Бұкінгем теоремасы – өлшемдерді талдаудың маңызды құралы. Физикалық теңдеулерді өлшемсіз параметрлерге айналдыруға көмектеседі, физика заңдарының бірлік жүйесіне тәуелді еместігін көрсетеді.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Өлшемдік талдаудағы теорема
Theorem in dimensional analysis
Инженерлік, қолданбалы математика және физика салаларында Бэкингем теоремасы өлшемдік талдаудағы маңызды теорема болып табылады. Бұл Рэйлидің өлшемдік талдау әдісінің формализациясы. Теореманың мәнісі мынадай: егер физикалық мағынасы бар теңдеуде n санындағы физикалық айнымалылар болса, онда бастапқы теңдеуді p = n − k өлшемсіз параметрлердің жиынтығы (1, 2, ..., p) арқылы қайта жазуға болады, мұнда k – қатысты физикалық өлшемдердің саны; ол белгілі бір матрицаның ранкі ретінде есептеледі. Теорема берілген айнымалылардан өлшемсіз параметрлер жиынтығын есептеу әдісін немесе, тіпті теңдеудің түрі белгісіз болса да, өлшемсіздендіруді ұсынады. Бэкингем теоремасы физика заңдарының дұрыстығы нақты бір өлшем бірліктері жүйесіне тәуелді емес екенін көрсетеді. Теореманың бір тұжырымы – кез келген физикалық заңды заңмен байланысты айнымалылардың өлшемсіз комбинацияларынан (қатынастар немесе көбейтінділер) тұратын тепе-теңдік ретінде беруге болады (мысалы, қысым мен көлем Бойль заңымен байланысты – олар кері пропорционал). Егер өлшемсіз комбинациялардың мәндері өлшем бірліктері жүйесіне байланысты өзгерсе, онда теңдеу тепе-теңдік бола алмайды және теорема орындалмайды.
In engineering, applied mathematics, and physics, the Buckingham theorem is a key theorem in dimensional analysis. It is a formalisation of Rayleigh's method of dimensional analysis. Loosely, the theorem states that if there is a physically meaningful equation involving a certain number n of physical variables, then the original equation can be rewritten in terms of a set of p = n − k dimensionless parameters 1, 2, , p constructed from the original variables, where k is the number of physical dimensions involved; it is obtained as the rank of a particular matrix. The theorem provides a method for computing sets of dimensionless parameters from the given variables, or nondimensionalization, even if the form of the equation is still unknown. The Buckingham theorem indicates that validity of the laws of physics does not depend on a specific unit system. A statement of this theorem is that any physical law can be expressed as an identity involving only dimensionless combinations (ratios or products) of the variables linked by the law (for example, pressure and volume are linked by Boyle's law – they are inversely proportional). If the dimensionless combinations' values changed with the systems of units, then the equation would not be an identity, and the theorem would not hold.
Тарих
Эдгар Букингемнің атымен аталғанымен, теореманы алғаш рет француз математигі Джозеф Бертран 1878 жылы дәлелдеді. Бертран электродинамика және жылу өткізгіштік салаларындағы проблемалардың нақты жағдайларын ғана қарастырды, бірақ оның мақаласында теореманың қазіргі заманғы дәлелінің барлық негізгі идеялары қамтылған және физикалық құбылыстарды модельдеуде теореманың тиімділігін анық көрсетеді. Теореманы қолдану тәсілі ("өлшемдер әдісі") Рейлидің еңбектері арқасында кеңінен танымал болды. Теореманың құбырдағы қысымның төмендеуіне әсер ететін параметрлерге қатысты жалпы жағдайда алғашқы қолданылуы 1892 жылға, ал сериялық кеңейтулерді пайдалана отырып жасалған эвристикалық дәлелдеме 1894 жылға дейін жетеді. Теореманың кез келген көптеген шамаларға арналған формалды жалпыламасын алғаш рет 1892 жылы Айм Ваши, содан кейін 1911 жылы А. Федерман және Д. Риабучинский, ал 1914 жылы Бэкингем жасады. Дәл Бэкингемнің мақаласы өлшемсіз айнымалылар (немесе параметрлер) үшін "" символын енгізді, және осының нәтижесінде теорема осы атпен аталады.
Although named for Edgar Buckingham, the theorem was first proved by the French mathematician Joseph Bertrand in 1878. Bertrand considered only special cases of problems from electrodynamics and heat conduction, but his article contains, in distinct terms, all the basic ideas of the modern proof of the theorem and clearly indicates the theorem's utility for modelling physical phenomena. The technique of using the theorem ("the method of dimensions") became widely known due to the works of Rayleigh. The first application of the theorem in the general case to the dependence of pressure drop in a pipe upon governing parameters probably dates back to 1892, a heuristic proof with the use of series expansions, to 1894. Formal generalization of the theorem for the case of arbitrarily many quantities was given first by Aimé Vaschy in 1892, then in 1911—apparently independently—by both A. Federman and D. Riabouchinsky, and again in 1914 by Buckingham. It was Buckingham's article that introduced the use of the symbol "" for the dimensionless variables (or parameters), and this is the source of the theorem's name.
Маңыздылығы
Букингем теоремасы берілген айнымалылардан өлшемсіз параметрлер жиынтығын есептеу әдісін ұсынады, тіпті теңдеудің түрі белгісіз болса да. Алайда, өлшемсіз параметрлерді таңдау бірегей емес; Букингем теоремасы өлшемсіз параметрлер жиынтығын құрудың жолын ғана көрсетеді және ең «физикалық мағынасы бар» параметрлерді анықтамайды. Бұл параметрлер сәйкес келетін екі жүйе ұқсас деп аталады (ұқсас үшбұрыштардағыдай, олар тек масштаб бойынша ғана ерекшеленеді); олар теңдеу мақсатында эквивалентті, ал теңдеудің түрін анықтағысы келетін зерттеуші ең ыңғайлы жүйені таңдай алады. Ең маңыздысы, Букингем теоремасы айнымалылар саны мен негізгі өлшемдер арасындағы қатынасты сипаттайды.
