Кіріспе
Тұрақты фазалық ауысулар теориясы
Ландау теориясы (қате түсінік тудыратын атауға қарамастан, Ginzburg–Landau теориясы деп те аталады) – физикада Лев Ландау тұрақты (яғни екінші реттік) фазалық ауысулардың жалпы теориясын жасауға тырысқанда ұсынған теория. Оны сыртқы әсерлерге ұшыраған жүйелерге де бейімдеуге болады және үздіксіз (яғни бірінші реттік) ауысулар үшін сандық модель ретінде қолдануға болады. Бұл теория қазір қайта нормалау тобы және масштабтау теориясымен ығыстырылғанымен, фазалық ауысулар үшін өте кең және қуатты құрылым болып қала береді, ал ауысудың маңызды ерекшеліктерін сипаттаушы ретіндегі реттік параметр ұғымы революциялық болып шықты.
Бірінші реттік ауысулар
Ландау теориясы бірінші реттік өтулерді зерттеу үшін де қолданылуы мүмкін. Реттік параметрдің таңбасы өзгерген кезде жүйе симметриялы болып табылатынына байланысты екі түрлі тұжырымдама бар.
II. Симметриясыз жағдай
Келесіде жүйе симметриясыз болған жағдайды қарастырамыз. Бұл жағдайда кеңейтуінде тек жұп дәрежелерді ғана сақтаудың қажеті жоқ, сондай-ақ кубтық мүшеге де рұқсат ету керек (Сызықтық мүшені әрқашан + тұрақты арқылы ығыстыру арқылы жоюға болады). Осылайша, біз еркін энергия функционалын қарастырамыз:
Тағы да, және бәрі оң. Кубтық мүшенің таңбасын қажет болған жағдайда, -ның таңбасын кері ауыстыру арқылы теріс деп таңдауға болады. Біз осы еркін энергия функционалын былай талдаймыз: (i) үшін, бізде -да жергілікті максимум бар, ал еркін энергия төменнен шектелгендіктен, нөлден өзге екі жергілікті минимум болуы керек және . Кубтық мүше бұл жаһандық минимум екенін қамтамасыз етеді, себебі ол терең жатыр. (ii) -ның мәніден сәл жоғары болғанда, -дағы минимум жоғалады, -дағы максимум жергілікті минимумға айналады, бірақ -дағы минимум сақталады және жаһандық минимум болып қала береді. Температура одан әрі көтерілгенде, -ның мәні кейбір температурада нөлге жетеді. -да жаһандық минимумден 0-ге дейін үзіліс секірісі болады. (Минимумдар бірігуі мүмкін емес, себебі бұл үшін -ның алғашқы үш туындысы нөлге тең болуы керек). -ны табу үшін, еркін энергияның нөлде нөлге тең болуын ( сияқты шешім) және бұл нүкте жергілікті минимум болуын талап етеміз. Бұл екі шарт екі теңдеуді береді,
олар келесідей орындалады: . Осы теңдеулер сондай-ақ келесіні білдіреді: , яғни
Симметриялық жағдайдағыдай, реттеу параметрі 0-ден 0-ге дейін үзіліс секірісін бастан кешіреді. Екіншіден, фазалық ауысу температурасы -ның нөлге тең болатын температурадан өзгеше.
Қолданбалар
Эксперимент жүзінде сұйық-газдың тепе-теңдік қисығы мен ферромагниттік магниттелу қисығының екеуі де , түріндегі масштабталу қатынасын көрсеткені белгілі болды, мұнда екі жүйе үшін де таңқаларлық түрде бірдей болды. Бұл – жалпыға ортақ құбылыс. Сондай-ақ, сұйық-газдың қарапайым модельдері қарапайым магниттік модельдерге дәл сәйкестендірілетіндігі белгілі болды, бұл екі жүйе бірдей симметрияға ие екенін білдірді. Содан кейін Ландау теориясынан бұл екі сырттай өзгеше жүйенің әртүрлі микроскопиялық параметрлеріне қарамастан бірдей сындық экспоненттері болуы керек екені шықты. Қазіргі кезде универсалдылық құбылысы басқа себептермен пайда болатыны белгілі (Ренормализация тобын қараңыз). Шын мәнінде, Ландау теориясы Исинг және сұйық-газ жүйелері үшін дұрыс емес сындық экспоненттерді болжайды. Ландау теориясының үлкен артықшылығы – ол негізгі еркін энергия талдау кезінде қандай талдаусыз мінез-құлықты көру керектігін нақты болжайды. Сонымен, барлық талдаусыздықтар, сын нүктедегі сындық экспоненттер, тепе-теңдік параметрдің мәні сандық түбір ретінде талдаусыз өзгеріп, еркін энергия өзінің бірегей минимумдарын жоғалтқан кезде пайда болады. Ландау теориясының реттік параметрдегі ауытқуларды қоса кеңейтілуі Ландау теориясының тек 4-тен жоғары кеңістіктік өлшемдері бар қарапайым жүйелердің сыни нүктелерінің жанында ғана қатаң түрде жарамды екенін көрсетеді. Бұл жоғарғы сындық өлшем, және ол төрттен жоғары болуы мүмкін. Мұхамелдің изотроптық Лифшиц нүктесін талдауында, сындық өлшем 8-ге тең. Бұл Ландау теориясының орташа өріс теориясы болып табылатындықтан, ұзақ аралықтағы байланысты қамтымайды. Бұл теория сын нүктедегі талдаусыздықтарды түсіндірмейді, бірақ суперсұйықтық пен суперөткізгіштік фазалық өтулерге қолданылғанда, Ландау теориясы басқа теорияға, Гинцбург-Ландаудың суперөткізгіштік теориясына шабыт берді.
