Кіріспе
Геометрияда, кез келген түзумен қиылысы бір түзу кесіндісі болатын жиын. Геометрияда, Евклид кеңістігінің кіші жиыны немесе, жалпы алғанда, нақты сандар үстіндегі аффиндік кеңістік, егер кіші жиынның кез келген екі нүктесі берілген болса, сол кіші жиын оларды қосатын толық түзу кесіндісін қамтиды. Басқаша айтқанда, дөңгес жиын немесе дөңгес аймақ – кез келген түзуді бір түзу кесіндісімен (бос болуы мүмкін) қиып өтетін кіші жиын. Мысалы, қатты текше – дөңгес жиын, ал іші қуыс немесе ойығы бар, мысалы, ай тәрізді пішін – дөңгес емес. Жазықтықтағы дөңгес жиынның шекарасы әрқашан дөңгес қисық болады. Евклид кеңістігінің берілген A кіші жиынын қамтитын барлық дөңгес жиындардың қиылысы A-ның дөңгес қабығы деп аталады. Бұл A-ны қамтитын ең кішкентай дөңгес жиын. Дөңгес функция – интервалда анықталған және оның эпиграфы (функция графигінің үстіндегі немесе оның бойындағы нүктелер жиыны) дөңгес жиын болатын нақты мәнді функция. Дөңгес минимизациялау – дөңгес жиындарда дөңгес функцияларды минимизациялау мәселесін зерттейтін оптимизацияның бір саласы. Дөңгес жиындар мен дөңгес функциялардың қасиеттерін зерттеуге арналған математика саласы дөңгес талдау деп аталады. Дөңгес жиын ұғымын төменде сипатталғандай кеңейтуге болады.
In geometry, a subset of a Euclidean space, or more generally an affine space over the reals, is convex if, given any two points in the subset, the subset contains the whole line segment that joins them. Equivalently, a convex set or a convex region is a subset that intersects every line into a single line segment (possibly empty). For example, a solid cube is a convex set, but anything that is hollow or has an indent, for example, a crescent shape, is not convex. The boundary of a convex set in the plane is always a convex curve. The intersection of all the convex sets that contain a given subset A of Euclidean space is called the convex hull of A. It is the smallest convex set containing A. A convex function is a real valued function defined on an interval with the property that its epigraph (the set of points on or above the graph of the function) is a convex set. Convex minimization is a subfield of optimization that studies the problem of minimizing convex functions over convex sets. The branch of mathematics devoted to the study of properties of convex sets and convex functions is called convex analysis. The notion of a convex set can be generalized as described below.
Анықтамалар
S – нақты сандар үстіндегі векторлық кеңістік немесе аффиндік кеңістік болсын, немесе, жалпы алғанда, реттелген өріс (мұнда аффиндік кеңістіктер болып табылатын Эвклид кеңістіктері де кіреді). S жиынының C ішкі жиыны, егер C-дегі кез келген x және y үшін x және y нүктелерін қосатын кесінді C-ге толығымен кірсе, дөңгелек болады. Яғни, (1 − t)x + ty афиналық комбинациясы C-ге жатады, мұнда x, y ∈ C және t ∈ [0, 1]. Бұл дөңгелектік аффиндік түрлендірулерде өзгермейтін екенін білдіреді. Бұдан әрі, нақты немесе комплекс топологиялық векторлық кеңістіктегі дөңгелек жиын жолмен байланысты (демек, байланысты да) болады. C жиыны қатаң дөңгелек деп аталады, егер x және y нүктелерін қосатын кесіндідегі барлық нүктелер, соңғы нүктелерден басқасы, C-дің топологиялық ішкі кеңістігінде жатса. Жабық дөңгелек ішкі жиын қатаң дөңгелек болады, егер және тек қана оның шекаралық нүктелерінің әрқайсысы шеткі нүкте болса. C жиыны, егер ол дөңгелек және теңгерілген болса, абсолютті дөңгелек болып табылады.
