Кіріспе
Сызықтық емес жүйелер мен бастапқы шарттарға негізделген математика және ғылым саласы. Хаос теориясы – ғылыми зерттеудің және математиканың салааралық саласы. Ол бастапқы шарттарға өте сезімтал динамикалық жүйелердің жатқандағы үлгілері мен детерминистік заңдарына назар аударады. Бұрын осы жүйелер толығымен ретсіз және кездейсоқ күйде деп есептелген. Хаос теориясы хаотикалық күрделі жүйелердің сырттай кездейсоқ көрінетін тәртібінде жатқандағы үлгілер, өзара байланыс, тұрақты кері байланыс, қайталану, өзіне ұқсастық, фракталдар және өзін-өзі ұйымдастыру бар екенін көрсетеді. Хаос теориясының негізгі принципі – көбелек эффектісі, ол детерминистік сызықтық емес жүйенің бір күйіндегі шағын өзгеріс кейінгі күйде үлкен айырмашылықтарға алып келуі мүмкін екенін сипаттайды (яғни бастапқы шарттарға сезімтал тәуелділік бар). Мысалы, Бразилияда қанатын қағып ұшқан көбелек Техаста торнадо тудыруы мүмкін. Бастапқы шарттардағы шағын айырмашылықтар, өлшеу қателіктері немесе сандық есептеулердегі дөңгелектеу қателіктері сияқты, мұндай динамикалық жүйелер үшін өте әртүрлі нәтижелерге әкелуі мүмкін, олардың мінез-құлқын ұзақ мерзімде болжауды мүмкін емес етеді. Бұл жүйелер детерминистік болса да, олардың болашақ мінез-құлқы бірегей эволюция арқылы дамиды және бастапқы шарттарымен толық анықталады, кездейсоқ элементтер жоқ. Басқаша айтқанда, осы жүйелердің детерминистік болуы оларды болжауға мүмкін емес етеді. Бұл мінез-құлық детерминистік хаос немесе жай ғана хаос деп аталады. Эдвард Лоренц осы теорияны былай қорытындылады:
Chaos theory is an interdisciplinary area of scientific study and branch of mathematics. It focuses on underlying patterns and deterministic laws of dynamical systems that are highly sensitive to initial conditions. These were once thought to have completely random states of disorder and irregularities. Chaos theory states that within the apparent randomness of chaotic complex systems, there are underlying patterns, interconnection, constant feedback loops, repetition, self similarity, fractals and self organization. The butterfly effect, an underlying principle of chaos, describes how a small change in one state of a deterministic nonlinear system can result in large differences in a later state (meaning there is sensitive dependence on initial conditions). A metaphor for this behavior is that a butterfly flapping its wings in Brazil can cause a tornado in Texas. Small differences in initial conditions, such as those due to errors in measurements or due to rounding errors in numerical computation, can yield widely diverging outcomes for such dynamical systems, rendering long term prediction of their behavior impossible in general. This can happen even though these systems are deterministic, meaning that their future behavior follows a unique evolution and is fully determined by their initial conditions, with no random elements involved. In other words, the deterministic nature of these systems does not make them predictable. This behavior is known as deterministic chaos, or simply chaos. The theory was summarized by Edward Lorenz as:
Chaos: When the present determines the future but the approximate present does not approximately determine the future. Chaotic behavior exists in many natural systems, including fluid flow, heartbeat irregularities, weather and climate. sociology, environmental science, computer science, engineering, economics, ecology, and pandemic crisis management. The theory formed the basis for such fields of study as complex dynamical systems, edge of chaos theory and self assembly processes.
Хаос: қазіргі кез болашақты анықтаса, ал шамамен қазіргі кез болашақты шамамен анықтамайды. Хаотикалық мінез-құлық көптеген табиғи жүйелерде кездеседі, оның ішінде сұйықтық ағыны, жүрек соғуының бұзылуы, ауа райы мен климат, социология, экологиялық ғылым, компьютерлік ғылым, инженерия, экономика, экология және пандемиялық дағдарысты басқару. Бұл теория күрделі динамикалық жүйелер, хаос шегі теориясы және өзін-өзі құрастыру процестері сияқты зерттеу салаларының негізін қалады.
Chaos theory is an interdisciplinary area of scientific study and branch of mathematics. It focuses on underlying patterns and deterministic laws of dynamical systems that are highly sensitive to initial conditions. These were once thought to have completely random states of disorder and irregularities. Chaos theory states that within the apparent randomness of chaotic complex systems, there are underlying patterns, interconnection, constant feedback loops, repetition, self similarity, fractals and self organization. The butterfly effect, an underlying principle of chaos, describes how a small change in one state of a deterministic nonlinear system can result in large differences in a later state (meaning there is sensitive dependence on initial conditions). A metaphor for this behavior is that a butterfly flapping its wings in Brazil can cause a tornado in Texas. Small differences in initial conditions, such as those due to errors in measurements or due to rounding errors in numerical computation, can yield widely diverging outcomes for such dynamical systems, rendering long term prediction of their behavior impossible in general. This can happen even though these systems are deterministic, meaning that their future behavior follows a unique evolution and is fully determined by their initial conditions, with no random elements involved. In other words, the deterministic nature of these systems does not make them predictable. This behavior is known as deterministic chaos, or simply chaos. The theory was summarized by Edward Lorenz as:
Chaos: When the present determines the future but the approximate present does not approximately determine the future. Chaotic behavior exists in many natural systems, including fluid flow, heartbeat irregularities, weather and climate. sociology, environmental science, computer science, engineering, economics, ecology, and pandemic crisis management. The theory formed the basis for such fields of study as complex dynamical systems, edge of chaos theory and self assembly processes.
Кіріспе
Хаос теориясы детерминистік жүйелерге қатысты, олардың мінез-құлқы, принцип бойынша, болжауға болады. Хаотикалық жүйелер біраз уақытқа дейін болжауға болады, содан кейін "көзбен көрінетіндей" кездейсоқ болып кетеді. Хаотикалық жүйенің мінез-құлқын тиімді болжауға болатын уақыт үш нәрсеге байланысты: болжамда қаншалықты белгісіздікке төзе аламыз, оның қазіргі күйін қаншалықты дәл өлшеуге болады және жүйенің динамикасына байланысты уақыт өлшемі, ол Ляпунов уақыты деп аталады. Ляпунов уақытының мысалдары: хаотикалық электрлік тізбектер, шамамен 1 миллисекунд; ауа-райы жүйелері, бірнеше күн (дәлелденбеген); ішкі Күн жүйесі, 4-5 миллион жыл. Хаотикалық жүйелерде болжамның белгісіздігі уақыт өте келе экспоненциалды түрде артады. Сондықтан, математикалық тұрғыдан алғанда, болжам уақытын екі есеге арттыру болжамдағы пропорционалдық белгісіздіктің квадратына теңестіреді. Демек, практикада, Ляпунов уақытының екі немесе үш еселенгенінен артық интервалда мағыналы болжам жасау мүмкін емес. Мағыналы болжамдар жасалмағанда, жүйе кездейсоқ болып көрінеді. Хаос теориясы – динамикалық жүйелердің мінез-құлқын зерттеу үшін қолданылатын сапалық және сандық талдау әдісі, оны жеке деректер байланысы арқылы түсіндіріп болжау мүмкін емес, бірақ оны толық, үздіксіз деректер байланысы арқылы түсіндіріп болжау қажет.
Периодикалық орбиталардың тығыздығы
Хаостық жүйенің тығыз периодты орбиталарының болуы, кеңістіктегі әрбір нүктеге периодты орбиталардың кез келген жақындыққа дейін жуықтап келуін білдіреді. Шарковский теоремасы Ли және Йорк (1975) еңбегіндегі дәлелдің негізі болып табылады: кез келген үздіксіз бір өлшемді жүйе үш периодты циклді көрсетсе, ол басқа кез келген ұзындықтағы циклдарды, сондай-ақ толығымен хаостық орбиталарды да көрсетеді.
