Кіріспе
Фракталды өлшеу. Математикада Хаусдорф өлшемі – аумақ және көлем туралы дәстүрлі түсініктерді бүтін емес өлшемдерге, әсіресе фракталдарға және олардың Хаусдорф өлшемдеріне кеңейту болып табылады. Бұл Феликс Хаусдорфтың атымен аталатын сыртқы өлшемнің бір түрі, ол [0,∞] аралығындағы санды кез келген жиынға немесе, жалпы алғанда, кез келген метрикалық кеңістікке тағайындайды. Нөлдік өлшемді Хаусдорф өлшемі – жиынның ішіндегі нүктелер саны (егер жиын шекті болса) немесе жиын шексіз болса ∞. Сол сияқты, жай қисық сызықтың бір өлшемді Хаусдорф өлшемі қисықтың ұзындығына тең, ал Лебег өлшенетін жиынның екі өлшемді Хаусдорф өлшемі жиынның ауданына пропорционалды. Осылайша, Хаусдорф өлшемі туралы түсінік Лебег өлшемін және оның санау, ұзындық және аудан туралы түсініктерін кеңейтеді. Ол сондай-ақ көлемді де кеңейтеді. Шындығында, кез келген d ≥ 0 үшін d өлшемді Хаусдорф өлшемдері бар, бұл міндетті түрде бүтін сан емес. Бұл өлшемдер геометриялық өлшемдер теориясының негізгі құралы болып табылады. Олар гармониялық талдау немесе потенциал теориясында табиғи түрде кездеседі.
In mathematics, Hausdorff measure is a generalization of the traditional notions of area and volume to non integer dimensions, specifically fractals and their Hausdorff dimensions. It is a type of outer measure, named for Felix Hausdorff, that assigns a number in [0,∞] to each set in or, more generally, in any metric space. The zero dimensional Hausdorff measure is the number of points in the set (if the set is finite) or ∞ if the set is infinite. Likewise, the one dimensional Hausdorff measure of a simple curve in is equal to the length of the curve, and the two dimensional Hausdorff measure of a Lebesgue measurable subset of is proportional to the area of the set. Thus, the concept of the Hausdorff measure generalizes the Lebesgue measure and its notions of counting, length, and area. It also generalizes volume. In fact, there are d dimensional Hausdorff measures for any d ≥ 0, which is not necessarily an integer. These measures are fundamental in geometric measure theory. They appear naturally in harmonic analysis or potential theory.
Анықтама
Метриялық кеңістік болсын. Кез келген ішкі жиын үшін, оның диаметрін деп белгілейік, яғни
Let be any subset of and a real number. Define
where the infimum is over all countable covers of by sets satisfying
Note that is monotone nonincreasing in since the larger is, the more collections of sets are permitted, making the infimum not larger. Thus, exists but may be infinite. Let
It can be seen that is an outer measure (more precisely, it is a metric outer measure). By Carathéodory's extension theorem, its restriction to the σ field of Carathéodory measurable sets is a measure. It is called the dimensional Hausdorff measure of Due to the metric outer measure property, all Borel subsets of are measurable. In the above definition the sets in the covering are arbitrary. However, we can require the covering sets to be open or closed, or in normed spaces even convex, that will yield the same numbers, hence the same measure. In restricting the covering sets to be balls may change the measures but does not change the dimension of the measured sets.
Кез келген ішкі жиын және нақты сан болсын. Мынаны анықтаңыз:
Let be any subset of and a real number. Define
where the infimum is over all countable covers of by sets satisfying
Note that is monotone nonincreasing in since the larger is, the more collections of sets are permitted, making the infimum not larger. Thus, exists but may be infinite. Let
It can be seen that is an outer measure (more precisely, it is a metric outer measure). By Carathéodory's extension theorem, its restriction to the σ field of Carathéodory measurable sets is a measure. It is called the dimensional Hausdorff measure of Due to the metric outer measure property, all Borel subsets of are measurable. In the above definition the sets in the covering are arbitrary. However, we can require the covering sets to be open or closed, or in normed spaces even convex, that will yield the same numbers, hence the same measure. In restricting the covering sets to be balls may change the measures but does not change the dimension of the measured sets.
мұндағы инфимум – жиынтықтардың барлық саналатын жабындары бойынша алынады, олар шартын қанағаттандырады. -ның бойынша монотонды кемігендігі байқалады, өйткені үлкен болса, жиынтықтардың көбірек жиынтығына рұқсат етіледі, соның салдарынан инфимум үлкен болмайды. Осылайша, бар, бірақ шексіз болуы мүмкін. Бұл сыртқы өлшем (дәлірек айтқанда, бұл метрикалық сыртқы өлшем) екенін көруге болады. Каратедоридің кеңейту теоремасы бойынша, оның Каратедори өлшенетін жиындарының σ-даласына шектелуі – өлшем. Ол Хаусдорф өлшемі деп аталады. Метрикалық сыртқы өлшем қасиетіне сәйкес, барлық Борель ішкі жиындары өлшенетін болады. Жоғарыдағы анықтамада жабудағы жиынтықтар кездейсоқ. Алайда, жабу жиынтықтарының ашық немесе жабық болуын, ал нормаланған кеңістіктерде тіпті дөңгелек болуын талап етуге болады, бұл бірдей сандарды, демек, бірдей өлшемді береді. Жабуларды шарлармен шектеу өлшемдерді өзгерте алады, бірақ өлшенген жиынтықтардың өлшемдерін өзгерте алмайды.
Let be any subset of and a real number. Define
where the infimum is over all countable covers of by sets satisfying
Note that is monotone nonincreasing in since the larger is, the more collections of sets are permitted, making the infimum not larger. Thus, exists but may be infinite. Let
It can be seen that is an outer measure (more precisely, it is a metric outer measure). By Carathéodory's extension theorem, its restriction to the σ field of Carathéodory measurable sets is a measure. It is called the dimensional Hausdorff measure of Due to the metric outer measure property, all Borel subsets of are measurable. In the above definition the sets in the covering are arbitrary. However, we can require the covering sets to be open or closed, or in normed spaces even convex, that will yield the same numbers, hence the same measure. In restricting the covering sets to be balls may change the measures but does not change the dimension of the measured sets.