Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Теорема в размерном анализе
Theorem in dimensional analysis
В инженерии, прикладной математике и физике теорема Бакингема является ключевой теоремой в размерном анализе. Она является формализацией метода Рэлея в размерном анализе. В общих чертах, теорема утверждает, что если существует физически осмысленное уравнение, включающее определенное число физических переменных n, то исходное уравнение можно переписать в терминах набора из p = n − k безразмерных параметров 1, 2, ..., p, сконструированных из исходных переменных, где k – число задействованных физических размерностей; оно определяется как ранг определенной матрицы. Теорема предоставляет метод вычисления наборов безразмерных параметров из заданных переменных, или приведения к безразмерному виду, даже если форма уравнения все еще неизвестна. Теорема Бакингема указывает на то, что справедливость законов физики не зависит от конкретной системы единиц. Утверждение этой теоремы заключается в том, что любой физический закон может быть выражен как тождество, включающее только безразмерные комбинации (отношения или произведения) переменных, связанных этим законом (например, давление и объем связаны законом Бойля – они обратно пропорциональны). Если бы значения безразмерных комбинаций изменялись при смене системы единиц, то уравнение не было бы тождеством, и теорема не выполнялась бы.
In engineering, applied mathematics, and physics, the Buckingham theorem is a key theorem in dimensional analysis. It is a formalisation of Rayleigh's method of dimensional analysis. Loosely, the theorem states that if there is a physically meaningful equation involving a certain number n of physical variables, then the original equation can be rewritten in terms of a set of p = n − k dimensionless parameters 1, 2, , p constructed from the original variables, where k is the number of physical dimensions involved; it is obtained as the rank of a particular matrix. The theorem provides a method for computing sets of dimensionless parameters from the given variables, or nondimensionalization, even if the form of the equation is still unknown. The Buckingham theorem indicates that validity of the laws of physics does not depend on a specific unit system. A statement of this theorem is that any physical law can be expressed as an identity involving only dimensionless combinations (ratios or products) of the variables linked by the law (for example, pressure and volume are linked by Boyle's law – they are inversely proportional). If the dimensionless combinations' values changed with the systems of units, then the equation would not be an identity, and the theorem would not hold.
История
Хотя теорема названа в честь Эдгара Букингема, она была впервые доказана французским математиком Джозефом Бертрандом в 1878 году. Бертран рассматривал лишь частные случаи задач из электродинамики и теплопроводности, но в его статье четко изложены все основные идеи современного доказательства теоремы и ясно показана ее применимость для моделирования физических явлений. Метод использования теоремы ("метод размерностей") получил широкую известность благодаря работам Рэлея. Первое применение теоремы в общем виде к зависимости перепада давления в трубе от определяющих параметров, вероятно, относится к 1892 году – эвристическое доказательство с использованием разложений в ряд – к 1894 году. Формальное обобщение теоремы для случая произвольного числа величин было впервые дано Айме Ваши в 1892 году, затем в 1911 году – по-видимому, независимо – А. Федерманом и Д. Риабучинским, и вновь в 1914 году Букингемом. Именно в статье Букингема было введено обозначение "" для безразмерных величин (или параметров), и это послужило источником названия теоремы.
Although named for Edgar Buckingham, the theorem was first proved by the French mathematician Joseph Bertrand in 1878. Bertrand considered only special cases of problems from electrodynamics and heat conduction, but his article contains, in distinct terms, all the basic ideas of the modern proof of the theorem and clearly indicates the theorem's utility for modelling physical phenomena. The technique of using the theorem ("the method of dimensions") became widely known due to the works of Rayleigh. The first application of the theorem in the general case to the dependence of pressure drop in a pipe upon governing parameters probably dates back to 1892, a heuristic proof with the use of series expansions, to 1894. Formal generalization of the theorem for the case of arbitrarily many quantities was given first by Aimé Vaschy in 1892, then in 1911—apparently independently—by both A. Federman and D. Riabouchinsky, and again in 1914 by Buckingham. It was Buckingham's article that introduced the use of the symbol "" for the dimensionless variables (or parameters), and this is the source of the theorem's name.
Значение
Теорема Бакингэма предоставляет метод вычисления наборов безразмерных параметров из заданных переменных, даже если форма уравнения остаётся неизвестной. Однако выбор безразмерных параметров не является единственным; теорема Бакингэма лишь даёт способ получения наборов безразмерных параметров и не указывает на наиболее "физически осмысленные". Две системы, для которых эти параметры совпадают, называются подобными (как и подобные треугольники, они отличаются только масштабом); они эквивалентны для целей данного уравнения, и экспериментатор, желающий определить форму уравнения, может выбрать наиболее удобную из них. Наиболее важно, что теорема Бакингэма описывает соотношение между числом переменных и основными размерностями.
