Кіріспе
A және B векторларының жиынтығын A-дағы әрбір векторды B-дағы әрбір векторға қосу арқылы есептеуге болады.
Геометрияда Евклид кеңістігіндегі A және B позициялық векторларының екі жиынтығының Минковский қосындысы A-дағы әрбір векторды B-дағы әрбір векторға қосу арқылы құралады:
Минковский айырмасы (сонымен қатар Минковский алуы, Минковский ыдырауы немесе геометриялық айырма) – сәйкес кері операция, ол A-ны қалпына келтіру үшін B-мен қосылатын жиынтықты береді. Бұл А-ның толықтығы мен B-нің нөлдік нүктеге қарағандағы кері векторының Минковский қосындысының толықтығы ретінде анықталады. Бұл анықтама Минковский қосындысы мен айырмасы арасындағы симметриялық қатынас орнатуға мүмкіндік береді. B-мен қосынды мен айырманы алмастыру міндетті түрде бірдей нәтиже бермейтінін ескеріңіз. Қосынды айырманың аша алмайтын бос кеңістіктерді толтыра алады, ал айырма кішкентай аралдарды жоя алады, оларды қосынды ештеңеден қайта құруға мүмкіндік бермейді. 2D кескіндерді өңдеуде Минковский қосындысы мен айырмасы кеңейту және эрозия деп аталады. Дөңес пішіндердің қиылысын есептеу үшін кейде Минковский айырмасының баламалы анықтамасы қолданылады. Бұл бұрынғы анықтамамен сәйкес келмейді және қосынды операциясының керісі емес. Оның орнына Минковский қосындысының векторлық қосуын векторлық алумен алмастырады. Егер екі дөңес пішін қиылысса, нәтижедегі жиынтық нөлдік нүктені қамтиды. Бұл тұжырымдама Герман Минковскийдің құрметіне аталған.
Қолданбалар
Минковский қосуы математикалық морфологияда орталық рөл атқарады. Ол 2D компьютерлік графикадағы щетка және соққы парадигмасында (әсіресе Дональд Э. Кнуттың Metafont-тағы түрлі қолданыстарында) және 3D компьютерлік графиканың қатты сыпыру операциясы ретінде кездеседі. Бұған қоса, ол Жер көшiрушi қашықтығымен тығыз байланысты екені көрсетілген, ал одан әрі, оптималды көлікпен де байланысты.
Қозғалыс жоспарлау
Минковский сомалары кедергілер арасында объектінің қозғалысын жоспарлауда қолданылады. Олар конфигурациялық кеңістікті есептеу үшін пайдаланылады, ол объектінің барлық мүмкін болатын орналасуларының жиынтығы болып табылады. Жазықтықтағы объектінің трансляциялық қозғалысының қарапайым моделінде, онда объектінің орны осы объектінің бір бекітілген нүктесінің орнымен толық анықталады, конфигурациялық кеңістік – кедергілер жиынтығының Минковский сомасы және бастапқы нүктеде орналасқан, 180 градусқа бұрылған жылжымалы объектінің сомасы.
Сандық басқару (NC) машиналармен өңдеу
Сандық басқарумен өңдеуде, NC құралының бағдарламалауы кесу тілінің қозғалыс жолымен Minkowski қосындысының материалдағы кесіктің пішінін анықтайтынын пайдаланады.
3D қатты бөлшектерді модельдеу
OpenSCAD-да Минковски сомалары бір пішінді екінші пішінмен шектеу арқылы екі пішіннің біріккен композициясын жасау үшін қолданылады.
Агрегация теориясы
Минковский сомалары жиынтықтар арқылы сипатталатын жеке объектілерді біріктіру қажет болғанда агрегация теориясында да жиі қолданылады.
Бәсекелестік анықтауы
Минковский қосындылары, әсіресе Минковский айырмашылықтары, физикалық қозғалтқыштардағы дөңес қабықшалардың соқтығысын анықтау үшін GJK алгоритмімен бірге жиі қолданылады.
Ұшақтағы екі құрғақ көпбұрыш
Екі дөңгелек көпбұрыш үшін және және төбелері бар жазықтықта, олардың Минковский қосындысы ең көп дегенде + төбелері бар дөңгелек көпбұрыш болып табылады және оны өте қарапайым процедура арқылы O( + ) уақытында есептеуге болады, оны шамамен былай сипаттауға болады. Көпбұрыштың қабырғалары берілген және бағыты, мысалы, сағат тіліне қарсы, көпбұрыш шекарасы бойынша. Онда осы дөңгелек көпбұрыштың қабырғалары полярлық бұрыш бойынша реттелгенін оңай көруге болады. және көпбұрыштарынан алынған бағытталған қабырғалардың реттелген тізбектерін бір реттелген тізбекке біріктірейік. Бұл қабырғалар бастапқы бағыттарына параллель сақтала отырып, еркін жылжытуға болатын қатты жебелер деп ойластырыңыз. Осы жебелерді тізбек бойынша, келесі жебенің бастауын алдыңғы жебенің соңына жалғау арқылы жинаңыз. Соның нәтижесінде пайда болған көпбұрышты тізбек, шын мәнінде, және Минковский қосындысы болып табылатын дөңгелек көпбұрыш болады.
Басқа
Егер бір көпбұрыш дөңес болса, ал екіншісі дөңес болмаса, олардың Минковский қосындысының күрделілігі O(nm) болады. Егер екеуі де дөңес болмаса, олардың Минковский қосындысының күрделілігі O((mn)2) болады.