Ажыратушы заттар
Кейбір динамикалық жүйелер, мысалы x → 4x(1 – x) арқылы анықталатын бір өлшемді логистикалық карта, барлық жерде хаотикалық, бірақ көп жағдайларда хаотикалық мінез-құлық фазалық кеңістіктің ішкі жиынында ғана кездеседі. Ең қызығушылық тудыратын жағдайлар, хаотикалық мінез-құлық тартымдылықта орын алатын кезде пайда болады, себебі онда бастапқы жағдайлардың үлкен тобы осы хаотикалық аймаққа жақындайтын орбиталарға әкеледі. Тартымдылықтың тарту алабындағы нүктеден бастап, оның кейінгі орбитасын сызу арқылы хаотикалық тартымдылықты елестетудің оңай жолы бар. Топологиялық транзитивтілік шартына сәйкес, бұл соңғы тартымдылықтың толық суретін шығаруы мүмкін, және шындығында, оң жақтағы суретте көрсетілген екі орбита да Лоренц тартымдылығының жалпы пішінін көрсетеді. Бұл тартымдылық Лоренц ауа райы жүйесінің қарапайым үш өлшемді моделінен туындайды. Лоренц тартымдылығы, бәлкім, ең танымал хаотикалық жүйе диаграммаларының бірі болар, себебі ол ғана емес, сонымен қатар ең күрделілердің бірі, және осылайша өте қызықты үлгіге әкеледі, сәл қиялмен, көбелектің қанаттарына ұқсайды. Тұрақты нүктелік тартымдылықтардан және шекті циклдардан айырмашылығы, хаотикалық жүйелерден туындайтын, «ғажайып тартымдылықтар» деп аталатын тартымдылықтар, зор егжей-тегжейлілікке және күрделілікке ие. Ғажайып тартымдылықтар үздіксіз динамикалық жүйелерде де (мысалы, Лоренц жүйесі) және кейбір дискретті жүйелерде де (мысалы, Хенон картасы) кездеседі. Басқа дискретті динамикалық жүйелерде тұрақты нүктелердің тарту алаптарының арасындағы шекарада қалыптасатын «Джулия жиыны» деп аталатын керітетін құрылым бар. Джулия жиындары «ғажайып репеллерлер» ретінде қарастырылуы мүмкін. Ғажайып тартымдылықтар мен Джулия жиындарының екеуі де фракталдық құрылымға ие, және олар үшін фракталдық өлшемді есептеуге болады.
Бірге жұмыс істейтін тартымды факторлар
[[Файл:Бірге тұрған тартымды элементтер. Лоренцтің жалпыланған моделінде хаотикалық және хаотикалық емес аттракторлардың бірге болуы. әртүрлі типтегі шешімдерді қарастырудың маңыздылығын атап өтті. Мысалы, бір модельде (мысалы, қос маятник жүйесі) бірдей модельдеу параметрлерін қолдана отырып, бірақ әртүрлі бастапқы шарттарда хаотикалық және хаотикалық емес аттракторлар бірдей пайда болуы мүмкін. Классикалық және жалпыланған Лоренц модельдерінен алынған аттракторлардың бірлесіп өмір сүруінің нәтижелері, "ауа райының барлығы хаос пен тәртіптің екі жақты табиғатын және ерекше болжамдылықты" қамтиды деген жаңа көзқарас ұсынды, бұл "ауа райы хаотикалық" деген дәстүрлі көзқарасқа қарама-қарсы келеді.
Қауіпті жүйенің ең төменгі күрделілігі
Суреттің оң жағында логистикалық картаның бифуркациялық диаграммасы көрсетілген: x → r x (1 – x). Әрбір тік қимасы r-дің нақты бір мәні үшін тартымдылықты көрсетеді. Диаграмма r-дің өсуімен кезеңнің екі еселенуін көрсетеді, соңында хаос пайда болады. Қараңғырақ нүктелер жиірек таңдалады. Логистикалық карта сияқты дискретті хаотикалық жүйелер, олардың өлшемдеріне қарамастан, ерекше тартымдылықтарды көрсете алады. Керісінше, үздіксіз динамикалық жүйелер үшін Пуанкаре-Бендиксон теоремасы ерекше тартымдылықтың тек үш немесе одан көп өлшемде пайда болатынын көрсетеді. Шектелген өлшемді сызықтық жүйелер ешқашан хаотикалық болмайды; динамикалық жүйенің хаотикалық мінез-құлқымен көрінуі үшін, ол сызықтық емес немесе шексіз өлшемді болуы керек. Пуанкаре-Бендиксон теоремасы екі өлшемді дифференциалдық теңдеудің өте тұрақты мінез-құлқы бар екенін мәлімдейді. Төменде талқыланатын Лоренц тартымдылығы үш дифференциалдық теңдеулер жүйесі арқылы құрылады: мұндағы , , және жүйе күйін құрайды, – уақыт, ал , , – жүйе параметрлері. Оң жақтағы бес термин сызықтық, ал екісі квадраттық, барлығы жеті термин. Танымал хаотикалық тартымдылықтың тағы бірі – Росслер теңдеулері, оларда жеті терминнің ішінде тек бір сызықтық емес термин бар. Спротт үш өлшемді жүйені тапты, онда бес термин ғана бар, соның ішінде тек бір сызықтық емес термин бар, ол белгілі бір параметрлерде хаос көрсетеді. Чжан және Хайдель, кемінде диссипативті және консервативті квадраттық жүйелер үшін, оң жақта үш немесе төрт термин ғана бар үш өлшемді квадраттық жүйелер хаотикалық мінез-құлықты көрсетпеуі мүмкін екенін көрсетті. Бұл себебі, қарапайым айтқанда, мұндай жүйелердің шешімдері екі өлшемді бетке асимптотикалық жақындайды, сондықтан шешімдер жақсы анықталған. Пуанкаре-Бендиксон теоремасы Эвклид жазықтығындағы үздіксіз динамикалық жүйенің хаотикалық бола алмайтынын көрсетсе де, Эвклидтік емес геометриясы бар екі өлшемді үздіксіз жүйелер кейбір хаотикалық қасиеттерді көрсетуі мүмкін. Күтпегендей, хаос шексіз өлшемді болса, сызықтық жүйелерде де пайда болуы мүмкін. Сызықтық хаос теориясы функционалдық талдау деп аталатын математикалық талдау саласында дамытылуда. Жоғарыда аталған үш қарапайым дифференциалдық теңдеулер жиынтығы үш өлшемді Лоренц моделі деп аталады. 1963 жылдан бері жоғары өлшемді Лоренц модельдері көптеген зерттеулерде сызықтық емес сипаттың жоғарылау дәрежесінің және оның жылумен және диссипациямен бірлескен әсерінің шешімдердің тұрақтылығына тигізетін әсерін зерттеу үшін әзірленді.
where , , and make up the system state, is time, and , , are the system parameters. Five of the terms on the right hand side are linear, while two are quadratic; a total of seven terms. Another well known chaotic attractor is generated by the Rössler equations, which have only one nonlinear term out of seven. Sprott found a three dimensional system with just five terms, that had only one nonlinear term, which exhibits chaos for certain parameter values. Zhang and Heidel showed that, at least for dissipative and conservative quadratic systems, three dimensional quadratic systems with only three or four terms on the right hand side cannot exhibit chaotic behavior. The reason is, simply put, that solutions to such systems are asymptotic to a two dimensional surface and therefore solutions are well behaved. While the Poincaré–Bendixson theorem shows that a continuous dynamical system on the Euclidean plane cannot be chaotic, two dimensional continuous systems with non Euclidean geometry can still exhibit some chaotic properties. Perhaps surprisingly, chaos may occur also in linear systems, provided they are infinite dimensional. A theory of linear chaos is being developed in a branch of mathematical analysis known as functional analysis. The above set of three ordinary differential equations has been referred to as the three dimensional Lorenz model. Since 1963, higher dimensional Lorenz models have been developed in numerous studies for examining the impact of an increased degree of nonlinearity, as well as its collective effect with heating and dissipations, on solution stability.
