментті барынша арттыру үшін, I-қабырғаның көлденең қимасының үлкен бөлігі I-қабырғаның центройынан ең үлкен қашықтықта орналасуы керек. Жазықтықтағы екінші момент, қабырғаның бейтарап оське перпендикуляр түсірілген моментке, күшке немесе таратылған жүктемеге байланысты иілуге қарсы тұру қабілетін, оның пішініне байланысты көрсетеді. Полярлық екінші момент, қабырғаның бұрылуға қарсы тұру қабілетін, оның көлденең қимасына параллель түсірілген моментке байланысты, оның пішініне байланысты көрсетеді. Әртүрлі салалар инерция моменті (MOI) терминін әртүрлі моменттерді атау үшін қолданады. Ол жазықтықтағы екінші моменттердің біреуіне (көбінесе *I* немесе қандай да бір эталондық жазықтыққа қатысты) немесе полярлық екінші моментке (*J*, мұнда *r* – қандай да бір эталондық оське дейінгі қашықтық) қатысты болуы мүмкін. Әр жағдайда интеграл екі өлшемді қимадағы барлық шексіз кішкентай аудан элементтері (*dA*) бойынша алынады. Физикада инерция моменті – бұл оське дейінгі қашықтыққа қатысты массаның екінші моменті: *I = ∫r²dm*, мұнда *r* – айналу осіне дейінгі қашықтық, ал интеграл – үш өлшемді кеңістікте *Q* денесінің барлық шексіз кішкентай масса элементтері (*dm*) бойынша алынады. Осы мағынада MOI айналу мәселелері үшін массаның аналогы болып табылады. Инженерлік саласында (әсіресе механикалық және құрылыс) инерция моменті көбінесе ауданның екінші моментіне сілтеме жасайды.

The second moment of area, or second area moment, or quadratic moment of area and also known as the area moment of inertia, is a geometrical property of an area which reflects how its points are distributed with regard to an arbitrary axis. The second moment of area is typically denoted with either an (for an axis that lies in the plane of the area) or with a (for an axis perpendicular to the plane). In both cases, it is calculated with a multiple integral over the object in question. Its dimension is L (length) to the fourth power. Its unit of dimension, when working with the International System of Units, is meters to the fourth power, m4, or inches to the fourth power, in4, when working in the Imperial System of Units or the US customary system. In structural engineering, the second moment of area of a beam is an important property used in the calculation of the beam's deflection and the calculation of stress caused by a moment applied to the beam. In order to maximize the second moment of area, a large fraction of the cross sectional area of an I beam is located at the maximum possible distance from the centroid of the I beam's cross section. The planar second moment of area provides insight into a beam's resistance to bending due to an applied moment, force, or distributed load perpendicular to its neutral axis, as a function of its shape. The polar second moment of area provides insight into a beam's resistance to torsional deflection, due to an applied moment parallel to its cross section, as a function of its shape. Different disciplines use the term moment of inertia (MOI) to refer to different moments. It may refer to either of the planar second moments of area (often or with respect to some reference plane), or the polar second moment of area (, where r is the distance to some reference axis). In each case the integral is over all the infinitesimal elements of area, dA, in some two dimensional cross section. In physics, moment of inertia is strictly the second moment of mass with respect to distance from an axis: , where r is the distance to some potential rotation axis, and the integral is over all the infinitesimal elements of mass, dm, in a three dimensional space occupied by an object Q. The MOI, in this sense, is the analog of mass for rotational problems. In engineering (especially mechanical and civil), moment of inertia commonly refers to the second moment of the area.

Перпендикулярлық ось теоремасы

Есептеудің қарапайымдылығы үшін, көбінесе ауданың полярлық моменті (перпендикуляр өске қатысты) екі инерция моменті (екісі де жазықтықтағы өстерге қатысты) арқылы анықталады. Ең қарапайым жағдай және арақатынастарымен байланысты. Бұл қатынас Пифагор теоремасына және интегралдың сызықтық қасиетіне негізделген.

Құрама пішіндер

Күрделі аймақтар үшін, аймақты "қарапайым" пішіндерге бөлу көбінесе оңайырақ болады. Тұтас пішіннің ауданына қатысты екінші момент – ортақ ось бойынша барлық бөліктерінің ауданына қатысты екінші моменттердің қосындысына тең. Бұл "жоқ" пішіндерді (яғни тесіктер, қуыс пішіндер сияқты) де қамтиды, мұндай жағдайда "жоқ" аймақтардың екінші моменттері қосылмай, керісінше алынып тасталады. Яғни, композиттік пішіндер әдісінде "жоқ" бөліктердің екінші моменті теріс деп есептеледі.

Мысалдар

Басқа пішіндердің инерция моменттерінің тізімін қараңыз.

Бастауыш нүктесі бар төртбұрышты

Төртбұрышты қарастырайық, оның табаны және биіктігі болсын, оның ауырлық центрі координаталар басында орналасқан. - бұл x осіне қатысты ауданының екінші моменті; - бұл y осіне қатысты ауданының екінші моменті; - бұл z осіне қатысты инерцияның полярлық моменті. Перпендикуляр ось теоремасын қолдану арқылы біз -ның мәнін табамыз.

Бастауыш нүктеде орналасқан жылтыр

Ортасы түпнұсқада, сыртқы радиусы – , ал ішкі радиусы – annulus-ті қарастырайық. Annulus-тің симметриясының арқасында, ауырлық ортасы да түпнұсқада жатады. Біз құрама пішіндер әдісімен – осіне қатысты полярлық инерция моментін анықтай аламыз. Бұл полярлық инерция моменті, түпнұсқада орталастырылған радиусы бар шеңбердің полярлық инерция моментінен, радиусы бар шеңбердің полярлық инерция моментін шығаруға тең. Бірінші, радиусы бар шеңбердің түпнұсқаға қатысты полярлық инерция моментін шығарайық. Бұл жағдайда, бізде бар болғандықтан, – тікелей есептеу оңай, ол және компоненттерін қамтиды. Алдыңғы бөлімде көрсетілгендей, Картезиандық координаттардан ауданының екінші моментін алудың орнына, біз полярлық координаттарды тікелей пайдалана отырып, және есептейміз. Енді, annulus-тің – осіне қатысты полярлық инерция моменті, жоғарыда айтылғандай, радиусы бар шеңбердің екінші моменті мен радиусы бар шеңбердің екінші моментінің айырмасы болып табылады. Басқаша айтқанда, біз тесік екенін ескере отырып, интегралдың шектерін бірінші рет өзгерте аламыз. Бұл былай жасалады.

Кез келген көпбұрышты

XY жазықтығындағы кез келген қарапайым көпбұрыш үшін бастапқы нүктеге қатысты ауданның екінші моменті, аумақты үшбұрыштар жиынтығына бөлгеннен кейін көпбұрыштың әрбір сегментінен алынған үлестерді қосу арқылы есептелуі мүмкін. Бұл формула бағдарламалық формуламен байланысты және Грин теоремасының ерекше жағдайы болып саналады. Көпбұрыштың қарама-қарсы сағат тілі бағытында нөмірленген төбелері бар деп есептеледі. Егер көпбұрыштың төбелері сағат тілі бағытында нөмірленсе, алынған мәндер теріс болады, бірақ абсолюттік мәндері дұрыс болады. Мұнда - көпбұрыштың i-інші төбесінің координаттары, сондай-ақ, соңғы төбесінің координаттары бірінші төбесінің координаттарымен бірдей деп есептеледі, яғни және .