Введение
Вероятностные алгоритмы для моделирования квантовых систем с большим числом частиц
Квантово-монтакарловские методы охватывают широкое семейство вычислительных методов, объединенных общей целью – исследование сложных квантовых систем. Одной из главных задач этих подходов является получение надежного решения (или точного приближения) квантовой задачи о многих телах. Различные варианты квантово-монтакарловских методов используют метод Монте-Карло для работы с многомерными интегралами, возникающими в различных формулировках задачи о многих телах. Квантово-монтакарловские методы позволяют напрямую анализировать и описывать сложные эффекты, связанные с взаимодействием большого числа частиц, закодированные в волновой функции, что выходит за рамки теории среднего поля. В частности, существуют численно точные алгоритмы с полиномиальной сложностью для точного изучения статических свойств систем бозонов без геометрической фрустрации. Для фермионов существуют очень хорошие приближения к их статическим свойствам и численно точные квантово-монтакарловские алгоритмы с экспоненциальной сложностью, но нет алгоритмов, сочетающих в себе оба этих свойства.
Предыстория
В принципе, любая физическая система может быть описана многочастичным уравнением Шредингера, если только составляющие частицы не движутся "слишком" быстро; то есть, их скорость не сопоставима со скоростью света, и релятивистские эффекты могут быть пренебрежены. Это справедливо для широкого круга электронных задач в физике конденсированного состояния, в конденсатах Бозе-Эйнштейна и сверхтекучих жидкостях, таких как жидкий гелий. Возможность решения уравнения Шредингера для заданной системы позволяет предсказывать её поведение, что имеет важные применения – от материаловедения до сложных биологических систем. Однако сложность заключается в том, что для решения уравнения Шредингера необходимо знание многочастичной волновой функции в многочастичном пространстве Гильберта, размерность которого обычно экспоненциально растет с увеличением числа частиц. Поэтому его решение для разумно большого числа частиц, как правило, невозможно даже с использованием современных технологий параллельных вычислений за приемлемое время. Традиционно использовались приближения для многочастичной волновой функции в виде антисимметричной функции одноструйных орбиталей, чтобы обеспечить управляемое решение уравнения Шредингера. Однако такой подход имеет ряд недостатков: он либо ограничивает учет квантовых корреляций между многими частицами, как в приближении Хартри-Фока (HF), либо сходится очень медленно, как в методах конфигурационного взаимодействия в квантовой химии. Квантово-Монте-Карло позволяет непосредственно изучать многочастичную задачу и многочастичную волновую функцию, выходя за рамки этих приближений. Наиболее продвинутые методы квантово-Монте-Карло предоставляют точное решение многочастичной задачи для невзаимодействующих бозонных систем, а также приближенное описание взаимодействующих фермионных систем. Большинство методов направлены на вычисление волновой функции основного состояния системы, за исключением метода Монте-Карло на основе интеграла по траекториям и метода Монте-Карло с вспомогательным полем при конечной температуре, которые вычисляют матрицу плотности. Помимо статических свойств, можно также решать зависящее от времени уравнение Шредингера, хотя и только приближенно, ограничивая функциональную форму волновой функции, эволюционирующей во времени, как это делается в вариационном Монте-Карло, зависящем от времени. С вероятностной точки зрения, вычисление верхних собственных значений и соответствующих собственных функций основного состояния, связанных с уравнением Шредингера, опирается на численное решение задач интеграции по траекториям Фейнмана-Кака.
Квантовые методы Монте-Карло
Существует несколько методов квантовых вычислений Монте-Карло, каждый из которых использует метод Монте-Карло различными способами для решения задачи многих тел.
Динамика в реальном времени (закрытые квантовые системы)
Временнó-зависимый вариационный метод Монте-Карло: Расширение вариационного метода Монте-Карло для изучения динамики чистых квантовых состояний.