The Buckingham theorem provides a method for computing sets of dimensionless parameters from given variables, even if the form of the equation remains unknown. However, the choice of dimensionless parameters is not unique; Buckingham's theorem only provides a way of generating sets of dimensionless parameters and does not indicate the most "physically meaningful". Two systems for which these parameters coincide are called similar (as with similar triangles, they differ only in scale); they are equivalent for the purposes of the equation, and the experimentalist who wants to determine the form of the equation can choose the most convenient one. Most importantly, Buckingham's theorem describes the relation between the number of variables and fundamental dimensions.
Қайта масштабтау бірліктері
Егер бізде шамалар болса, онда шамалардың бірліктері ұзындықтың белгілі бір дәрежеге көтерілген күйін қамтиды. Егер біз бастапқыда ұзындықты метрмен өлшесек, бірақ кейін сантиметрге ауыссақ, онда шаманың сандық мәні фактормен қайта бағаланады. Кез келген физикалық мағыналы заң кез келген негізгі бірліктің кездейсоқ қайта бағалануына қатысты өзгермейтін болуы керек; осы фактіге пи теоремасы сүйенеді.
Suppose we have quantities , where the units of contain length raised to the power If we originally measure length in meters but later switch to centimeters, then the numerical value of would be rescaled by a factor of Any physically meaningful law should be invariant under an arbitrary rescaling of every fundamental unit; this is the fact that the pi theorem hinges on.
Электр қуаты
Теореманың қолданылуын көрсету үшін, белгілі бір пішіндегі араластырғыштың қуат тұтынуын қарастырайық. Қуат, P, [M · L2/T3] өлшемдерінде, тығыздық ρ [M/L3] және араластырылатын сұйықтықтың тұтқырлығы μ [M/(L · T)], сондай-ақ араластырғыштың диаметрі D [L] және оның бұрыштық жылдамдығы n [1/T] функциясы болып табылады. Осылайша, мысалымызды сипаттау үшін n = 5 айнымалы бар. Бұл n = 5 айнымалы k = 3 тәуелсіз өлшемнен – мысалы, ұзындық: L (SI бірліктері: м), уақыт: T (с) және масса: M (кг) – құралады. Теоремаға сәйкес, n = 5 айнымалыны k = 3 өлшем арқылы азайту арқылы p = n − k = 5 − 3 = 2 тәуелсіз өлшемсіз сан алуға болады. Бұл шамалар әдетте , сұйық ағыны режимін сипаттайтын Рейнольдс саны деп аталады, және , араластырғышты сипаттайтын қуат саны болып табылады. Екі өлшемсіз санның бірегей еместігіне назар аударыңыз, олардың мәні n = 5 айнымалының қайсысы k = 3 өлшемге тәуелсіз негізгі айнымалылар ретінде таңдалғанына байланысты, және бұл екі айнымалы да екі өлшемсіз санда кездеседі. Егер , n және D негізгі айнымалылар ретінде таңдалса, Рейнольдс саны мен қуат саны жоғарыдағы талдаудан шығарылады. Егер , n және D таңдалса, Рейнольдс саны қайтадан алынады, ал екінші өлшемсіз сан болады. Рейнольдс саны мен қуат санының көбейтіндісі екеніне назар аударыңыз.
To demonstrate the application of the theorem, consider the power consumption of a stirrer with a given shape. The power, P, in dimensions [M · L2/T3], is a function of the density, ρ [M/L3], and the viscosity of the fluid to be stirred, μ [M/(L · T)], as well as the size of the stirrer given by its diameter, D [L], and the angular speed of the stirrer, n [1/T]. Therefore, we have a total of n = 5 variables representing our example. Those n = 5 variables are built up from k = 3 independent dimensions, e. g., length: L (SI units: m), time: T (s), and mass: M (kg). According to the theorem, the n = 5 variables can be reduced by the k = 3 dimensions to form p = n − k = 5 − 3 = 2 independent dimensionless numbers. Usually, these quantities are chosen as , commonly named the Reynolds number which describes the fluid flow regime, and , the power number, which is the dimensionless description of the stirrer. Note that the two dimensionless quantities are not unique and depend on which of the n = 5 variables are chosen as the k = 3 dimensionally independent basis variables, which, in this example, appear in both dimensionless quantities. The Reynolds number and power number fall from the above analysis if , n, and D are chosen to be the basis variables. If, instead, , n, and D are selected, the Reynolds number is recovered while the second dimensionless quantity becomes We note that is the product of the Reynolds number and the power number.
Басқа мысалдар
Өлшемдік талдаудың мысалын жұқа, қатты және параллель қабырғалы айналатын дискінің механикасы жағдайында кездестіруге болады. Мұнда бес айнымалы бар, олар екі өлшемсіз топқа дейін тоғысып, арақатынастарын сандық тәжірибе арқылы анықтауға болады, мысалы, шекті элементтер әдісін пайдалану арқылы. Бұл теорема физикадан өзге де салаларда қолданылған, мәселен, спорт ғылымында.
An example of dimensional analysis can be found for the case of the mechanics of a thin, solid and parallel sided rotating disc. There are five variables involved which reduce to two non dimensional groups. The relationship between these can be determined by numerical experiment using, for example, the finite element method. The theorem has also been used in fields other than physics, for instance in sports science.