Кіріспе
Екі деңгейлі кванттық механикалық жүйенің таза күй кеңістігінің геометриялық бейнесі. Кванттық механика мен есептеулерде Блох сферасы – екі деңгейлі кванттық механикалық жүйенің (кубит) таза күй кеңістігінің геометриялық бейнесі, ол физик Феликс Блохтың есімімен аталады. Математикалық тұрғыдан, әрбір кванттық механикалық жүйе ажыратылатын күрделі Гильберт кеңістігімен байланысты. Кванттық жүйенің таза күйі нөлдік емес вектормен бейнеленеді. Егер векторлар және (мұндағы ) бірдей күйді көрсететін болса, кванттық жүйенің деңгейі Гильберт кеңістігінің өлшеміне сәйкес келеді және таза күйлерді эквиваленттілік кластары түрінде немесе проективті Гильберт кеңістігіндегі сәулелер ретінде көрсетуге болады. Екі өлшемді Гильберт кеңістігінде, мұндай күйлердің кеңістігі күрделі проективті түзу болып табылады. Бұл – Блох сферасы, оны Риман сферасына бейнелеуге болады. Блох сферасы – 2 бірлік сфера, оның антиподальдық нүктелері өзара ортогональды күй векторларының жұбына сәйкес келеді. Блох сферасының солтүстік және оңтүстік полюстері әдетте стандартты негіз векторларына сәйкес таңдалады және , олар өз кезегінде электронның спині жоғары және спині төмен күйлеріне сәйкес келуі мүмкін. Алайда, бұл таңдау кездейсоқ. Сфера бетіндегі нүктелер жүйенің таза күйлеріне, ал ішкі нүктелер аралас күйлерге сәйкес келеді. Блох сферасын n деңгейлі кванттық жүйеге жалпылауға болады, бірақ онда визуализация азырақ пайдалы. Блох сферасындағы табиғи метрика – Фубини–Студи метрикасы. Екі өлшемді жай-күй кеңістігіндегі 3 бірлік сферадан Блох сферасына жасалатын бейнелеу – Хопф фибрациясы, онда спинорлардың әр сәулесі Блох сферасындағы бір нүктеге бейнеленеді.
In quantum mechanics and computing, the Bloch sphere is a geometrical representation of the pure state space of a two level quantum mechanical system (qubit), named after the physicist Felix Bloch. Mathematically each quantum mechanical system is associated with a separable complex Hilbert space A pure state of a quantum system is represented by a non zero vector in As the vectors and (with ) represent the same state, the level of the quantum system corresponds to the dimension of the Hilbert space and pure states can be represented as equivalence classes, or, rays in a projective Hilbert space For a two dimensional Hilbert space, the space of all such states is the complex projective line This is the Bloch sphere, which can be mapped to the Riemann sphere. The Bloch sphere is a unit 2 sphere, with antipodal points corresponding to a pair of mutually orthogonal state vectors. The north and south poles of the Bloch sphere are typically chosen to correspond to the standard basis vectors and , respectively, which in turn might correspond e. g. to the spin up and spin down states of an electron. This choice is arbitrary, however. The points on the surface of the sphere correspond to the pure states of the system, whereas the interior points correspond to the mixed states. The Bloch sphere may be generalized to an n level quantum system, but then the visualization is less useful. The natural metric on the Bloch sphere is the Fubini–Study metric. The mapping from the unit 3 sphere in the two dimensional state space to the Bloch sphere is the Hopf fibration, with each ray of spinors mapping to one point on the Bloch sphere.
Айналу
Блох сферасының пайдалы ерекшелігі – кубит күйінің өзгеруі Блох сферасының айналуы арқылы сипатталады. Мұның себебін түсіндірудің ең айқын жолы – бірлік және эрмиттік матрицалар тобының Ли алгебрасы үш өлшемді айналымдар тобының Ли алгебрасына изоморфты екендігінде.