This means that the affine combination (1 − t)x + ty belongs to C for all x,y in C and t in the interval [0, 1]. This implies that convexity is invariant under affine transformations. Further, it implies that a convex set in a real or complex topological vector space is path connected (and therefore also connected). A set C is strictly convex if every point on the line segment connecting x and y other than the endpoints is inside the topological interior of C. A closed convex subset is strictly convex if and only if every one of its boundary points is an extreme point. A set C is absolutely convex if it is convex and balanced.
Мысалдар
"R" (нақты сандар жиыны) -ның дөңес жиынтықтары – аралықтар мен "R" жиынының нүктелері болып табылады. Эвклид жазықтығының дөңес жиынтықтарының мысалдары – қатты дұрыс көпбұрыштар, қатты үшбұрыштар және қатты үшбұрыштардың қиылыстары. Эвклидтік үш өлшемді кеңістіктің дөңес жиынтықтарының мысалдары – Архимед денелері мен Платон денелері. Кеплер-Пойнсо полиэдрлері – дөңес емес жиынтықтардың мысалы.
Қиыршық емес жиын
Дөңес емес жиын дөңес емес жиын деп аталады. Дөңес көпбұрыш емес көпбұрыш кейде ойыс көпбұрыш деп аталады, ал кейбір дереккөздер ойыс жиын терминін дөңес емес жиынды білдіру үшін қолданады, бірақ көптеген мамандар мұндай қолданысқа тыйым салады. Дөңес жиынның толықтыруы, мысалы, ойыс функцияның эпиграфы, кейде кері дөңес жиын деп аталады, әсіресе математикалық оптимизация контекстінде.
Қасиеттері
Берілген r нүктелері u1, ..., ur дөңес жиын S-де, және r теріс емес сандар λ1, ..., λr осындай ∑λi = 1, аффиндік комбинация ∑λiui S-ке жатады. Дөңес жиынның анықтамасы 1=r=2 жағдайында қарастырылғандықтан, бұл қасиет дөңес жиындарды сипаттайды. Мұндай аффиндік комбинация u1, ..., ur-дің дөңес комбинациясы деп аталады.
nonnegative numbers λ1, , λr such that , the affine combination
belongs to S. As the definition of a convex set is the case 1=r = 2, this property characterizes convex sets. Such an affine combination is called a convex combination of u1, , ur.
Жабық құрғақ жиынтықтар
Жабық дөңес жиынтар – бұл өзінің барлық лимиттік нүктелерін қамтитын дөңес жиынтар. Оларды жабық жарты кеңістіктердің қиылысы ретінде сипаттауға болады (гипержазықтықтың бір жағында және оның үстінде жатқан кеңістіктегі нүктелер жиынтығы). Мұнда айтылғаннан мұндай қиылыстар дөңес екені және олар жабық жиынтар болады дегені анық көрінеді. Керісін дәлелдеу үшін, яғни кез келген жабық дөңес жиынтықты осындай қиылыс түрінде көрсету үшін, берілген жабық дөңес жиынтық C және одан тысқары орналасқан P нүктесі үшін, C-ні қамтитын және P-ні қамтимайтын жабық жарты кеңістік H бар екенін күндіздей көрсететін гипержазықтық теоремасы қажет. Гипержазықтық теоремасы – функционалдық талдаудың Хан-Банах теоремасының ерекше жағдайы болып табылады.
Қиыршық жинақтар мен тік төртбұрыштар
C жазықтықтағы дөңгелек дене (ішкі кеңістігі бос емес дөңгелек жиын) болсын. C ішіне r тіктөртбұрышын сыйыстыра аламыз, сондай етіп r-дің гомотетиялық көшірмесі R, C-ге сырттан оралады. Оң гомотетия коэффициенті 2-ден аспайды және:
Бласке-Сантало диаграммалары
Жазық конвексті денелердің жиынтығы конвексті дененің диаметрі D, оның ішкі радиусы r (конвексті денеге сыятын ең үлкен шеңбер) және сыртқы радиусы R (конвексті денені қамтитын ең кіші шеңбер) арқылы параметрлене алады. Шындығында, бұл жиынтықты берілген теңсіздіктер жиынтығымен сипаттауға болады және конвексті денені (r/R, D/2R) нүктесіне бейнелейтін g функциясының кескіні ретінде көруге болады. Бұл функцияның кескіні (r, D, R) Блашке-Сантало диаграммасы деп белгілі.
and can be visualized as the image of the function g that maps a convex body to the 'R'^(2) point given by (r/R, D/2R). The image of this function is known a (r, D, R) Blachke Santaló diagram.