Жіктеме жүйелері
Физикада, серпім – уақытқа қатысты орналасудың үшінші туындысы. Сондықтан, дифференциалдық теңдеулер мынадай түрде кейде серпім теңдеулері деп аталады. Бірінші реттік, қалыпты, сызықтық емес дифференциалдық теңдеулердің үш жүйесіне эквивалентті серпім теңдеуі, белгілі бір мағынада хаотикалық мінез-құлықты көрсететін шешімдер үшін минималды жағдай екені көрсетілді. Бұл серпім жүйелеріне математикалық қызығушылықты тудырады. Төртінші немесе одан жоғары туындыны қамтитын жүйелер гиперсерпім жүйелері деп аталады. Серпім жүйесінің мінез-құлқы серпім теңдеуімен сипатталады, ал кейбір серпім теңдеулері үшін қарапайым электрондық тізбектер шешімдерді модельдей алады. Бұл тізбектер серпім тізбектері деп белгілі. Серпім тізбектерінің ең қызықты қасиеттерінің бірі – хаотикалық мінез-құлықтың болу мүмкіндігі. Шындығында, Лоренц аттракторы және Рёсслер картасы сияқты белгілі бір хаотикалық жүйелер әдетте үш бірінші реттік дифференциалдық теңдеулер жүйесі ретінде сипатталады, олар бір (бірақ өте күрделі) серпім теңдеуіне біріктірілуі мүмкін. Серпімнің шамасындағы сызықтық емес серпім теңдеуінің тағы бір мысалы:
are sometimes called jerk equations. It has been shown that a jerk equation, which is equivalent to a system of three first order, ordinary, non linear differential equations, is in a certain sense the minimal setting for solutions showing chaotic behavior. This motivates mathematical interest in jerk systems. Systems involving a fourth or higher derivative are called accordingly hyperjerk systems. A jerk system's behavior is described by a jerk equation, and for certain jerk equations, simple electronic circuits can model solutions. These circuits are known as jerk circuits. One of the most interesting properties of jerk circuits is the possibility of chaotic behavior. In fact, certain well known chaotic systems, such as the Lorenz attractor and the Rössler map, are conventionally described as a system of three first order differential equations that can combine into a single (although rather complicated) jerk equation. Another example of a jerk equation with nonlinearity in the magnitude of is:
Here, A is an adjustable parameter. This equation has a chaotic solution for A=3/5 and can be implemented with the following jerk circuit; the required nonlinearity is brought about by the two diodes:
frameless|upright=1.4|center
In the above circuit, all resistors are of equal value, except , and all capacitors are of equal size. The dominant frequency is The output of op amp 0 will correspond to the x variable, the output of 1 corresponds to the first derivative of x and the output of 2 corresponds to the second derivative. Similar circuits only require one diode or no diodes at all. See also the well known Chua's circuit, one basis for chaotic true random number generators. The ease of construction of the circuit has made it a ubiquitous real world example of a chaotic system.
Мұнда А – реттелетін параметр. Бұл теңдеу А=3/5 үшін хаотикалық шешімге ие және келесі серпім тізбегімен жүзеге асырылуы мүмкін; қажетті сызықтық емес эффект екі диод арқылы қамтамасыз етіледі:
are sometimes called jerk equations. It has been shown that a jerk equation, which is equivalent to a system of three first order, ordinary, non linear differential equations, is in a certain sense the minimal setting for solutions showing chaotic behavior. This motivates mathematical interest in jerk systems. Systems involving a fourth or higher derivative are called accordingly hyperjerk systems. A jerk system's behavior is described by a jerk equation, and for certain jerk equations, simple electronic circuits can model solutions. These circuits are known as jerk circuits. One of the most interesting properties of jerk circuits is the possibility of chaotic behavior. In fact, certain well known chaotic systems, such as the Lorenz attractor and the Rössler map, are conventionally described as a system of three first order differential equations that can combine into a single (although rather complicated) jerk equation. Another example of a jerk equation with nonlinearity in the magnitude of is:
Here, A is an adjustable parameter. This equation has a chaotic solution for A=3/5 and can be implemented with the following jerk circuit; the required nonlinearity is brought about by the two diodes:
frameless|upright=1.4|center
In the above circuit, all resistors are of equal value, except , and all capacitors are of equal size. The dominant frequency is The output of op amp 0 will correspond to the x variable, the output of 1 corresponds to the first derivative of x and the output of 2 corresponds to the second derivative. Similar circuits only require one diode or no diodes at all. See also the well known Chua's circuit, one basis for chaotic true random number generators. The ease of construction of the circuit has made it a ubiquitous real world example of a chaotic system.
frameless|upright=1.4|center
are sometimes called jerk equations. It has been shown that a jerk equation, which is equivalent to a system of three first order, ordinary, non linear differential equations, is in a certain sense the minimal setting for solutions showing chaotic behavior. This motivates mathematical interest in jerk systems. Systems involving a fourth or higher derivative are called accordingly hyperjerk systems. A jerk system's behavior is described by a jerk equation, and for certain jerk equations, simple electronic circuits can model solutions. These circuits are known as jerk circuits. One of the most interesting properties of jerk circuits is the possibility of chaotic behavior. In fact, certain well known chaotic systems, such as the Lorenz attractor and the Rössler map, are conventionally described as a system of three first order differential equations that can combine into a single (although rather complicated) jerk equation. Another example of a jerk equation with nonlinearity in the magnitude of is:
Here, A is an adjustable parameter. This equation has a chaotic solution for A=3/5 and can be implemented with the following jerk circuit; the required nonlinearity is brought about by the two diodes:
frameless|upright=1.4|center
In the above circuit, all resistors are of equal value, except , and all capacitors are of equal size. The dominant frequency is The output of op amp 0 will correspond to the x variable, the output of 1 corresponds to the first derivative of x and the output of 2 corresponds to the second derivative. Similar circuits only require one diode or no diodes at all. See also the well known Chua's circuit, one basis for chaotic true random number generators. The ease of construction of the circuit has made it a ubiquitous real world example of a chaotic system.
Жоғарыдағы тізбекте барлық резисторлардың шамасы бірдей, тек ерекшеленеді, ал барлық конденсаторлардың көлемі бірдей. Басым жиілік – . 0 күшейткішінің шығысы x айнымалысына, 1 күшейткішінің шығысы x-тің бірінші туындысына, ал 2 күшейткішінің шығысы екінші туындысына сәйкес келеді. Осыған ұқсас тізбектерге тек бір диод немесе диодтардың жоқтығы да қажет болуы мүмкін. Сондай-ақ, жақсы танымал Чуа тізбегін қараңыз, хаотикалық нақты кездейсоқ сандар генераторларының негіздерінің бірі. Тізбектің құрастырудың қарапайымдығы оны хаотикалық жүйенің кең таралған нақты мысалына айналдырды.
are sometimes called jerk equations. It has been shown that a jerk equation, which is equivalent to a system of three first order, ordinary, non linear differential equations, is in a certain sense the minimal setting for solutions showing chaotic behavior. This motivates mathematical interest in jerk systems. Systems involving a fourth or higher derivative are called accordingly hyperjerk systems. A jerk system's behavior is described by a jerk equation, and for certain jerk equations, simple electronic circuits can model solutions. These circuits are known as jerk circuits. One of the most interesting properties of jerk circuits is the possibility of chaotic behavior. In fact, certain well known chaotic systems, such as the Lorenz attractor and the Rössler map, are conventionally described as a system of three first order differential equations that can combine into a single (although rather complicated) jerk equation. Another example of a jerk equation with nonlinearity in the magnitude of is:
Here, A is an adjustable parameter. This equation has a chaotic solution for A=3/5 and can be implemented with the following jerk circuit; the required nonlinearity is brought about by the two diodes:
frameless|upright=1.4|center
In the above circuit, all resistors are of equal value, except , and all capacitors are of equal size. The dominant frequency is The output of op amp 0 will correspond to the x variable, the output of 1 corresponds to the first derivative of x and the output of 2 corresponds to the second derivative. Similar circuits only require one diode or no diodes at all. See also the well known Chua's circuit, one basis for chaotic true random number generators. The ease of construction of the circuit has made it a ubiquitous real world example of a chaotic system.
Өздігінен тапсырыс
Дұрыс жағдайда, хаос өздігінен реттелген үлгіге айналады. Курамото моделінде, хаостық жүйеде синхрондау үшін төрт шарт жеткілікті. Мысалдарға Кристиан Гюйгенс маятниктерінің біріккен тербелісі, шырыңдар, нейрондар, Лондонның Мыңжылдық Көпірінің резонансы және Джозефсон қосылыстарының үлкен массивтері жатады. Сонымен қатар, теориялық физика тұрғысынан алғанда, динамикалық хаос өзінің ең жалпы түрінде – өздігінен туындаған тәртіп болып табылады. Бұл жердегі мәні – табиғаттағы көптеген тәртіптер әртүрлі симметриялардың өздігінен бұзылуынан пайда болады. Бұл үлкен құбылыстар отбасына серпімділік, суперөткізгіштік, ферромагнетизм және тағы да басқалары кіреді. Стохастикалық динамиканың суперсимметриялық теориясына сәйкес, хаос немесе дәлірек айтқанда, оның стохастикалық жалпыламасы да осы отбасының бір бөлігі болып табылады. Бұзылатын тиісті симметрия – барлық стохастикалық (жартылай) дифференциалдық теңдеулерде жасырылған топологиялық суперсимметрия, ал тиісті реттік параметр – көбелек эффектісінің өрістік теориялық көрінісі.
