Геометрическое представление чистого состояния двухуровневой квантовой системы (Блоховская сфера)
Bloch sphere
Сфера Блоха: геометрическое представление квантового состояния (кубита) в квантовой механике и вычислениях. Объяснение, математика, свойства и применение.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Геометрическое представление пространства чистых состояний двухуровневой квантово-механической системы
Geometrical representation of the pure state space of a two level quantum mechanical system
В квантовой механике и квантовых вычислениях сфера Блоха является геометрическим представлением пространства чистых состояний двухуровневой квантово-механической системы (кубита), названной в честь физика Феликса Блоха. Математически каждая квантово-механическая система связана с сепарабельным комплексным пространством Гильберта. Чистое состояние квантовой системы представлено ненулевым вектором в этом пространстве. Векторы и (при ) представляют одно и то же состояние, уровень квантовой системы соответствует размерности пространства Гильберта, а чистые состояния могут быть представлены как классы эквивалентности, или лучи в проективном пространстве Гильберта. Для двухмерного пространства Гильберта пространство всех таких состояний является комплексной проективной линией. Это и есть сфера Блоха, которую можно отобразить на сферу Римана. Сфера Блоха – это единичная 2-сфера, с антиподальными точками, соответствующими паре взаимно ортогональных векторов состояния. Северный и южный полюсы сферы Блоха обычно выбираются соответствующими стандартным базисным векторам и , которые, в свою очередь, могут соответствовать, например, состояниям спина вверх и спина вниз электрона. Однако этот выбор произволен. Точки на поверхности сферы соответствуют чистым состояниям системы, а внутренние точки – смешанным состояниям. Сферу Блоха можно обобщить на квантовую систему с n уровнями, но тогда визуализация становится менее полезной. Естественная метрика на сфере Блоха – метрика Фубини — Студи. Отображение от единичной 3-сферы в пространстве двухмерных состояний на сферу Блоха является фибрацией Хопфа, при этом каждый луч спиноров отображается в одну точку на сфере Блоха.
In quantum mechanics and computing, the Bloch sphere is a geometrical representation of the pure state space of a two level quantum mechanical system (qubit), named after the physicist Felix Bloch. Mathematically each quantum mechanical system is associated with a separable complex Hilbert space A pure state of a quantum system is represented by a non zero vector in As the vectors and (with ) represent the same state, the level of the quantum system corresponds to the dimension of the Hilbert space and pure states can be represented as equivalence classes, or, rays in a projective Hilbert space For a two dimensional Hilbert space, the space of all such states is the complex projective line This is the Bloch sphere, which can be mapped to the Riemann sphere. The Bloch sphere is a unit 2 sphere, with antipodal points corresponding to a pair of mutually orthogonal state vectors. The north and south poles of the Bloch sphere are typically chosen to correspond to the standard basis vectors and , respectively, which in turn might correspond e. g. to the spin up and spin down states of an electron. This choice is arbitrary, however. The points on the surface of the sphere correspond to the pure states of the system, whereas the interior points correspond to the mixed states. The Bloch sphere may be generalized to an n level quantum system, but then the visualization is less useful. The natural metric on the Bloch sphere is the Fubini–Study metric. The mapping from the unit 3 sphere in the two dimensional state space to the Bloch sphere is the Hopf fibration, with each ray of spinors mapping to one point on the Bloch sphere.
Ротации
Полезное преимущество представления сферы Блоха заключается в том, что эволюция состояния кубита может быть описана вращениями сферы Блоха. Наиболее краткое объяснение этого заключается в том, что алгебра Ли группы унитарных и эрмитовых матриц изоморфна алгебре Ли группы трехмерных вращений.
A useful advantage of the Bloch sphere representation is that the evolution of the qubit state is describable by rotations of the Bloch sphere. The most concise explanation for why this is the case is that the Lie algebra for the group of unitary and hermitian matrices is isomorphic to the Lie algebra of the group of three dimensional rotations .