Конвекс жиынтықтардың Минковски қосындылары
Екі тығыз дөңгелек жиынның Минковский қосындысы тығыз болады. Тығыз дөңгелек жиын мен жабық дөңгелек жиынның қосындысы жабық болады. 1966 жылы Диедонне дәлелдеген келесі белгілі теорема, екі жабық дөңгелек ішкі жиынның айырымының жабық болуы үшін жеткілікті шартты келтіреді. Ол бос емес дөңгелек S ішкі жиынының рецессиялық конусы түсінігін пайдаланады, ол былай анықталады:
Бұл жиын дөңгелек конус болып табылады және қанағаттандырады. Егер S жабық және дөңгелек болса, онда жабық болады және барлық үшін ,
Теорема (Диедонне). A және B бос емес, жабық және дөңгелек ішкі жиындар болсын, олар жергілікті дөңгелек топологиялық векторлық кеңістіктегі сызықтық ішкі кеңістікте орналасқан. Егер A немесе B жергілікті тығыз болса, онда A – B жабық болады.
Конвексизмге жалпылау және кеңейту
Евклид кеңістігіндегі дөңестік ұғымын кейбір аспектілерде анықтамасын өзгерту арқылы жалпылауға болады. Нәтижесінде алынған объектілер дөңес жиынтықтардың белгілі бір қасиеттерін сақтайтындықтан, оларға "жалпыланған дөңестік" деген атау беріледі.
Жұлдыз тәрізді (жұлдыз тәрізді) жиынтықтар
C нақты немесе кешенді векторлық кеңістіктегі жиын болсын. C жұлдыз тәрізді (жұлдыз пішіндес) егер C ішінде x₀ нүктесі болса, онда x₀-дан C-дегі кез келген y нүктесіне дейінгі түзу кесіндісі C-ге толығымен кірсе. Осылайша, бос емес дөңес жиын әрқашан жұлдыз тәрізді болады, бірақ жұлдыз тәрізді жиын әрқашан дөңес бола бермейді.
Ортогональды бүгілгендігі
Жалпыланған бүгілдіктің мысалы — ортогональды бүгілдік. Евклид кеңістігіндегі S жиыны, егер S жиынының екі нүктесін қосатын кез келген координаттық оське параллель кесінді S жиынының ішінде толығымен жатса, ортогональды түрде бүгілген немесе орто-конвексті деп аталады. Орто-конвексті жиындардың кез келген жиынтығының қиылысы орто-конвексті екенін дәлелдеу оңай. Дөңгелек жиындардың тағы да бірқатар қасиеттері де қолданылады.
Евклидтік емес геометрия
Дөңес жиын және дөңес қабықша анықтамасы Евклидтік емес геометрияларға табиғи түрде тарады, геодезиялық дөңес жиынды жиынның кез келген екі нүктесін қосатын геодезиялықтарды қамтитын деп анықтай отырып.
Рет топологиясы
Конвексияны реттік топологиямен жабдықталған толық реттелген X жиыны үшін кеңейтуге болады. Y ⊆ X болсын. Y субкеңістігі дөңес жиын болып есептеледі, егер Y-дегі кез келген a, b нүктелері үшін, егер a ≤ b болса, онда [a, b] аралығы Y жиынының ішінде жатса. Яғни, Y дөңес болады, егер және тек қана Y-дегі барлық a, b үшін a ≤ b болса, [a, b] ⊆ Y орындалса. Дөңес жиын жалпы алғанда байланысты емес: кері мысал ретінде 'Z' жиынындағы {1,2,3} қосалқы кеңістігі келтіріледі, ол дөңес, бірақ байланысты емес.
Қиыршық кеңістіктер
Дөңестікті абстракт алгебралық құрылым ретінде жалпылауға болады: егер нүктелердің дөңес комбинацияларын алу мүмкін болса, кеңістік дөңес болып есептеледі.