Тарих
Барнсли Ферн хаос ойынын пайдаланып жасады. Табиғи нысандар (ферналар, бұлттар, таулар және т.б.) қайталанатын функция жүйесі (IFS) арқылы қайта құрылуы мүмкін. Джеймс Клерк Максвелл алғаш рет "көбелек эффектісіне" баса назар аударды және хаос теориясын талқылаған алғашқылардың бірі ретінде қарастырылады, 1860 және 1870 жылдары жұмыс істеді. Хаос теориясының алғашқы қолдаушысы Анри Пуанкаре болды. 1880 жылдары үш дене проблемасын зерттегенде, ол мерзімді емес, бірақ тұрақты түрде өспейтін және белгілі бір нүктеге жақындамайтын орбиталар бола алатынын анықтады. 1898 жылы Жак Адамар "Адамардың бильярды" деп аталатын тұрақты теріс қисықтықты бетке сүрінбестен жылжушы еркін бөлшектің хаотикалық қозғалысы туралы ықпалды зерттеу жариялады. Адамар барлық траекториялардың тұрақсыз екенін, яғни барлық бөлшектердің траекториялары бір-бірінен экспоненциалды түрде ауытқитынын, оң Ляпунов экспонентімен көрсете алды. Хаос теориясы ергодикалық теория саласында басталды. Кейінгі зерттеулерді, сонымен қатар сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер тақырыбында Джордж Дэвид Бирхофф, Андрей Николаевич Колмогоров, Мэри Люси Картрайт және Джон Эденсор Литтлвуд және Стивен Смайл жүргізді. Смайлдан басқа, бұл зерттеулердің барлығы физикадан тікелей әсер алды: Бирхофф жағдайында үш дене мәселесі, Колмогоров жағдайында турбуленттік және астрономиялық мәселелер, Картрайт пен Литтлвуд жағдайында радиотехника. Планеталардың хаотикалық қозғалысы байқалмағанымен, экспериментаторлар сұйықтық қозғалысындағы турбулентті және радио схемаларда кезеңсіз тербелісті көргендерін түсіндіруге арналған теорияның пайдасы болмады. ХХ ғасырдың бірінші жартысындағы алғашқы түсініктерге қарамастан, хаос теориясы тек ғасырдың ортасынан кейін ғана ресми түрде қалыптасты, ол кейбір ғалымдарға сызықтық теорияның, сол кездегі басым жүйелік теорияның, логистикалық карта сияқты белгілі бір эксперименттердің байқалған мінез-құлқын түсіндіре алмайтыны алғаш рет белгілі болды. Өлшемнің дәлсіздігі мен қарапайым "шу" деп танылған нәрсені хаос теоретиктері зерттелген жүйелердің толық құрамдас бөлігі ретінде қарастырды. 1959 жылы Борис Валерианович Чириков гамильтондық жүйелерде классикалық хаостың пайда болу критерийін ұсынды (Чириков критерийі). Ол бұл критерийді ашық айна тұзақтарында плазманың тұтқындалуындағы кейбір тәжірибелік нәтижелерді түсіндіру үшін қолданды. Бұл нақты экспериментті түсіндіруге мүмкіндік берген хаос теориясының алғашқы физикалық теориясы болып саналады. Борис Чириковтың өзі классикалық және кванттық хаостың ізашары деп саналады. Хаос теориясының дамуының негізгі катализаторы электронды компьютер болды. Хаос теориясының математикасының көп бөлігі қарапайым математикалық формулаларды қайталауды қамтиды, оны қолмен жасау практикалық емес. Электрондық компьютерлер қайталанатын есептеулерді практикалық етіп, ал цифрлар мен суреттер осы жүйелерді визуализациялауға мүмкіндік берді. Киото университетінде Чихиро Хаяшидің зертханасында аспирант ретінде Йосисуке Уэда аналогты компьютерлермен тәжірибе жүргізді және 1961 жылы 27 қарашада "келтіріспелі өтпелі құбылыстар" деп атаған нәрсені байқады. Алайда оның кеңесшісі ол кезде оның тұжырымдарымен келіспеді және 1970 жылға дейін оның қорытындыларын хабарлауға рұқсат бермеді.
thumb|left|Turbulence in the tip vortex from an airplane wing. Studies of the critical point beyond which a system creates turbulence were important for chaos theory, analyzed for example by the Soviet physicist Lev Landau, who developed the Landau Hopf theory of turbulence. David Ruelle and Floris Takens later predicted, against Landau, that fluid turbulence could develop through a strange attractor, a main concept of chaos theory. Edward Lorenz was an early pioneer of the theory. His interest in chaos came about accidentally through his work on weather prediction in 1961. Lorenz and his collaborator Ellen Fetter and Margaret Hamilton were using a simple digital computer, a Royal McBee LGP 30, to run weather simulations. They wanted to see a sequence of data again, and to save time they started the simulation in the middle of its course. They did this by entering a printout of the data that corresponded to conditions in the middle of the original simulation. To their surprise, the weather the machine began to predict was completely different from the previous calculation. They tracked this down to the computer printout. The computer worked with 6 digit precision, but the printout rounded variables off to a 3 digit number, so a value like 0.506127 printed as 0.506. This difference is tiny, and the consensus at the time would have been that it should have no practical effect. However, Lorenz discovered that small changes in initial conditions produced large changes in long term outcome. Lorenz's discovery, which gave its name to Lorenz attractors, showed that even detailed atmospheric modeling cannot, in general, make precise long term weather predictions. In 1963, Benoit Mandelbrot, studying information theory, discovered that noise in many phenomena (including stock prices and telephone circuits) was patterned like a Cantor set, a set of points with infinite roughness and detail Mandelbrot described both the "Noah effect" (in which sudden discontinuous changes can occur) and the "Joseph effect" (in which persistence of a value can occur for a while, yet suddenly change afterwards). In 1967, he published "How long is the coast of Britain? Statistical self similarity and fractional dimension", showing that a coastline's length varies with the scale of the measuring instrument, resembles itself at all scales, and is infinite in length for an infinitesimally small measuring device. Arguing that a ball of twine appears as a point when viewed from far away (0 dimensional), a ball when viewed from fairly near (3 dimensional), or a curved strand (1 dimensional), he argued that the dimensions of an object are relative to the observer and may be fractional. An object whose irregularity is constant over different scales ("self similarity") is a fractal (examples include the Menger sponge, the Sierpiński gasket, and the Koch curve or snowflake, which is infinitely long yet encloses a finite space and has a fractal dimension of circa 1.2619). In 1982, Mandelbrot published The Fractal Geometry of Nature, which became a classic of chaos theory. In December 1977, the New York Academy of Sciences organized the first symposium on chaos, attended by David Ruelle, Robert May, James A. Yorke (coiner of the term "chaos" as used in mathematics), Robert Shaw, and the meteorologist Edward Lorenz. The following year Pierre Coullet and Charles Tresser published "Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation", and Mitchell Feigenbaum's article "Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations" finally appeared in a journal, after 3 years of referee rejections. Thus Feigenbaum (1975) and Coullet & Tresser (1978) discovered the universality in chaos, permitting the application of chaos theory to many different phenomena. In 1979, Albert J. Libchaber, during a symposium organized in Aspen by Pierre Hohenberg, presented his experimental observation of the bifurcation cascade that leads to chaos and turbulence in Rayleigh–Bénard convection systems. He was awarded the Wolf Prize in Physics in 1986 along with Mitchell J. Feigenbaum for their inspiring achievements. In 1986, the New York Academy of Sciences co organized with the National Institute of Mental Health and the Office of Naval Research the first important conference on chaos in biology and medicine. There, Bernardo Huberman presented a mathematical model of the eye tracking dysfunction among people with schizophrenia. This led to a renewal of physiology in the 1980s through the application of chaos theory, for example, in the study of pathological cardiac cycles. In 1987, Per Bak, Chao Tang and Kurt Wiesenfeld published a paper in Physical Review Letters describing for the first time self organized criticality (SOC), considered one of the mechanisms by which complexity arises in nature. Alongside largely lab based approaches such as the Bak–Tang–Wiesenfeld sandpile, many other investigations have focused on large scale natural or social systems that are known (or suspected) to display scale invariant behavior. Although these approaches were not always welcomed (at least initially) by specialists in the subjects examined, SOC has nevertheless become established as a strong candidate for explaining a number of natural phenomena, including earthquakes, (which, long before SOC was discovered, were known as a source of scale invariant behavior such as the Gutenberg–Richter law describing the statistical distribution of earthquake sizes, and the Omori law describing the frequency of aftershocks), solar flares, fluctuations in economic systems such as financial markets (references to SOC are common in econophysics), landscape formation, forest fires, landslides, epidemics, and biological evolution (where SOC has been invoked, for example, as the dynamical mechanism behind the theory of "punctuated equilibria" put forward by Niles Eldredge and Stephen Jay Gould). Given the implications of a scale free distribution of event sizes, some researchers have suggested that another phenomenon that should be considered an example of SOC is the occurrence of wars. These investigations of SOC have included both attempts at modelling (either developing new models or adapting existing ones to the specifics of a given natural system), and extensive data analysis to determine the existence and/or characteristics of natural scaling laws. Also in 1987 James Gleick published Chaos: Making a New Science, which became a best seller and introduced the general principles of chaos theory as well as its history to the broad public. Initially the domain of a few, isolated individuals, chaos theory progressively emerged as a transdisciplinary and institutional discipline, mainly under the name of nonlinear systems analysis. Alluding to Thomas Kuhn's concept of a paradigm shift exposed in The Structure of Scientific Revolutions (1962), many "chaologists" (as some described themselves) claimed that this new theory was an example of such a shift, a thesis upheld by Gleick. The availability of cheaper, more powerful computers broadens the applicability of chaos theory. Currently, chaos theory remains an active area of research, involving many different disciplines such as mathematics, topology, physics, social systems, population modeling, biology, meteorology, astrophysics, information theory, computational neuroscience, pandemic crisis management, Commencing with the 1960 conference in Japan, Lorenz embarked on a journey of developing diverse models aimed at uncovering the SDIC and chaotic features. A recent review of Lorenz's model progression spanning from 1960 to 2008 revealed his adeptness at employing varied physical systems to illustrate chaotic phenomena. These systems encompassed Quasi geostrophic systems, the Conservative Vorticity Equation, the Rayleigh Bénard Convection Equations, and the Shallow Water Equations. Moreover, Lorenz can be credited with the early application of the logistic map to explore chaotic solutions, a milestone he achieved ahead of his colleagues (e. g. Lorenz 1964). In 1972, Lorenz coined the term "butterfly effect" as a metaphor to discuss whether a small perturbation could eventually create a tornado with a three dimensional, organized, and coherent structure. While connected to the original butterfly effect based on sensitive dependence on initial conditions, its metaphorical variant carries distinct nuances. To commemorate this milestone, a reprint book containing invited papers that deepen our understanding of both butterfly effects was officially published to celebrate the 50th anniversary of the metaphorical butterfly effect.
