Кіріспе
Сұйықтың саңылаулы орта арқылы ағылуын сипаттайтын теңдеу – Дарси заңы. Бұл заң саңылаулы орта арқылы сұйықтың ағынын сипаттайды. Заң Генри Дарси құмды төсекте су ағыны бойынша жүргізген тәжірибелердің нәтижелеріне негізделген және жер ғылымдарының бір саласы – гидрогеологияның негізін қалайды. Дарси заңы электростатикадағы Ом заңына ұқсас, сұйықтың көлемдік ағын мөлшерін гидравликалық градиентке (көбінесе қысым айырмасына пропорционалды) және гидравликалық өткізгіштікке сызықтық түрде байланыстырады. Шындығында, Дарси заңы – импульс ағыны үшін Стокс теңдеуінің ерекше жағдайы болып табылады, ал ол өз кезегінде импульсқа қатысты Навье-Стокстің теңдеуінен туындайды.
Darcy's law is an equation that describes the flow of a fluid through a porous medium. The law was formulated by Henry Darcy based on results of experiments on the flow of water through beds of sand, forming the basis of hydrogeology, a branch of earth sciences. It is analogous to Ohm's law in electrostatics, linearly relating the volume flow rate of the fluid to the hydraulic head difference (which is often just proportional to the pressure difference) via the hydraulic conductivity. In fact, the Darcy's law is a special case of the Stokes equation for the momentum flux, in turn deriving from the momentum Navier Stokes equation.
Өмірбаян
Дарси заңы алғаш рет Дарси эксперименттік жолмен анықталды, бірақ кейіннен гомогендендіру әдістері арқылы Навье-Стокстің теңдеулерінен шығарылды. Ол жылу өткізгіштігі саласындағы Фурье заңына, электр тізбектері саласындағы Ом заңына және диффузия теориясындағы Фик заңына ұқсас. Дарси заңының бір қолданылуы – сулы қабат арқылы су ағынын талдау; Дарси заңы масса сақталу теңдеуімен бірге гидрогеологияның негізгі байланыстарының бірі – жер асты сулары ағыны теңдеуін жеңілдетеді. Морис Маскат Дарси теңдеуін бірінші рет бір фазалы ағын үшін жетілдірді, Дарсидің бір (сұйық) фазалы теңдеуіне тұтқырлықты қосып. Тұтқыр сұйықтықтардың, аз тұтқыр сұйықтықтарға қарағанда, кеуекті ортадан өтуі қиын екенін түсінуге болады. Бұл өзгеріс оны мұнай өнеркәсібіндегі зерттеушілер үшін қолайлы етті. Өз әріптестері Уайкофф пен Босеттің тәжірибелік нәтижелеріне сүйене отырып, Мускат пен Мерес Дарси заңын судың, мұнайдың және газдың мұнай қоймасының кеуекті ортасындағы көп фазалы ағынын қамтитын етіп жалпылады. Мускат және басқалардың жалпыланған көп фазалы ағын теңдеулері бүгінгі күнге дейін сақталған қоймаларды инженерлік талдаудың аналитикалық негізін құрайды.
Мұнай өнеркәсібінде пайдалану
Дарси заңының тағы бір туындысы мұнай инженериясында өткізгіш орта арқылы ағынды анықтау үшін кеңінен қолданылады. Ең қарапайым жағдайы – бір өлшемді, біртекті тау жыныстары, бір сұйық фаза және тұрақты сұйық тұтқырлығы бар жағдай. Көптеген мұнай қоймаларында мұнай қабатының астында су аймағы болады, ал кейбіреулерінде мұнай қабатының үстінде газ қабаты болады. Мұнай өндірісі кезінде қойма қысымы төмендегенде, су төменнен мұнай аймағына, ал газ (газ қабаты болған жағдайда) жоғарыдан мұнай аймағына ағып кіреді, нәтижесінде мұнай аймағындағы барлық сұйық фазалар бір мезгілде ағып, бірін-бірі араластырмай қосады. Мұнай кен орнының операторы мұнай өндірісін арттыру үшін су (және/немесе газ) тартуға болады. Сондықтан мұнай өнеркәсібі Мускат және авторлар әзірлеген көп фазалы ағынға арналған жалпыланған Дарси теңдеуін қолданады. Дарси есімі кеңінен таралған және кеуекті ортадағы ағынмен тығыз байланысты болғандықтан, көп фазалы теңдеу Дарсидің көп фазалы ағын заңы, немесе жалпыланған Дарси теңдеуі (немесе заңы), немесе жай ғана Дарси теңдеуі (немесе заңы) деп аталады, ал егер мәтін Мускат және авторлардың көп фазалы теңдеуін талқыласа, онда тек ағын теңдеуі деп те айтуға болады. Мұнай және газ қоймаларындағы көп фазалы ағын – кең ауқымды тақырып, ал осы тақырыптағы көптеген мақалалардың бірі – Дарсидің көп фазалы ағын заңы.
