Кіріспе
Кванттық жүйені таза немесе аралас күйде сипаттайтын матрица. Кванттық механикада тығыздық матрицасы (немесе тығыздық операторы) – физикалық жүйенің кванттық күйін сипаттайтын матрица. Ол осы жүйеде жүргізілген кез келген өлшеу нәтижелерінің ықтималдықтарын, Борн ережесін қолдану арқылы есептеуге мүмкіндік береді. Бұл күй векторларының немесе толқындық функциялардың жалпылама түрі: олар тек таза күйлерді ғана бейнелей алады, ал тығыздық матрицалары аралас күйлерді де бейнелей алады. Аралас күйлер кванттық механикада екі жағдайда туындайды:
In quantum mechanics, a density matrix (or density operator) is a matrix that describes the quantum state of a physical system. It allows for the calculation of the probabilities of the outcomes of any measurement performed upon this system, using the Born rule. It is a generalization of the more usual state vectors or wavefunctions: while those can only represent pure states, density matrices can also represent mixed states. Mixed states arise in quantum mechanics in two different situations:
when the preparation of the system is not fully known, and thus one must deal with a statistical ensemble of possible preparations, and
when one wants to describe a physical system that is entangled with another, without describing their combined state; this case is typical for a system interacting with some environment (e. g. decoherence). Density matrices are thus crucial tools in areas of quantum mechanics that deal with mixed states, such as quantum statistical mechanics, open quantum systems and quantum information.
жүйенің дайындығы толықтай белгісіз болғандықтан, мүмкін болатын дайындықтардың статистикалық жиынтығымен жұмыс жасау қажет, және
жүйенің біріктірілген күйін сипаттамай, екінші жүйемен байланысқан физикалық жүйені сипаттағысы келгенде; бұл жағдай ортамен өзара әрекеттесетін жүйе үшін әдеттегідей (мысалы, декогеренция). Осылайша, тығыздық матрицалары кванттық статистикалық механика, ашық кванттық жүйелер және кванттық ақпарат сияқты аралас күйлерді зерттейтін кванттық механика салаларында маңызды құралдар болып табылады.
In quantum mechanics, a density matrix (or density operator) is a matrix that describes the quantum state of a physical system. It allows for the calculation of the probabilities of the outcomes of any measurement performed upon this system, using the Born rule. It is a generalization of the more usual state vectors or wavefunctions: while those can only represent pure states, density matrices can also represent mixed states. Mixed states arise in quantum mechanics in two different situations:
when the preparation of the system is not fully known, and thus one must deal with a statistical ensemble of possible preparations, and
when one wants to describe a physical system that is entangled with another, without describing their combined state; this case is typical for a system interacting with some environment (e. g. decoherence). Density matrices are thus crucial tools in areas of quantum mechanics that deal with mixed states, such as quantum statistical mechanics, open quantum systems and quantum information.
Қалыптардың C*-алгебралық тұжырымдамасы
Қазіргі кезде кванттық механиканың барлық өзін-өзі қосатын операторлар байқалатын шамаларды білдіретін сипаттамасы негізсіз деп кеңінен қабылданды. Осы себепті байқалатын шамалар абстрактілі C* алгебрасы A элементтерімен (яғни операторлар алгебрасы ретінде ерекшеленбеген) анықталады, ал күйлер A-дағы оң сызықтық функционалдар болып табылады. Дегенмен, GNS құрылысын қолдану арқылы A-ны операторлардың субальгебрасы ретінде іске асыратын Гильберт кеңістіктерін қайта қалпына келтіруге болады. Геометриялық тұрғыдан алғанда, C* алгебрасы A-дағы таза күй – A-дағы барлық күйлер жиынының шектік нүктесі болып табылады. GNS құрылысының қасиеттеріне сәйкес, мұндай күйлер A-ның ирредуктибелдік бейнелеулеріне сәйкес келеді. К (H) компактты операторлардың C* алгебрасының күйлері тығыздық операторларымен дәл сәйкес келеді, сондықтан К (H)-ның таза күйлері кванттық механика мағынасындағы таза күйлер болып табылады. C* алгебралық тұжырымдама классикалық және кванттық жүйелерді қамтиды. Егер жүйе классикалық болса, байқалатын шамалардың алгебрасы абелдік C* алгебраға айналады. Мұндай жағдайда күйлер ықтималдық шараларына айналады.
Тарих
Тығыздық операторлары мен матрицаларының формализмін 1927 жылы Джон фон Нейман және дербес, бірақ толық жүйеленбеген түрде Лев Ландау, ал кейін 1946 жылы Феликс Блох енгізді. Фон Нейман кванттық статистикалық механиканы және кванттық өлшеулер теориясын дамыту мақсатымен тығыздық матрицасын енгізді. "Тығыздық матрицасы" атауының өзі классикалық статистикалық механикадағы фазалық кеңістіктегі ықтималдық өлшемімен (орын және импульстің ықтималдық таралуымен) байланысты, оны 1932 жылы Вигнер енгізген. Ал Ландауға шабыттанған нәрсе – күшті кванттық жүйенің ішкі жүйесін күй векторы арқылы сипаттаудың мүмкін болмауы.