[Сурет: turbulence ұшақтың қанатынан ұшқырдың ұшындағы турбулентті. Жүйенің турбуленттілікті тудыратын қиындау нүктесін зерттеу хаос теориясы үшін маңызды болды, мысалы, кеңес физигі Лев Ландау, Ландау Хопфтың турбуленттілік теориясын әзірлеген.]
thumb|left|Turbulence in the tip vortex from an airplane wing. Studies of the critical point beyond which a system creates turbulence were important for chaos theory, analyzed for example by the Soviet physicist Lev Landau, who developed the Landau Hopf theory of turbulence. David Ruelle and Floris Takens later predicted, against Landau, that fluid turbulence could develop through a strange attractor, a main concept of chaos theory. Edward Lorenz was an early pioneer of the theory. His interest in chaos came about accidentally through his work on weather prediction in 1961. Lorenz and his collaborator Ellen Fetter and Margaret Hamilton were using a simple digital computer, a Royal McBee LGP 30, to run weather simulations. They wanted to see a sequence of data again, and to save time they started the simulation in the middle of its course. They did this by entering a printout of the data that corresponded to conditions in the middle of the original simulation. To their surprise, the weather the machine began to predict was completely different from the previous calculation. They tracked this down to the computer printout. The computer worked with 6 digit precision, but the printout rounded variables off to a 3 digit number, so a value like 0.506127 printed as 0.506. This difference is tiny, and the consensus at the time would have been that it should have no practical effect. However, Lorenz discovered that small changes in initial conditions produced large changes in long term outcome. Lorenz's discovery, which gave its name to Lorenz attractors, showed that even detailed atmospheric modeling cannot, in general, make precise long term weather predictions. In 1963, Benoit Mandelbrot, studying information theory, discovered that noise in many phenomena (including stock prices and telephone circuits) was patterned like a Cantor set, a set of points with infinite roughness and detail Mandelbrot described both the "Noah effect" (in which sudden discontinuous changes can occur) and the "Joseph effect" (in which persistence of a value can occur for a while, yet suddenly change afterwards). In 1967, he published "How long is the coast of Britain? Statistical self similarity and fractional dimension", showing that a coastline's length varies with the scale of the measuring instrument, resembles itself at all scales, and is infinite in length for an infinitesimally small measuring device. Arguing that a ball of twine appears as a point when viewed from far away (0 dimensional), a ball when viewed from fairly near (3 dimensional), or a curved strand (1 dimensional), he argued that the dimensions of an object are relative to the observer and may be fractional. An object whose irregularity is constant over different scales ("self similarity") is a fractal (examples include the Menger sponge, the Sierpiński gasket, and the Koch curve or snowflake, which is infinitely long yet encloses a finite space and has a fractal dimension of circa 1.2619). In 1982, Mandelbrot published The Fractal Geometry of Nature, which became a classic of chaos theory. In December 1977, the New York Academy of Sciences organized the first symposium on chaos, attended by David Ruelle, Robert May, James A. Yorke (coiner of the term "chaos" as used in mathematics), Robert Shaw, and the meteorologist Edward Lorenz. The following year Pierre Coullet and Charles Tresser published "Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation", and Mitchell Feigenbaum's article "Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations" finally appeared in a journal, after 3 years of referee rejections. Thus Feigenbaum (1975) and Coullet & Tresser (1978) discovered the universality in chaos, permitting the application of chaos theory to many different phenomena. In 1979, Albert J. Libchaber, during a symposium organized in Aspen by Pierre Hohenberg, presented his experimental observation of the bifurcation cascade that leads to chaos and turbulence in Rayleigh–Bénard convection systems. He was awarded the Wolf Prize in Physics in 1986 along with Mitchell J. Feigenbaum for their inspiring achievements. In 1986, the New York Academy of Sciences co organized with the National Institute of Mental Health and the Office of Naval Research the first important conference on chaos in biology and medicine. There, Bernardo Huberman presented a mathematical model of the eye tracking dysfunction among people with schizophrenia. This led to a renewal of physiology in the 1980s through the application of chaos theory, for example, in the study of pathological cardiac cycles. In 1987, Per Bak, Chao Tang and Kurt Wiesenfeld published a paper in Physical Review Letters describing for the first time self organized criticality (SOC), considered one of the mechanisms by which complexity arises in nature. Alongside largely lab based approaches such as the Bak–Tang–Wiesenfeld sandpile, many other investigations have focused on large scale natural or social systems that are known (or suspected) to display scale invariant behavior. Although these approaches were not always welcomed (at least initially) by specialists in the subjects examined, SOC has nevertheless become established as a strong candidate for explaining a number of natural phenomena, including earthquakes, (which, long before SOC was discovered, were known as a source of scale invariant behavior such as the Gutenberg–Richter law describing the statistical distribution of earthquake sizes, and the Omori law describing the frequency of aftershocks), solar flares, fluctuations in economic systems such as financial markets (references to SOC are common in econophysics), landscape formation, forest fires, landslides, epidemics, and biological evolution (where SOC has been invoked, for example, as the dynamical mechanism behind the theory of "punctuated equilibria" put forward by Niles Eldredge and Stephen Jay Gould). Given the implications of a scale free distribution of event sizes, some researchers have suggested that another phenomenon that should be considered an example of SOC is the occurrence of wars. These investigations of SOC have included both attempts at modelling (either developing new models or adapting existing ones to the specifics of a given natural system), and extensive data analysis to determine the existence and/or characteristics of natural scaling laws. Also in 1987 James Gleick published Chaos: Making a New Science, which became a best seller and introduced the general principles of chaos theory as well as its history to the broad public. Initially the domain of a few, isolated individuals, chaos theory progressively emerged as a transdisciplinary and institutional discipline, mainly under the name of nonlinear systems analysis. Alluding to Thomas Kuhn's concept of a paradigm shift exposed in The Structure of Scientific Revolutions (1962), many "chaologists" (as some described themselves) claimed that this new theory was an example of such a shift, a thesis upheld by Gleick. The availability of cheaper, more powerful computers broadens the applicability of chaos theory. Currently, chaos theory remains an active area of research, involving many different disciplines such as mathematics, topology, physics, social systems, population modeling, biology, meteorology, astrophysics, information theory, computational neuroscience, pandemic crisis management, Commencing with the 1960 conference in Japan, Lorenz embarked on a journey of developing diverse models aimed at uncovering the SDIC and chaotic features. A recent review of Lorenz's model progression spanning from 1960 to 2008 revealed his adeptness at employing varied physical systems to illustrate chaotic phenomena. These systems encompassed Quasi geostrophic systems, the Conservative Vorticity Equation, the Rayleigh Bénard Convection Equations, and the Shallow Water Equations. Moreover, Lorenz can be credited with the early application of the logistic map to explore chaotic solutions, a milestone he achieved ahead of his colleagues (e. g. Lorenz 1964). In 1972, Lorenz coined the term "butterfly effect" as a metaphor to discuss whether a small perturbation could eventually create a tornado with a three dimensional, organized, and coherent structure. While connected to the original butterfly effect based on sensitive dependence on initial conditions, its metaphorical variant carries distinct nuances. To commemorate this milestone, a reprint book containing invited papers that deepen our understanding of both butterfly effects was officially published to celebrate the 50th anniversary of the metaphorical butterfly effect.
