Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В теории графов, недоказанная гипотеза Эрдеша — Гиарфаса, выдвинутая в 1995 году выдающимся математиком Полом Эрдешем и его коллегой Андрашем Гиарфасом, утверждает, что каждый граф с минимальной степенью 3 содержит простой цикл, длина которого является степенью двойки. Эрдеш предлагал приз в 100 долларов за доказательство гипотезы или 50 долларов за контрпример; это одна из многих гипотез Эрдеша. Если гипотеза неверна, контрпример будет представлять собой граф с минимальной степенью три, не содержащий циклов, длина которых является степенью двойки. Благодаря компьютерному поиску, проведенному Гордоном Ройлем и Класом Маркстремом, известно, что любой контрпример должен иметь не менее 17 вершин, а любой кубический контрпример — не менее 30 вершин. В ходе поисков Маркстрем обнаружил четыре графа на 24 вершинах, в которых единственные циклы, длина которых является степенью двойки, имеют длину 16. Один из этих четырех графов планарный; однако, сейчас известно, что гипотеза Эрдеша — Гиарфаса верна для частного случая 3-связных кубических планарных графов.
In graph theory, the unproven Erdős–Gyárfás conjecture, made in 1995 by the prolific mathematician Paul Erdős and his collaborator András Gyárfás, states that every graph with minimum degree 3 contains a simple cycle whose length is a power of two. Erdős offered a prize of $100 for proving the conjecture, or $50 for a counterexample; it is one of many conjectures of Erdős. If the conjecture is false, a counterexample would take the form of a graph with minimum degree three having no power of two cycles. It is known through computer searches of Gordon Royle and Klas Markström that any counterexample must have at least 17 vertices, and any cubic counterexample must have at least 30 vertices. Markström's searches found four graphs on 24 vertices in which the only power of two cycles have 16 vertices. One of these four graphs is planar; however, the Erdős–Gyárfás conjecture is now known to be true for the special case of 3 connected cubic planar graphs
Известны более слабые результаты, связывающие степень графа с неизбежными множествами длин циклов: существует множество S длин, такое что |S| = O(n^0.99), и каждый граф со средней степенью десять или более содержит цикл, длина которого принадлежит S, а каждый граф, чья средняя степень экспоненциальна относительно итерированного логарифма от n, обязательно содержит цикл, длина которого является степенью двойки. Также известно, что гипотеза верна для планарных графов без когтей и для графов, избегающих больших индуцированных звезд и удовлетворяющих дополнительным ограничениям на их степени.
Weaker results relating the degree of a graph to unavoidable sets of cycle lengths are known: there is a set S of lengths, with |S| = O(n0.99), such that every graph with average degree ten or more contains a cycle with its length in S , and every graph whose average degree is exponential in the iterated logarithm of n necessarily contains a cycle whose length is a power of two The conjecture is also known to be true for planar claw free graphs and for graphs that avoid large induced stars and satisfy additional constraints on their degrees .