Кіріспе
Сильвер монетасы – Джон Х. Конвей ойлап тапқан екі ойыншыға арналған математикалық ойын. Екі ойыншы бұрын аталған оң бүтін сандардың теріс емес еселіктерінің қосындысы емес, жаңа оң бүтін сандарды атауды кезекпен жасайды. 1-ді атаған ойыншы жеңіледі. Мысалы, егер ойыншы А 2-мен бастаса, А 1-ді атауға мәжбүр болады, сондықтан В 3-ті атап жеңіске жетеді. Сильвер монетасы – мизерлік стратегия қолданылатын ойынның мысалы, себебі соңғы қозғалыс жасауға мүмкіндігі бар ойыншы жеңіледі. Сильвер монетасы Джеймс Джозеф Сильвестрдің құрметіне аталған, ол егер a және b өзара жай сандар болса, онда (a − 1)(b − 1) − 1 – a және b-ның теріс емес еселіктерінің қосындысы емес ең үлкен сан екенін дәлелдеген. Осылайша, егер a және b – Сильвер монетасы ойынының алғашқы екі қозғалысы болса, онда бұл формула әлі ойнауға болатын ең үлкен санды көрсетеді. Жалпы алғанда, егер осы уақытқа дейін жасалған қозғалыстардың ең үлкен ортақ бөлгіші g болса, онда g-нің тек шекті саны ғана ойнауға қалдырылуы мүмкін, ал олардың барлығы ойналғаннан кейін келесі қозғалыста g азаюы керек. Сондықтан, Сильвер монетасының кез келген ойыны сөзсіз аяқталуға тиіс. Сильвер монетасы ойынында қалған қозғалыстар саны шекті болғанда, әлі ойнауға болатын ең үлкен сан Фробеніус саны деп аталады, ал осы санды табу – монета мәселесі деп аталады.
James Joseph Sylvester, who proved that if a and b
are relatively prime positive integers, then (a − 1)(b − 1) − 1 is the largest number that is not a sum of nonnegative multiples of a and b. Thus, if a and b are the first two moves in a game of sylver coinage, this formula gives the largest number that can still be played. More generally, if the greatest common divisor of the moves played so far is g, then only finitely many multiples of g can remain to be played, and after they are all played then g must decrease on the next move. Therefore, every game of sylver coinage must eventually end. When a sylver coinage game has only a finite number of remaining moves, the largest number that can still be played is called the Frobenius number, and finding this number is called the coin problem.
Талдау
Көптеген ұқсас математикалық ойындардан айырмашылығы, күміс монеталар толық шешілген жоқ, себебі көптеген жағдайларда шексіз көптеген мүмкін қимылдар бар. Сонымен қатар, Р. Л. Хатчингске байланысты жеңіске жеткен жағдайлар класын анықтайтын негізгі теорема, мұндай жағдайдың жеңіске жеткізетін стратегиясы бар екенін кепілдіктейді, бірақ стратегияны анықтамайды. Хатчингс теоремасы бойынша, бірінші қимылда 5, 7, 11, 13, т.б. жай сандарының кез келгені жеңіске жетеді, бірақ одан кейінгі жеңіске жеткізетін қимылдар туралы өте аз мәлімет бар: бұл жалғыз белгілі жеңіске жеткізетін бастамалар. Егер осы уақытқа дейін жасалған қимылдардың ең үлкен ортақ бөлгіші 1 болса, онда ойнауға болатын сандардың қалған жиыны шекті болады және оны сандық жартылай топтың аралықтарының жиыны ретінде математикалық тұрғыдан сипаттауға болады. Кейбір шекті жағдайлардың, соның ішінде екінші ойыншы Хатчингстің жеңіске жеткізетін қимылына жауап бергеннен кейінгі барлық жағдайлар, Сихерман "аяқтаушы" деп атаған арнайы қимыл жасауға мүмкіндік береді. Аяқтаушы – бірден ойнауға болатын сан: кез келген басқа санды ойнау оны мүмкінсіз етеді. Егер аяқтаушы болса, ол әрқашан ойнауға болатын ең үлкен сан болады. Мысалы, (4,5) қимылдарынан кейін, әлі де ойнауға болатын ең үлкен сан 11. 11 ойнау кез келген кіші санды мүмкінсіз етпейді, бірақ қол жетімді кіші сандардың кез келгенін (1, 2, 3, 6 немесе 7) ойнау 11 ойнауды мүмкінсіз етеді, сондықтан 11 – аяқтаушы. Аяқтаушы болғанда, келесі ойыншы стратегияны ұрлау арқылы жеңіске жетеді. Егер аяқтаушы емес қимылдардың бірі жеңіске жеткізе алса, келесі ойыншы сол жеңіске жеткізетін қимылды жасайды. Егер аяқтаушы емес қимылдардың ешқайсысы жеңіске жеткізбесе, келесі ойыншы аяқтаушыны ойнап, екінші ойыншыны жеңіске жеткізбейтін қимыл жасауға мәжбүрлейді. Дегенмен, бұл аргумент келесі ойыншының жеңе алатынын дәлелдесе де, ойыншы үшін жеңіске жеткізетін стратегияны анықтамайды. Бірінші қимыл ретінде 5 немесе одан үлкен жай санды ойнағаннан кейін, күміс монеталар ойынындағы бірінші ойыншы келесі кезегінде осы (конструктивті емес) аяқтаушы стратегиясын қолдану арқылы әрқашан жеңе алады. Егер басқа жеңіске жеткізетін бастамалар болса, олар 3-тегіс сандар болуы керек (i және j теріс емес бүтін сандар үшін 2^i * 3^j түріндегі сандар). Себебі, егер осы формадағы және жай сан емес n саны ойналса, онда екінші ойыншы n-нің үлкен жай көбейткішін таңдап жеңіске жете алады. Алғашқы 3-тегіс сандар, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 және 12 – барлығы жеңіліске ұшырататын бастамалар, олар үшін екінші ойыншының жеңіске жетуіне мүмкіндік беретін толық стратегиялар белгілі. Диксон леммасы бойынша (осы сандардың экспоненттерінің жұптарына (i, j) қолданылған), тек шекті 3-тегіс сандар ғана жеңіске жеткізетін бастамалар бола алады, бірақ олардың біреуінің болатыны белгісіз. 2017 жылы, бірінші шешілмеген жағдайда кім жеңетінін анықтау үшін 16-шы қимыл бойынша 1000 доллар сыйлық ұсынылды, бұл Конвейдің 99-шы графының мәселесін, Данцер жиынтықтарының ең аз арақашықтығын және Трэкл болжамын қоса алғандағы сыйлық мәселелерінің бір бөлігі болды.
The first few 3 smooth numbers, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, and 12, are all losing openings, for which complete strategies are known by which the second player can win. By Dickson's lemma (applied to the pairs of exponents (i, j) of these numbers), only finitely many 3 smooth numbers can be winning openings, but it is not known whether any of them are. In 2017,
offered a $1000 prize for determining who wins in the first unsolved case, the opening move 16, as part of a set of prize problems also including Conway's 99 graph problem, the minimum spacing of Danzer sets, and the thrackle conjecture.