Дэвид Руэлл мен Флорис Такенс кейін Ландауға қарсы сұйықтық турбуленттілігі ғажайып тартымдылық арқылы дамуы мүмкін екенін болжады, бұл хаос теориясының негізгі тұжырымдамасы. Эдвард Лоренц теорияның алғашқы ізашарларының бірі болды. Оның хаосқа деген қызығушылығы 1961 жылы ауа райын болжау бойынша жасаған жұмысынан кейін пайда болды. Лоренц және оның әріптестері Эллен Феттер мен Маргарет Гамильтон ауа райының симуляциясын жүргізу үшін қарапайым цифрлық компьютерді, Royal McBee LGP 30 қолданды. Олар деректерді қайтадан көргісі келді, уақытты үнемдеу үшін симуляцияны оның жүрісінің ортасында бастады. Олар бұл үшін бастапқы симуляцияның ортасындағы жағдайларға сәйкес келетін деректерді басып шығарды. Олардың таңғалуы, машинаның болжауындағы ауа райы бұрынғы есептен мүлдем өзгеше болды. Олар компьютердегі жазбаға сүйене отырып, мұны анықтады. Компьютер 6 таңбалы дәлдікпен жұмыс істеді, бірақ басып шығару айнымалыларды 3 таңбаға дейін дөңгелектеді, сондықтан 0.506127 сияқты мән 0.506 ретінде басылды. Бұл айырмашылық өте кішкентай, және сол кездегі консенсус бұл ешқандай практикалық әсер етпейді дейтін еді. Алайда Лоренц бастапқы шарттардағы шағын өзгерістер ұзақ мерзімді нәтижелерде үлкен өзгерістерге әкелетінін анықтады. Лоренцтың ашқан жағдайы, Лоренц тартымдылықтарына атын берді, атмосфералық модельдеудің ең егжей-тегжейлі болғанының өзінде де, ұзақ мерзімді ауа райын дәл болжау мүмкін емес екенін көрсетті. 1963 жылы Бенуа Мандельброт ақпараттық теорияны зерттегенде, көптеген құбылыстардағы (қор нарығы мен телефондық тізбектерді қоса алғанда) шу Кантор жиынтығы сияқты үлгіге ие екенін анықтады, бұл шексіз кедір-бұдырлық пен егжей-тегжейлі нүктелер жиынтығы. Мандельброт "Ной эффектісін" (күтпеген үзіліс өзгерістері бола алатын) және "Иосиф эффектісін" (бір мән біраз уақыт бойы тұрақты болып қалуы мүмкін, бірақ кейіннен кенеттен өзгеруі мүмкін) сипаттады. 1967 жылы ол "Британ жағалауының ұзындығы қанша? Статистикалық өзіне ұқсастық және бөлшектік өлшем" атты мақала жариялады, онда жағалаудың ұзындығы өлшеу құралының масштабына байланысты өзгеретінін, барлық масштабтарда өзіне ұқсас екенін және шексіз кішкентай өлшеу құралы үшін шексіз ұзындықта екенін көрсетті. Объектінің өлшемдері бақылаушыға байланысты және бөлшектік болуы мүмкін екенін айта отырып, алыстан қарағанда жіп дорбасы нүкте ретінде (0 өлшемді), жақыннан қарағанда доп ретінде (3 өлшемді) немесе қисық жіп ретінде (1 өлшемді) көрінетінін атап өтті. 1982 жылы Мандельброт "Табиғаттың фрактал геометриясы" атты кітабын жариялады, ол хаос теориясының классикасына айналды. 1977 жылдың желтоқсанында Нью-Йорк Ғылым академиясы хаос тақырыбында алғашқы симпозиумды ұйымдастырды, оған Дэвид Руэлл, Роберт Мэй, Джеймс А. Йорк (математикада қолданылатын "хаос" терминін ойлап тапқан), Роберт Шоу және метеоролог Эдвард Лоренц қатысты. Келесі жылы Пьер Кулле және Шарль Трессер "Эндоморфизмдердің итерациясы және ренормализация тобы" атты мақаласын жариялады, ал Митчелл Фейгенбаумның "Сызықтық емес трансформациялар класы үшін сандық әмбебаптық" атты мақаласы 3 жылдық рецензиялаудан кейін журналда пайда болды. Осылайша Фейгенбаум (1975) және Кулле & Трессер (1978) хаостағы әмбебаптықты ашты, бұл хаос теориясын көптеген түрлі құбылыстарға қолдануға мүмкіндік берді. 1979 жылы Альберт Дж. Либхабер, Пьер Хоенберг ұйымдастырған Аспендегі симпозиумда, хаосқа және турбуленттілікке әкелетін бифуркация каскадының тәжірибелік байқауын ұсынды. Ол 1986 жылы Митчелл Дж. Фейгенбауммен бірге Физика саласындағы Вольф сыйлығымен марапатталды, олардың шабыттандыратын жетістіктері үшін. 1986 жылы Нью-Йорк Ғылым академиясы Ұлттық Психикалық Денсаулық Институты және Теңіз зерттеулер кеңсесімен бірлесіп биология және медицинадағы хаос тақырыбында алғашқы маңызды конференция ұйымдастырды. Онда Бернардо Хуберман шизофрениямен ауыратын адамдардағы көздің қозғалыс дисфункциясының математикалық моделін ұсынды. Бұл 1980 жылдары физиологияны хаос теориясын қолдану арқылы жаңартты, мысалы, патологиялық жүрек аритмияларын зерттеуде. 1987 жылы Пер Бак, Чао Танг және Курт Визенфельд "Физикалық шолу хатында" мақала жариялады...
