Введение
В математической логике две теории называются эквипоследовательными, если последовательность одной теории влечёт последовательность другой, и наоборот. В этом случае, грубо говоря, они "настолько же последовательны, насколько и друг другу". В общем случае, невозможно доказать абсолютную последовательность теории T. Вместо этого обычно берут теорию S, которую считают последовательной, и пытаются доказать более слабое утверждение, что если S последовательна, то T также должна быть последовательной. Если это удаётся, говорят, что T последовательна относительно S. Если S также последовательна относительно T, то говорят, что S и T эквипоследовательны.
In mathematical logic, two theories are equiconsistent if the consistency of one theory implies the consistency of the other theory, and vice versa. In this case, they are, roughly speaking, "as consistent as each other". In general, it is not possible to prove the absolute consistency of a theory T. Instead we usually take a theory S, believed to be consistent, and try to prove the weaker statement that if S is consistent then T must also be consistent—if we can do this we say that T is consistent relative to S. If S is also consistent relative to T then we say that S and T are equiconsistent.
Последовательность
В математической логике формальные теории изучаются как математические объекты. Поскольку некоторые теории достаточно мощны, чтобы моделировать различные математические объекты, естественно задаться вопросом об их собственной согласованности. В начале XX века Гильберт предложил программу, конечной целью которой было показать, используя математические методы, последовательность математики. Поскольку большинство математических дисциплин можно свести к арифметике, программа быстро стала задачей установления последовательности арифметики методами, формализуемыми внутри самой арифметики. Теоремы о неполноте Гёделя показывают, что программу Гильберта невозможно реализовать: если последовательная вычислимо перечислимая теория достаточно сильна, чтобы формализовать свою собственную метаматематику (то есть, чтобы определить, является ли что-то доказательством или нет), а именно, достаточно сильна, чтобы смоделировать слабый фрагмент арифметики (достаточно арифметики Робинсона), то эта теория не может доказать свою собственную последовательность. Существуют некоторые технические нюансы относительно требований, которым должно удовлетворять формальное утверждение, представляющее метаматематическое утверждение "теория последовательна", но итог таков: если (достаточно сильная) теория может доказать свою собственную последовательность, то либо не существует вычислимого способа определить, является ли данное утверждение аксиомой теории, либо сама теория является противоречивой (в этом случае она может доказать всё, включая ложные утверждения, такие как её собственная последовательность). В связи с этим, вместо абсолютной согласованности обычно рассматривается относительная согласованность: пусть S и T – формальные теории. Предположим, что S – последовательная теория. Следует ли из этого, что T последовательна? Если да, то T последовательна относительно S. Две теории называются эквипоследовательными, если каждая из них последовательна относительно другой.