Введение

Метод полости — математический метод, представленный Марком Мезардом, Джорджио Паризи и Мигелем Анхелем Вирасоро в 1987 году для вывода и решения некоторых моделей типа среднего поля в статистической физике, специально адаптированных к неупорядоченным системам. Метод использовался для вычисления свойств основного состояния во многих задачах конденсированного состояния и оптимизации. Изначально разработанный для работы с моделью спиновых стёкол Шеррингтона — Киркпатрика, метод полости продемонстрировал более широкую применимость. Его можно рассматривать как обобщение итеративного метода Бетхе — Пейерлса для древовидных графов на случай графа с петлями, которые не слишком короткие. Метод полости способен решать многие задачи, которые также можно решить с помощью метода реплик, но имеет преимущество в том, что он более интуитивен и менее математически сложен, чем методы, основанные на репликах. Метод полости заключается в возмущении большой системы путём добавления нетермодинамического числа дополнительных элементов и приближённом вычислении отклика всей системы в рамках теории возмущений. Применение полученного приближения, вместе с предположением о самоусреднении некоторых наблюдаемых величин, приводит к самосогласованному уравнению для статистики добавленных элементов. Эти добавленные элементы затем рассматриваются как переменные среднего поля. Метод полости оказался полезным при решении задач оптимизации, таких как k-удовлетворимость и раскраска графов. Он позволил получить не только предсказания энергии основного состояния в среднем, но и послужил источником вдохновения для алгоритмических методов.