Қауіпсіздікті сақтау
Бірнеше мақала Дарси заңы арқылы мока-туркадағы пісіру физикасын модельдеуге пайдаланылды, атап айтқанда, ыстық судың қысыммен кофе ұнтақтары арқылы сіңіп өтуін, 2001 жылы Варламов пен Балестриноның мақаласынан бастап, 2007 жылы Джанниноның, 2008 жылы Наварини және авторлар тобының, сондай-ақ 2008 жылы У. Кингтің мақалаларымен жалғастырды. Мақалалар кофе өткізгіштігін қарапайымдылық үшін тұрақты деп есептейді немесе пісіру процесі кезіндегі өзгерісін өлшейді.
Квадраттық заңдылық
1-10 шамасындағы Рейнольдс сандарынан жоғары пористі ортадағы ағындар үшін инерциялық әсерлер де маңызды болуы мүмкін. Кейде Дарси теңдеуіне инерциялық мүше қосылады, ол Форхеймер мүшесі деп аталады. Бұл мүше қысымның айырмашылығы мен ағын деректері арасындағы сызықтық емес қатынасты ескере алады. Мұндағы қосымша k1 мүшесі инерциялық өткізгіштік деп аталады және ұзындық бірліктерімен өлшенеді. Құмтас қоймасының ортасындағы ағын тым баяу болғандықтан Форхеймер теңдеуі көбінесе қажет емес, бірақ газ өндіру ұңғымасына газ ағыны Форхеймер теңдеуін қолдануға негіз беруі мүмкін. Бұл жағдайда, 3D модельдің тор клеткасы емес, ұңғыманың ағын өнімділігін есептеу Форхеймер теңдеуіне негізделген. Бұл ағын жылдамдығына тәуелді қосымша терінің пайда болуына әкеледі. Кейбір карбонатты қоймаларда көптеген жарылымдар болады, сондықтан көп фазалы ағын үшін Дарси теңдеуі жарылымдардағы және матрицадағы (яғни, дәстүрлі кеуекті тау жынысы) ағынды басқару үшін жалпыланады. Жарылым қабырғаларының бетегесіз беті және жарылымдардағы жоғары ағын жылдамдығы Форхеймер теңдеуін қолдануға негіз беруі мүмкін.
The flow in the middle of a sandstone reservoir is so slow that Forchheimer's equation is usually not needed, but the gas flow into a gas production well may be high enough to justify use of Forchheimer's equation. In this case, the inflow performance calculations for the well, not the grid cell of the 3D model, is based on the Forchheimer equation. The effect of this is that an additional rate dependent skin appears in the inflow performance formula. Some carbonate reservoirs have many fractures, and Darcy's equation for multiphase flow is generalized in order to govern both flow in fractures and flow in the matrix (i. e. the traditional porous rock). The irregular surface of the fracture walls and high flow rate in the fractures may justify the use of Forchheimer's equation.
Ұсақ ортадағы газдарды түзету (Кнудсен диффузиясы немесе Клинкенберг эффектісі)
Шағын сипаттамалық өлшемдердегі газ ағыны үшін (мысалы, өте ұсақ құм, нанокеңістікті құрылымдар және т.б.), бөлшектердің қабырғамен өзара әрекеттесуі жиілеп, қосымша қабырғалық сүргіленуге (Кнудсен сүргіленуіне) әкеледі. Мұндай аймақтағы ағын үшін, онда тұтқыр және Кнудсен сүргіленуі қатар болады, жаңа формулировка қолданылуы тиіс. Кнудсен кішкентай капиллярларда жүргізген тәжірибелеріне негізделген ауысу режимі үшін жартылай эмпирикалық модель ұсынды. Кеңістіктік орта үшін Кнудсен теңдеуін былай беруге болады: Кеңістіктік ортадағы ауысу ағынының дифференциалдық теңдеуі BFM негізінде былай беріледі:
мұнда b – газ бен кеңістіктік ортаның құрылымына байланысты Клинкенберг параметрі деп аталады. Бұл жоғарыдағы формулировкаларды салыстырғанда анық көрінеді. Клинкенберг параметрі b өтімділікке, Кнудсен диффузиясына және тұтқырлыққа (яғни газ бен кеңістіктік ортаның қасиеттеріне) тәуелді.
Дарси заңының жарамдылығы
Дарси заңы шөгінділер арқылы ламинарлық ағынға қатысты қолданылады. Ұсақ түйіршікті шөгінділердегі аралықтардың мөлшері кішкентай болғандықтан, ағын ламинарлық болады. Ірі түйіршікті шөгінділер де ұқсас қасиеттер көрсетеді, бірақ өте ірі түйіршікті шөгінділерде ағын турбулентті болуы мүмкін. Сондықтан, Дарси заңы мұндай шөгінділерде әрқашан қолданылмайды. Саудалық дөңгелек құбырлардағы ағын, Рейнольдс саны 2000-нан кем болғанда ламинарлық, ал 4000-нан жоғары болғанда турбулентті болады. Дегенмен, кейбір шөгінділерде Рейнольдс саны 1-ден кем болғанда да ағын ламинарлық екені анықталды.