Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Жүйе күйлерінің энергиясының ықтималдық үлестірілімі Жүйе күйлерінің энергиясы
Probability distribution of energy states of a system
system energy states
Статистикалық механика мен математикада Болцманның үлестірімі (кейде Гиббс үлестірімі деп те аталады) – жүйенің белгілі бір күйде болу ықтималдығын, сол күйдің энергиясы мен жүйенің температурасының функциясы ретінде көрсететін ықтималдық үлестірімі немесе ықтималдық шамасы. Бұл үлестірім мына түрде жазылады:
In statistical mechanics and mathematics, a Boltzmann distribution (also called Gibbs distribution) is a probability distribution or probability measure that gives the probability that a system will be in a certain state as a function of that state's energy and the temperature of the system. The distribution is expressed in the form:
мұнда pi – жүйенің i күйде болу ықтималдығы, exp – экспоненциалдық функция, εi – сол күйдің энергиясы, ал kT – Болцман тұрақтысы k пен термодинамикалық температура T-ның көбейтіндісінен тұратын тұрақты шама. Символ пропорционалдылықты білдіреді (пропорционалдылық тұрақтысын қараңыз). «Жүйе» терминінің мағынасы кең; ол «жеткілікті» атомдар жиынтығынан бастап, жеке атомға дейін, тіпті табиғи газ сақтау ыдысы сияқты макроскопиялық жүйеге дейін болуы мүмкін. Сондықтан Болцманның үлестірімін алуан түрлі мәселелерді шешу үшін қолдануға болады. Үлестірім көрсеткендей, энергиясы төмен күйлерде болу ықтималдығы жоғары болады. Екі күйдің ықтималдықтарының қатынасы Болцман факторы деп аталады және ол тек күйлердің энергия айырмашылығына ғана тәуелді:
where pi is the probability of the system being in state i, exp is the exponential function, εi is the energy of that state, and a constant kT of the distribution is the product of the Boltzmann constant k and thermodynamic temperature T. The symbol denotes proportionality (see for the proportionality constant). The term system here has a wide meaning; it can range from a collection of 'sufficient number' of atoms or a single atom to a macroscopic system such as a natural gas storage tank. Therefore the Boltzmann distribution can be used to solve a wide variety of problems. The distribution shows that states with lower energy will always have a higher probability of being occupied. The ratio of probabilities of two states is known as the Boltzmann factor and characteristically only depends on the states' energy difference:
Болцманның үлестірімі Людвиг Болцманның есімімен аталады, ол оны алғаш рет 1868 жылы жылулық тепе-теңдіктегі газдардың статистикалық механикасын зерттеу барысында жасаған. Болцманның статистикалық еңбегі оның «Жылудың механикалық теориясының екінші негізгі теоремасы мен жылулық тепе-теңдік шарттарына қатысты ықтималдық есептеулер арасындағы байланыс туралы» атты мақаласында жарияланған.
The Boltzmann distribution is named after Ludwig Boltzmann who first formulated it in 1868 during his studies of the statistical mechanics of gases in thermal equilibrium. Boltzmann's statistical work is borne out in his paper “On the Relationship between the Second Fundamental Theorem of the Mechanical Theory of Heat and Probability Calculations Regarding the Conditions for Thermal Equilibrium"
Бұл үлестірімді кейіннен 1902 жылы Жосия Уиллард Гиббс қазіргі кездегі жалпы түрінде жан-жақты зерттеді. Болцманның үлестірімін Максвелл-Болцманның үлестірімімен немесе Максвелл-Болцман статистикасымен шатастыруға болмайды. Болцманның үлестірімі жүйенің белгілі бір күйде болу ықтималдығын, сол күйдің энергиясының функциясы ретінде көрсетеді, ал Максвелл-Болцманның үлестірімі идеалдық газдардағы бөлшектердің жылдамдықтарының немесе энергияларының ықтималдығын көрсетеді. Дегенмен, бір өлшемді газдағы энергияның үлестірімі Болцманның үлестіріміне сәйкес келеді.
The distribution was later investigated extensively, in its modern generic form, by Josiah Willard Gibbs in 1902. The Boltzmann distribution should not be confused with the Maxwell–Boltzmann distribution or Maxwell Boltzmann statistics. The Boltzmann distribution gives the probability that a system will be in a certain state as a function of that state's energy, while the Maxwell Boltzmann distributions give the probabilities of particle speeds or energies in ideal gases. The distribution of energies in a one dimensional gas however, does follow the Boltzmann distribution.
Математикадан
Жалпы математикалық жағдайда Болцманның үлестірімі Гиббс өлшемі деп те аталады. Статистика мен машиналық оқытуда ол логарифмдік-сызықтық модель деп аталады. Тераң оқытуда Болцманның үлестірімі, Болцман машинасы, шектелген Болцман машинасы, энергияға негізделген модельдер және терең Болцман машинасы сияқты стохастикалық нейрондық желілердің сынама алу үлестірімінде қолданылады. Тераң оқытуда Болцман машинасы қадағаланбас оқыту модельдерінің бірі саналады. Тераң оқытудағы Болцман машинасының жобалануында түйіндер саны артқан сайын, нақты уақыт қосымшаларын іске асыру қиындығы маңызды мәселеге айналады, сондықтан шектелген Болцман машинасы деп аталатын архитектураның басқа түрі енгізіледі.
In more general mathematical settings, the Boltzmann distribution is also known as the Gibbs measure. In statistics and machine learning, it is called a log linear model. In deep learning, the Boltzmann distribution is used in the sampling distribution of stochastic neural networks such as the Boltzmann machine, restricted Boltzmann machine, energy based models and deep Boltzmann machine. In deep learning, the Boltzmann machine is considered to be one of the unsupervised learning models. In the design of Boltzmann machine in deep learning, as the number of nodes are increased the difficulty of implementing in real time applications becomes critical, so a different type of architecture named Restricted Boltzmann machine is introduced.
Экономика саласында
Больцманның үлестірілімін эмиссиялар саудасында рұқсаттарды бөлу үшін қолдануға болады. Больцманның үлестірілімін пайдаланатын жаңа бөлу әдісі көптеген елдер арасында эмиссияларға рұқсаттардың ең мүмкін, табиғи және әділ үлестірілімін сипаттай алады. Больцманның үлестірілімі көпмүшелік логит модельмен бірдей формаға ие. Дискретті таңдау моделі ретінде, бұл экономикада кеңінен танымал, себебі Дэниел МакФадден оны кездейсоқ пайдалылықты барынша арттырумен байланыстырды.
The Boltzmann distribution can be introduced to allocate permits in emissions trading. The new allocation method using the Boltzmann distribution can describe the most probable, natural, and unbiased distribution of emissions permits among multiple countries. The Boltzmann distribution has the same form as the multinomial logit model. As a discrete choice model, this is very well known in economics since Daniel McFadden made the connection to random utility maximization.