Введение
Математическая функция с выпуклым нижним уровнем множества несвязанное обобщение выпуклости, используемое в исчислении вариаций В математике, квазиконвексная функция - это действительная функция, определяемая на интервале или на выпуклом подмножестве реального векторного пространства, таким образом, что обратное изображение любого множества формы является выпуклым множеством. Для функции одной переменной вдоль любого отрезка кривой наивысшая точка является одной из конечных точек. Отрицательная часть квазиконвексной функции называется квазиконкавной. Квазиконвективность является более общим свойством, чем конвективность, поскольку все выпуклые функции также являются квазиконвективными, но не все квазиконвективные функции являются выпуклыми. Одномерные одномодальные функции являются квазиконвексными или квазиконкавными, однако это не обязательно относится к функциям с несколькими аргументами. Например, 2-мерная функция Розенброка является унимодальной, но не квазиконвексной, а функции со звездными выпуклыми подмножествами могут быть унимодальными, не будучи квазиконвексными.
the unrelated generalization of convexity used in the calculus of variations
In mathematics, a quasiconvex function is a real valued function defined on an interval or on a convex subset of a real vector space such that the inverse image of any set of the form is a convex set. For a function of a single variable, along any stretch of the curve the highest point is one of the endpoints. The negative of a quasiconvex function is said to be quasiconcave. Quasiconvexity is a more general property than convexity in that all convex functions are also quasiconvex, but not all quasiconvex functions are convex. Univariate unimodal functions are quasiconvex or quasiconcave, however this is not necessarily the case for functions with multiple arguments. For example, the 2 dimensional Rosenbrock function is unimodal but not quasiconvex and functions with star convex sublevel sets can be unimodal without being quasiconvex.
Приложения
Квазиконвексные функции имеют применение в математическом анализе, в математической оптимизации, теории игр и экономике.
Математическая оптимизация
В нелинейной оптимизации квазиконвексное программирование изучает итеративные методы, которые сходятся с минимумом (если таковой существует) для квазиконвексных функций. Квазиконвексное программирование является обобщением выпуклого программирования. Квазиконвексное программирование используется при решении дуальных задач "сурогата", бидуалы которых обеспечивают квазиконвексные закрытия первичной задачи, которые, следовательно, обеспечивают более жесткие границы, чем выпуклые закрытия, предоставляемые дуальными проблемами Лагранжа. В теории квазиконвексное программирование и проблемы выпуклого программирования могут быть решены в разумное время, когда количество итераций растет как полином в измерении проблемы (и в обратном от допущенной ошибки приближения); однако, такие теоретически "эффективные" методы используют правила шагового размера "дивергентных рядов", которые были впервые разработаны для классических методов подградиента. Классические методы подградиента, использующие правила дивергентных рядов, намного медленнее, чем современные методы конвексной минимизации, такие как методы подградиентной проекции, методы сборки спуска и методы негладкого фильтра.
Экономика и уравнения с частичными дифференциальными уравнениями: теоремы Минимакса
В микроэкономике квазиконкавные полезные функции подразумевают, что потребители имеют выпуклые предпочтения. Квазиконвексные функции важны также в теории игр, промышленной организации и общей теории равновесия, особенно для применения теоремы минимакс Сиона. Обобщая теорему минимакса Джона фон Неймана, теорема Сиона также используется в теории частичных дифференциальных уравнений.
also in game theory, industrial organization, and general equilibrium theory, particularly for applications of Sion's minimax theorem. Generalizing a minimax theorem of John von Neumann, Sion's theorem is also used in the theory of partial differential equations.
Операции по сохранению квазиконвективности
Максимальный из квазиконвексных функций (т. е. ) является квазиконвексным. Аналогичным образом, максимум строго квазиконвективных функций является строго квазиконвективным. Аналогичным образом, минимум квазиконкавных функций является квазиконкавным, а минимум строго квазиконкавных функций - строго квазиконкавным. композиция с неснижающейся функцией: почти выпуклая, неснижающаяся, то есть почти выпуклая. Аналогично, если квазиконкавный, не уменьшающийся, то это квазиконкавный. минимизация (т. е. квазиконвективный, выпуклый набор, то есть квазиконвективный)
Операции, не сохраняющие квазиконвективность
Сумма квазиконвективных функций, определенных в одной и той же области, не обязательно должна быть квазиконвективной: другими словами, если они являются квазиконвективными, то они не обязательно должны быть квазиконвективными. Сумма квазиконвексных функций, определенных в разных областях (т.е. если они квазиконвексны, ), не обязательно должна быть квазиконвексной. Такие функции называются "аддитивно разлагаемыми" в экономике и "разделимыми" в математической оптимизации.
Примеры
Каждая выпуклая функция является квази-выпуклой. Конкавальная функция может быть квазиконвексной. Например, является как комодным, так и квазиконвексным. Любая монотонная функция является квазиконвексной и квазиконкавной. Более общим образом, функция, которая уменьшается до точки и увеличивается с этой точки, является квазиконвексной (сравните унимодальность). Функция пола является примером квазиконвексной функции, которая не является ни выпуклой, ни непрерывной.