thumb|left|Turbulence in the tip vortex from an airplane wing. Studies of the critical point beyond which a system creates turbulence were important for chaos theory, analyzed for example by the Soviet physicist Lev Landau, who developed the Landau Hopf theory of turbulence. David Ruelle and Floris Takens later predicted, against Landau, that fluid turbulence could develop through a strange attractor, a main concept of chaos theory. Edward Lorenz was an early pioneer of the theory. His interest in chaos came about accidentally through his work on weather prediction in 1961. Lorenz and his collaborator Ellen Fetter and Margaret Hamilton were using a simple digital computer, a Royal McBee LGP 30, to run weather simulations. They wanted to see a sequence of data again, and to save time they started the simulation in the middle of its course. They did this by entering a printout of the data that corresponded to conditions in the middle of the original simulation. To their surprise, the weather the machine began to predict was completely different from the previous calculation. They tracked this down to the computer printout. The computer worked with 6 digit precision, but the printout rounded variables off to a 3 digit number, so a value like 0.506127 printed as 0.506. This difference is tiny, and the consensus at the time would have been that it should have no practical effect. However, Lorenz discovered that small changes in initial conditions produced large changes in long term outcome. Lorenz's discovery, which gave its name to Lorenz attractors, showed that even detailed atmospheric modeling cannot, in general, make precise long term weather predictions. In 1963, Benoit Mandelbrot, studying information theory, discovered that noise in many phenomena (including stock prices and telephone circuits) was patterned like a Cantor set, a set of points with infinite roughness and detail Mandelbrot described both the "Noah effect" (in which sudden discontinuous changes can occur) and the "Joseph effect" (in which persistence of a value can occur for a while, yet suddenly change afterwards). In 1967, he published "How long is the coast of Britain? Statistical self similarity and fractional dimension", showing that a coastline's length varies with the scale of the measuring instrument, resembles itself at all scales, and is infinite in length for an infinitesimally small measuring device. Arguing that a ball of twine appears as a point when viewed from far away (0 dimensional), a ball when viewed from fairly near (3 dimensional), or a curved strand (1 dimensional), he argued that the dimensions of an object are relative to the observer and may be fractional. An object whose irregularity is constant over different scales ("self similarity") is a fractal (examples include the Menger sponge, the Sierpiński gasket, and the Koch curve or snowflake, which is infinitely long yet encloses a finite space and has a fractal dimension of circa 1.2619). In 1982, Mandelbrot published The Fractal Geometry of Nature, which became a classic of chaos theory. In December 1977, the New York Academy of Sciences organized the first symposium on chaos, attended by David Ruelle, Robert May, James A. Yorke (coiner of the term "chaos" as used in mathematics), Robert Shaw, and the meteorologist Edward Lorenz. The following year Pierre Coullet and Charles Tresser published "Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation", and Mitchell Feigenbaum's article "Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations" finally appeared in a journal, after 3 years of referee rejections. Thus Feigenbaum (1975) and Coullet & Tresser (1978) discovered the universality in chaos, permitting the application of chaos theory to many different phenomena. In 1979, Albert J. Libchaber, during a symposium organized in Aspen by Pierre Hohenberg, presented his experimental observation of the bifurcation cascade that leads to chaos and turbulence in Rayleigh–Bénard convection systems. He was awarded the Wolf Prize in Physics in 1986 along with Mitchell J. Feigenbaum for their inspiring achievements. In 1986, the New York Academy of Sciences co organized with the National Institute of Mental Health and the Office of Naval Research the first important conference on chaos in biology and medicine. There, Bernardo Huberman presented a mathematical model of the eye tracking dysfunction among people with schizophrenia. This led to a renewal of physiology in the 1980s through the application of chaos theory, for example, in the study of pathological cardiac cycles. In 1987, Per Bak, Chao Tang and Kurt Wiesenfeld published a paper in Physical Review Letters describing for the first time self organized criticality (SOC), considered one of the mechanisms by which complexity arises in nature. Alongside largely lab based approaches such as the Bak–Tang–Wiesenfeld sandpile, many other investigations have focused on large scale natural or social systems that are known (or suspected) to display scale invariant behavior. Although these approaches were not always welcomed (at least initially) by specialists in the subjects examined, SOC has nevertheless become established as a strong candidate for explaining a number of natural phenomena, including earthquakes, (which, long before SOC was discovered, were known as a source of scale invariant behavior such as the Gutenberg–Richter law describing the statistical distribution of earthquake sizes, and the Omori law describing the frequency of aftershocks), solar flares, fluctuations in economic systems such as financial markets (references to SOC are common in econophysics), landscape formation, forest fires, landslides, epidemics, and biological evolution (where SOC has been invoked, for example, as the dynamical mechanism behind the theory of "punctuated equilibria" put forward by Niles Eldredge and Stephen Jay Gould). Given the implications of a scale free distribution of event sizes, some researchers have suggested that another phenomenon that should be considered an example of SOC is the occurrence of wars. These investigations of SOC have included both attempts at modelling (either developing new models or adapting existing ones to the specifics of a given natural system), and extensive data analysis to determine the existence and/or characteristics of natural scaling laws. Also in 1987 James Gleick published Chaos: Making a New Science, which became a best seller and introduced the general principles of chaos theory as well as its history to the broad public. Initially the domain of a few, isolated individuals, chaos theory progressively emerged as a transdisciplinary and institutional discipline, mainly under the name of nonlinear systems analysis. Alluding to Thomas Kuhn's concept of a paradigm shift exposed in The Structure of Scientific Revolutions (1962), many "chaologists" (as some described themselves) claimed that this new theory was an example of such a shift, a thesis upheld by Gleick. The availability of cheaper, more powerful computers broadens the applicability of chaos theory. Currently, chaos theory remains an active area of research, involving many different disciplines such as mathematics, topology, physics, social systems, population modeling, biology, meteorology, astrophysics, information theory, computational neuroscience, pandemic crisis management, Commencing with the 1960 conference in Japan, Lorenz embarked on a journey of developing diverse models aimed at uncovering the SDIC and chaotic features. A recent review of Lorenz's model progression spanning from 1960 to 2008 revealed his adeptness at employing varied physical systems to illustrate chaotic phenomena. These systems encompassed Quasi geostrophic systems, the Conservative Vorticity Equation, the Rayleigh Bénard Convection Equations, and the Shallow Water Equations. Moreover, Lorenz can be credited with the early application of the logistic map to explore chaotic solutions, a milestone he achieved ahead of his colleagues (e. g. Lorenz 1964). In 1972, Lorenz coined the term "butterfly effect" as a metaphor to discuss whether a small perturbation could eventually create a tornado with a three dimensional, organized, and coherent structure. While connected to the original butterfly effect based on sensitive dependence on initial conditions, its metaphorical variant carries distinct nuances. To commemorate this milestone, a reprint book containing invited papers that deepen our understanding of both butterfly effects was officially published to celebrate the 50th anniversary of the metaphorical butterfly effect.
Қауіпсіздіктің танымал , бірақ дәл емес ұқсастығы
Бастапқы жағдайларға (яғни, көбелек эффектісіне) сезімталдық келесі халықтық әңгімемен мысалдалған: Талдау нәтижесінде, өлең тек қана айырмашылықты көрсетеді, шектелуді емес. Жақында жасалған зерттеуде аталған өлеңнің қасиеті "шекті уақыт сезімталдығына тәуелділік" деп аталады.
Қолданбалар
thumb|left|Conus textile қабығы, Rule 30 ережесіне ұқсас, хаостық мінез-құлықты жасушалық автомат. Хаос теориясы ауа-райы үлгілерін бақылаудан туғанмен, қазіргі кезде оны көптеген басқа жағдайларда да қолдануға болады. Хаос теориясынан пайда көретін салалар: геология, математика, биология, компьютерлік ғылым, экономика, инженерия, қаржы, метеорология, философия, антропология, саясат, халық динамикасы және робототехника. Төменде мысалдармен бірнеше санаттар келтірілген, бірақ жаңа қолданыстар пайда болғандықтан, бұл толық тізім емес.
Криптография
Хаос теориясы криптографияда көп жылдардан бері қолданылып келеді. Соңғы онжылдықтарда хаос және сызықтық емес динамика жүздеген криптографиялық құралдарды жасауда пайдаланылды. Бұл алгоритмдерге кескіндерді шифрлау алгоритмдері, хэш-функциялар, қауіпсіз псевдокезеңдік сан генераторлары, ағын шифрлары, су таңбалары және стеганография кіреді. Бұл алгоритмдердің көпшілігі бір режімді хаостық карталарға негізделген, ал олардың көп бөлігі хаостық карталардың басқару параметрлерін және бастапқы шарттарын кілттері ретінде қолданады. Жалпы алғанда, хаостық карталар мен криптографиялық жүйелер арасындағы ұқсастық хаосқа негізделген криптографиялық алгоритмдерді жасаудың басты себебі болып табылады. Компьютерлік есептеудің тағы бір түрі – ДНК есептеуі, хаос теориясымен үйлестірілгенде кескіндер және басқа да ақпаратты шифрлауға мүмкіндік береді. Көптеген ДНК-Хаос криптографиялық алгоритмдерінің қауіпсіз еместігі немесе қолданылған техниканың тиімсіздігі дәлелденді.
Робототехника
Робототехника – соңғы кезде хаос теориясының арқасында дамып келе жатқан тағы бір сала. Роботтардың қоршаған ортамен өзара әрекеттесуі әдеттегі сынақ-қателік әдісімен емес, хаос теориясы негізінде болжамдық модельдер құру арқылы жүзеге асырылуда. Пассивті екі аяқты роботтарда хаостық динамика байқалған.
Биология
Жүз жылдан астам бері биологтар түрлі түрлердің популяциясын популяциялық модельдермен қадағалап келеді. Көптеген модельдер үздіксіз, бірақ соңғы кезде ғалымдар кейбір популяцияларда хаотикалық модельдерді қолдана алды. Мысалы, канадалық рысьтердің модельдерін зерттеу популяцияның өсуінде хаотикалық мінез-құлық бар екенін көрсетті. Хаос гидрология сияқты экологиялық жүйелерде де кездеседі. Гидрологияның хаотикалық моделінің шектеулері болғанымен, хаос теориясы көзімен деректерді қарастыру арқылы одан да көп нәрсе білуге болады. Кардиотокографияда да биологиялық қолданыс бар. Ұрықты бақылау – дәл ақпарат алу және мүмкіндігінше инвазивті емес болу арасындағы нәзік тепе-теңдік. Хаотикалық модельдеу арқылы ұрықтың гипоксиясының ескерту белгілерінің жақсы модельдерін алуға болады. Перри атап көрсеткендей, экологиядағы хаотикалық уақыт қатарларын модельдеуге шектеулер көмектеседі. Ген-ген коэволюциясы кейде аллель жиілігінде хаотикалық динамиканы көрсетеді. Тіпті тұрақты ортада бір егін мен бір патогенді біріктірудің өзі патогендер популяциясында жартылай периодты немесе хаотикалық тербелістерге алып келуі мүмкін.
