Введение
Уравнение, описывающее течение жидкости через пористую среду. Закон Дарси – это уравнение, описывающее течение жидкости через пористую среду. Закон был сформулирован Генри Дарси на основе результатов экспериментов по течению воды через песчаные пласты, что стало основой гидрогеологии, отрасли наук о Земле. Он аналогичен закону Ома в электростатике, линейно связывая объемную скорость потока жидкости с разностью гидравлического напора (который часто просто пропорционален разности давлений) посредством гидравлической проводимости. Фактически, закон Дарси является частным случаем уравнения Стокса для потока импульса, которое, в свою очередь, выводится из уравнения Навье-Стокса для импульса.
Darcy's law is an equation that describes the flow of a fluid through a porous medium. The law was formulated by Henry Darcy based on results of experiments on the flow of water through beds of sand, forming the basis of hydrogeology, a branch of earth sciences. It is analogous to Ohm's law in electrostatics, linearly relating the volume flow rate of the fluid to the hydraulic head difference (which is often just proportional to the pressure difference) via the hydraulic conductivity. In fact, the Darcy's law is a special case of the Stokes equation for the momentum flux, in turn deriving from the momentum Navier Stokes equation.
Предыстория
Закон Дарси был впервые установлен экспериментально Дарси, но впоследствии выведен из уравнений Навье-Стокса посредством методов гомогенизации. Он аналогичен закону Фурье в области теплопроводности, закону Ома в области электрических цепей и закону Фика в теории диффузии. Одно из применений закона Дарси – анализ потока воды через водоносный горизонт; закон Дарси в сочетании с уравнением сохранения массы упрощается до уравнения фильтрации грунтовых вод, являющегося одним из основополагающих соотношений гидрогеологии. Моррис Мускат впервые уточнил уравнение Дарси для однофазного потока, включив вязкость в уравнение Дарси для одной (жидкой) фазы. Можно понять, что вязким жидкостям сложнее проникать через пористую среду, чем менее вязким. Это изменение сделало его полезным для исследователей в нефтедобывающей промышленности. На основе экспериментальных данных, полученных его коллегами Уайкоффом и Боцетом, Мускат и Мерес обобщили закон Дарси для описания многофазного потока воды, нефти и газа в пористой среде нефтяного пласта. Обобщенные уравнения многофазного потока, разработанные Мускатом и другими, заложили аналитическую основу для разработки нефтяных месторождений, которая используется и по сей день.
Использование в нефтяной технике
Другой вывод закона Дарси широко используется в нефтедобыче для определения потока через проницаемые среды, причем наиболее простой случай – это одномерное, однородное горное образование с одной жидкой фазой и постоянной вязкостью жидкости. Почти все нефтяные пласты имеют водоносный горизонт под нефтяным слоем, а некоторые – газовый колпак над нефтяным слоем. При снижении пластового давления из-за добычи нефти вода поступает в нефтяной слой снизу, а газ – сверху (если газовый колпак присутствует), что приводит к одновременному потоку и несмешивающемуся смешению всех жидких фаз в нефтяном слое. Оператор месторождения также может закачивать воду (и/или газ) для увеличения добычи нефти. Поэтому нефтегазовая промышленность использует обобщенное уравнение Дарси для многофазного потока, разработанное Muskat и другими. Поскольку имя Дарси настолько широко известно и прочно ассоциируется с потоком в пористых средах, многофазное уравнение обозначается законом Дарси для многофазного потока, обобщенным уравнением (или законом) Дарси, или просто уравнением (или законом) Дарси, или просто уравнением потока, если из контекста следует, что речь идет о многофазном уравнении Muskat и других. Многофазный поток в нефтяных и газовых пластах – это обширная тема, и одной из многих статей, посвященных ей, является закон Дарси для многофазного потока.
Использование в кофеварении
В ряде работ использовался закон Дарси для моделирования физики процесса заваривания в гейзерной кофеварке, в частности, для описания того, как горячая вода просачивается сквозь кофейную гущу под давлением. Это началось с работы 2001 года Варламова и Балестрино и продолжилось в работах Джанино (2007), Наварини и др. (2008) и У. Кинга (2008). В этих работах либо принимали проницаемость кофе за постоянную величину для упрощения, либо измеряли её изменение в ходе процесса заваривания.
Квадратный закон
Для потоков в пористых средах с числами Рейнольдса, превышающими примерно от 1 до 10, инерционные эффекты также могут стать значимыми. Иногда к уравнению Дарси добавляется инерциальный член, известный как член Форхгеймера. Этот член позволяет учесть нелинейную зависимость разности давлений от расхода. При этом дополнительный член k1 известен как инерционная проницаемость и измеряется в единицах длины. Поток в центральной части песчаникового пласта настолько медленный, что уравнение Форхгеймера обычно не требуется, однако приток газа к газодобывающей скважине может быть достаточно интенсивным, чтобы оправдать его использование. В этом случае расчеты притока для скважины, а не для ячейки сетки трехмерной модели, выполняются на основе уравнения Форхгеймера. Это приводит к появлению в формуле притока дополнительной кожной кривой, зависящей от дебита. Некоторые карбонатные пласты характеризуются высокой трещиноватостью, и уравнение Дарси для многофазного потока обобщается для описания потока как в трещинах, так и в матрице (то есть в традиционной пористой породе). Неровная поверхность стенок трещин и высокая скорость потока в них могут оправдать применение уравнения Форхгеймера.
The flow in the middle of a sandstone reservoir is so slow that Forchheimer's equation is usually not needed, but the gas flow into a gas production well may be high enough to justify use of Forchheimer's equation. In this case, the inflow performance calculations for the well, not the grid cell of the 3D model, is based on the Forchheimer equation. The effect of this is that an additional rate dependent skin appears in the inflow performance formula. Some carbonate reservoirs have many fractures, and Darcy's equation for multiphase flow is generalized in order to govern both flow in fractures and flow in the matrix (i. e. the traditional porous rock). The irregular surface of the fracture walls and high flow rate in the fractures may justify the use of Forchheimer's equation.
Коррекция для газов в тонких средах (диффузия Кнудсена или эффект Клинкенберга)
Для газового потока при малых характерных размерах (например, очень мелкий песок, нанопористые структуры и т.д.) взаимодействие частиц со стенками становится более частым, что приводит к дополнительному трению о стенки (трению Кнудсена). Для потока в этой области, где присутствуют как вязкое трение, так и трение Кнудсена, требуется использовать новую формулировку. Кнудсен предложил полуэмпирическую модель для потока в переходном режиме, основанную на его экспериментах с узкими капиллярами. Для пористой среды уравнение Кнудсена можно представить как: Дифференциальное уравнение переходного потока в пористой среде, основанное на модели BFM, имеет вид:
где b известно как параметр Клинкеберга, который зависит от газа и структуры пористой среды. Это очевидно при сравнении вышеприведенных формулировок. Параметр Клинкеберга b зависит от проницаемости, диффузии Кнудсена и вязкости (то есть свойств как газа, так и пористой среды).
Действительность закона Дарси
Закон Дарси применим к ламинарному течению в пористых средах. В мелкозернистых породах размеры пор малы, и, следовательно, течение является ламинарным. Крупнозернистые породы ведут себя аналогично, но в очень крупнозернистых породах течение может быть турбулентным. Таким образом, закон Дарси не всегда применим к таким породам. Для течения в коммерческих круглых трубах течение является ламинарным при числе Рейнольдса менее 2000 и турбулентным при числе Рейнольдса более 4000, однако в некоторых породах установлено, что течение остается ламинарным при числе Рейнольдса менее 1.