The Buckingham theorem provides a method for computing sets of dimensionless parameters from given variables, even if the form of the equation remains unknown. However, the choice of dimensionless parameters is not unique; Buckingham's theorem only provides a way of generating sets of dimensionless parameters and does not indicate the most "physically meaningful". Two systems for which these parameters coincide are called similar (as with similar triangles, they differ only in scale); they are equivalent for the purposes of the equation, and the experimentalist who wants to determine the form of the equation can choose the most convenient one. Most importantly, Buckingham's theorem describes the relation between the number of variables and fundamental dimensions.
Устройства для переоформления
Предположим, что у нас есть величины , где единицы измерения содержат длину в степени . Если мы изначально измеряем длину в метрах, а затем переходим к сантиметрам, то числовое значение величины изменится в раз. Любой физически осмысленный закон должен быть инвариантным относительно произвольного изменения масштаба каждой фундаментальной единицы; именно на этом факте основана теорема π.
Suppose we have quantities , where the units of contain length raised to the power If we originally measure length in meters but later switch to centimeters, then the numerical value of would be rescaled by a factor of Any physically meaningful law should be invariant under an arbitrary rescaling of every fundamental unit; this is the fact that the pi theorem hinges on.
Электрическая мощность
Для демонстрации применения теоремы рассмотрим потребление энергии мешалкой с заданной формой. Мощность, P, в размерностях [M · L2/T3], является функцией плотности, ρ [M/L3], и вязкости перемешиваемой жидкости, μ [M/(L · T)], а также размера мешалки, определяемого её диаметром, D [L], и угловой скорости мешалки, n [1/T]. Таким образом, у нас есть в общей сложности n = 5 переменных, представляющих наш пример. Эти n = 5 переменных построены из k = 3 независимых размерностей, например, длина: L (единицы СИ: м), время: T (с) и масса: M (кг). Согласно теореме, переменные n = 5 могут быть сведены к k = 3 размерностям, чтобы сформировать p = n − k = 5 − 3 = 2 независимых безразмерных числа. Обычно эти величины выбираются как , обычно называемое числом Рейнольдса, которое описывает режим течения жидкости, и , числом мощности, которое является безразмерным описанием мешалки. Обратите внимание, что эти два безразмерных числа не являются уникальными и зависят от того, какие из n = 5 переменных выбраны в качестве k = 3 размерностно независимых базисных переменных, которые в этом примере присутствуют в обоих безразмерных числах. Числа Рейнольдса и мощности исключаются из вышеуказанного анализа, если , n и D выбраны в качестве базисных переменных. Если вместо этого выбрать , n и D, то число Рейнольдса восстанавливается, а второе безразмерное число становится равным произведению числа Рейнольдса и числа мощности.
To demonstrate the application of the theorem, consider the power consumption of a stirrer with a given shape. The power, P, in dimensions [M · L2/T3], is a function of the density, ρ [M/L3], and the viscosity of the fluid to be stirred, μ [M/(L · T)], as well as the size of the stirrer given by its diameter, D [L], and the angular speed of the stirrer, n [1/T]. Therefore, we have a total of n = 5 variables representing our example. Those n = 5 variables are built up from k = 3 independent dimensions, e. g., length: L (SI units: m), time: T (s), and mass: M (kg). According to the theorem, the n = 5 variables can be reduced by the k = 3 dimensions to form p = n − k = 5 − 3 = 2 independent dimensionless numbers. Usually, these quantities are chosen as , commonly named the Reynolds number which describes the fluid flow regime, and , the power number, which is the dimensionless description of the stirrer. Note that the two dimensionless quantities are not unique and depend on which of the n = 5 variables are chosen as the k = 3 dimensionally independent basis variables, which, in this example, appear in both dimensionless quantities. The Reynolds number and power number fall from the above analysis if , n, and D are chosen to be the basis variables. If, instead, , n, and D are selected, the Reynolds number is recovered while the second dimensionless quantity becomes We note that is the product of the Reynolds number and the power number.
Другие примеры
Пример размерного анализа можно найти на примере механики тонкого, твердого вращающегося диска с параллельными сторонами. В рассмотрении участвует пять переменных, которые приводят к двум безразмерным группам. Зависимость между ними может быть определена численным экспериментом, например, с использованием метода конечных элементов. Эта теорема также находит применение в областях, отличных от физики, например, в спортивной науке.
An example of dimensional analysis can be found for the case of the mechanics of a thin, solid and parallel sided rotating disc. There are five variables involved which reduce to two non dimensional groups. The relationship between these can be determined by numerical experiment using, for example, the finite element method. The theorem has also been used in fields other than physics, for instance in sports science.