Экономика
Экономикалық модельдерді хаос теориясын қолдану арқылы да жақсарту мүмкін, бірақ экономикалық жүйенің жағдайы мен оған ең көп әсер ететін факторларды болжау өте күрделі міндет. Экономикалық және қаржы жүйелері классикалық табиғат ғылымдарынан түбегейлі өзгеше, себебі бұлардың табиғаты стохастикалық, олар адамдардың өзара әрекеттесуінен туындайды, сондықтан таза детерминистік модельдер деректерді дәл бейнелеуі екіталай. Экономика мен қаржыдағы хаосты тексеруге арналған эмпирикалық зерттеулер өте әртүрлі нәтижелер көрсетеді, бұл ішінара хаосты анықтауға арналған нақты тесттер мен сызықтық емес қатынастарды анықтауға арналған жалпы тесттердің шатасуынан туындайды. Хаос экономикада қайталанудың сандық талдау арқылы анықталуы мүмкін. Шындығында, Орландо және авторлар тобы қайталанудың сандық корреляция индексі арқылы уақыт қатарындағы жасырын өзгерістерді анықтауға қол жеткізді. Содан кейін осы әдіс ламинарлық (реттелген) фазалардан турбулентті (хаотикалық) фазаларға өтуді, сондай-ақ макроэкономикалық айнымалылар арасындағы айырмашылықтарды анықтау және экономикалық динамиканың жасырын ерекшеліктерін көрсету үшін қолданылды. Соңында, хаос теориясы экономиканың қалай жұмыс істейтінін модельдеуге, сондай-ақ COVID-19 сияқты сыртқы оқиғаларға байланысты соққыларды енгізуге көмектеседі.
АИ кеңейтілген модельдеу жүйесі
AI-мен басқарылатын үлкен тілдік модельдерде жауаптар пішімдеудегі өзгерістерге және сұраулардың айырмашылықтарына сезімталдық танытуы мүмкін. Мұндай сезімталдық көбелек эффектісімен саякес. АИ-мен жұмыс істейтін үлкен тілдік модельдерді классикалық детерминистік хаостық жүйелер ретінде жіктеуге қабілетсіздік туғызса да, хаостан шабыттанған тәсілдер мен техникалар (мысалы, жиынтық модельдеу) осы ауқымды тілдік модельдерден сенімді ақпарат алу үшін қолданылуы мүмкін ("Халық мәдениетіндегі көбелек эффектісі" де қараңыз).
Мақалалар
Онлайн нұсқасы (Ескертпе: онлайн мәтінге сілтеме жасалған том мен бет нөмірі осы жерде келтірілгеннен өзгеше. Бұл жердегі сілтемелер фотокөшірмеден алынған, бұл мақала қаралымдары көрсетілмейтін онлайн цитаталармен сәйкес келеді. Онлайн мазмұны басылған мәтінмен толықтай сәйкес. Сілтемелердегі айырмашылықтар жариялану еліне байланысты).
Жартылай техникалық және танымал жұмыстар
Кристоф Летелье, Chaos in Nature, World Scientific Publishing Company, 2012,
Джон Бриггс және Дэвид Пит, Турбулентті айна: Хаос теориясы мен тұтастықтың ғылымы туралы суреттелген нұсқаулық, Harper Perennial 1990, 224 б. Джон Бриггс пен Дэвид Пит, Хаостан жеті өмірлік сабақ: өзгерістер ғылымынан рухани даналық, Harper Perennial 2000, 224 б. Предраг Цвитанович, Хаостағы жалпыға бірдейлік, Adam Hilger 1989, 648 б. Леон Гласс және Майкл К. Макки, Сағаттан хаосқа дейін: өмір ритмдері, Princeton University Press 1988, 272 б. Джеймс Глейк, Хаос: Жаңа ғылым жасау, Нью-Йорк: Penguin, 1988, 368 б. Л. Дуглас Кил, Эуэл В. Эллиотт (ред.), Chaos Theory in the Social Sciences: Foundations and Applications, University of Michigan Press, 1997, 360 б. Арвинд Кумар, Хаос, фракталдар және өзін-өзі ұйымдастыру; Табиғаттағы күрделілік туралы жаңа көзқарастар, National Book Trust, 2003. Ханс Лаувериер, Фракталдар, Princeton University Press, 1991. Эдвард Лоренц, Хаос мәні, University of Washington Press, 1996. Дэвид Пик және Майкл Фрейм, Хаос бақылауда: күрделіліктің өнері мен ғылымы, Freeman, 1994. Хайнц Отто Пейтген және Дитмар Саупе (ред.), Фракталдық бейнелер туралы ғылым, Springer 1988, 312 б. Нурия Перпиня, Хаос, вирус, тыныштық. Өнерлік, әлеуметтік және саяси тәртіпсіздікке қолданылатын Хаос теориясы, Páginas de Espuma, 2021. Клиффорд А. Пиковер, Компьютерлер, үлгілер, хаос және әдемілік: көрінбейтін әлемнен графика, St Martins Pr 1991. Клиффорд А. Пиковер, Ғажайыптар еліндегі хаос: фракталды әлемдегі визуалды оқиғалар, St Martins Pr 1994. Илья Пригожин мен Изабел Стенджерс, Қауіпсіздіктен тәртіп, Bantam 1984. Дэвид Руэлл, Кездейсоқтық және хаос, Princeton University Press 1993. Иварс Петерсон, Ньютонның сағаты: Күн жүйесіндегі хаос, Freeman, 1993. Манфред Шрёдер, Фракталдар, хаос және қуат заңдары, Freeman, 1991. Иан Стюарт, Құдай ойын ойнай ма?: Хаос математикасы, Blackwell Publishers, 1990. Стивен Строгац, Синхронизация: спонтандық тәртіптің пайда болу ғылымы, Hyperion, 2003. Йосисуке Уэда, Хаосқа жол, Aerial Pr, 1993. М. Митчелл Уолдроп, Күрделілік: тәртіп пен хаос шегіндегі жаңа ғылым, Simon & Schuster, 1992. Антонио Савайя, Қаржылық уақыт қатарларын талдау: хаос және нейродинамикалық тәсіл, Lambert, 2012.
John Briggs and David Peat, Turbulent Mirror: : An Illustrated Guide to Chaos Theory and the Science of Wholeness, Harper Perennial 1990, 224 pp. John Briggs and David Peat, Seven Life Lessons of Chaos: Spiritual Wisdom from the Science of Change, Harper Perennial 2000, 224 pp. Predrag Cvitanović, Universality in Chaos, Adam Hilger 1989, 648 pp. Leon Glass and Michael C. Mackey, From Clocks to Chaos: The Rhythms of Life, Princeton University Press 1988, 272 pp. James Gleick, Chaos: Making a New Science, New York: Penguin, 1988. 368 pp. L Douglas Kiel, Euel W Elliott (ed. ), Chaos Theory in the Social Sciences: Foundations and Applications, University of Michigan Press, 1997, 360 pp. Arvind Kumar, Chaos, Fractals and Self Organisation; New Perspectives on Complexity in Nature , National Book Trust, 2003. Hans Lauwerier, Fractals, Princeton University Press, 1991. Edward Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press, 1996. David Peak and Michael Frame, Chaos Under Control: The Art and Science of Complexity, Freeman, 1994. Heinz Otto Peitgen and Dietmar Saupe (Eds. ), The Science of Fractal Images, Springer 1988, 312 pp. Nuria Perpinya, Caos, virus, calma. La Teoría del Caos aplicada al desórden artístico, social y político, Páginas de Espuma, 2021. Clifford A. Pickover, Computers, Pattern, Chaos, and Beauty: Graphics from an Unseen World , St Martins Pr 1991. Clifford A. Pickover, Chaos in Wonderland: Visual Adventures in a Fractal World, St Martins Pr 1994. Ilya Prigogine and Isabelle Stengers, Order Out of Chaos, Bantam 1984. David Ruelle, Chance and Chaos, Princeton University Press 1993. Ivars Peterson, Newton's Clock: Chaos in the Solar System, Freeman, 1993. Manfred Schroeder, Fractals, Chaos, and Power Laws, Freeman, 1991. Ian Stewart, Does God Play Dice? : The Mathematics of Chaos , Blackwell Publishers, 1990. Steven Strogatz, Sync: The emerging science of spontaneous order, Hyperion, 2003. Yoshisuke Ueda, The Road To Chaos, Aerial Pr, 1993. M. Mitchell Waldrop, Complexity : The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos, Simon & Schuster, 1992. Antonio Sawaya, Financial Time Series Analysis : Chaos and Neurodynamics Approach, Lambert, 2012.