Соның ішінде ұзақ мерзімді байланыстар
Жоғарыда келтірілген Исинг моделінің еркін энергиясын қарастырайық. Реттік параметр және сыртқы магнит өрісі , кеңістікте өзгеруге ұшырауы мүмкін деп есептейік. Сонда жүйенің еркін энергиясы келесі өзгертілген түрде болады деп болжауға болады:
where is the total spatial dimensionality. So,
Assume that, for a localized external magnetic perturbation , the order parameter takes the form Then,
That is, the fluctuation in the order parameter corresponds to the order order correlation. Hence, neglecting this fluctuation (like in the earlier mean field approach) corresponds to neglecting the order order correlation, which diverges near the critical point. One can also solve for , from which the scaling exponent, , for correlation length can deduced. From these, the Ginzburg criterion for the upper critical dimension for the validity of the Ising mean field Landau theory (the one without long range correlation) can be calculated as:
In our current Ising model, mean field Landau theory gives and so, it (the Ising mean field Landau theory) is valid only for spatial dimensionality greater than or equal to 4 (at the marginal values of , there are small corrections to the exponents). This modified version of mean field Landau theory is sometimes also referred to as the Landau–Ginzburg theory of Ising phase transitions. As a clarification, there is also a Landau Ginzburg theory specific to superconductivity phase transition, which also includes fluctuations.
мұндағы – жалпы кеңістіктік өлшем. Олай болса,
where is the total spatial dimensionality. So,
Assume that, for a localized external magnetic perturbation , the order parameter takes the form Then,
That is, the fluctuation in the order parameter corresponds to the order order correlation. Hence, neglecting this fluctuation (like in the earlier mean field approach) corresponds to neglecting the order order correlation, which diverges near the critical point. One can also solve for , from which the scaling exponent, , for correlation length can deduced. From these, the Ginzburg criterion for the upper critical dimension for the validity of the Ising mean field Landau theory (the one without long range correlation) can be calculated as:
In our current Ising model, mean field Landau theory gives and so, it (the Ising mean field Landau theory) is valid only for spatial dimensionality greater than or equal to 4 (at the marginal values of , there are small corrections to the exponents). This modified version of mean field Landau theory is sometimes also referred to as the Landau–Ginzburg theory of Ising phase transitions. As a clarification, there is also a Landau Ginzburg theory specific to superconductivity phase transition, which also includes fluctuations.
Егер локалданған сыртқы магниттік бұзылыс болса, реттік параметр мынадай түрінде болады деп есептейік. Яғни, реттік параметрдегі ауытқу реттік-реттік корреляцияға сәйкес келеді. Сондықтан, осы ауытқуды елемеу (бұрынғы орташа өріс тәсілі сияқты) – сындық нүктеге жақын реттік-реттік корреляцияны елемеумен тең. Осыдан корреляциялық қашықтық үшін масштабтық көрсеткішін табуға болады. Олардан Исинг орташа өріс Ландау теориясының (ұзақ қашықтықтағы корреляциясыз) жарамдылығы үшін жоғарғы сындық өлшемге Гинцбург критерийін есептеуге болады:
where is the total spatial dimensionality. So,
Assume that, for a localized external magnetic perturbation , the order parameter takes the form Then,
That is, the fluctuation in the order parameter corresponds to the order order correlation. Hence, neglecting this fluctuation (like in the earlier mean field approach) corresponds to neglecting the order order correlation, which diverges near the critical point. One can also solve for , from which the scaling exponent, , for correlation length can deduced. From these, the Ginzburg criterion for the upper critical dimension for the validity of the Ising mean field Landau theory (the one without long range correlation) can be calculated as:
In our current Ising model, mean field Landau theory gives and so, it (the Ising mean field Landau theory) is valid only for spatial dimensionality greater than or equal to 4 (at the marginal values of , there are small corrections to the exponents). This modified version of mean field Landau theory is sometimes also referred to as the Landau–Ginzburg theory of Ising phase transitions. As a clarification, there is also a Landau Ginzburg theory specific to superconductivity phase transition, which also includes fluctuations.
Біздің қазіргі Исинг моделінде орташа өріс Ландау теориясы нәтиже береді, сондықтан ол (Исинг орташа өріс Ландау теориясы) кеңістіктік өлшем 4-тен үлкен немесе оған тең болғанда ғана жарамды (шеттік мәндерінде экспоненталарға шағын түзетулер енгізіледі). Орташа өріс Ландау теориясының бұл өзгертілген түрі кейде Ландау–Гинцбургтың Исинг фазалық өтулері теориясы деп те аталады. Нақтырақ айтқанда, суперөткізгіштік фазалық өтуге арналған Ландау–Гинцбург теориясы да бар, ол тербелістерді қамтиды.
where is the total spatial dimensionality. So,
Assume that, for a localized external magnetic perturbation , the order parameter takes the form Then,
That is, the fluctuation in the order parameter corresponds to the order order correlation. Hence, neglecting this fluctuation (like in the earlier mean field approach) corresponds to neglecting the order order correlation, which diverges near the critical point. One can also solve for , from which the scaling exponent, , for correlation length can deduced. From these, the Ginzburg criterion for the upper critical dimension for the validity of the Ising mean field Landau theory (the one without long range correlation) can be calculated as:
In our current Ising model, mean field Landau theory gives and so, it (the Ising mean field Landau theory) is valid only for spatial dimensionality greater than or equal to 4 (at the marginal values of , there are small corrections to the exponents). This modified version of mean field Landau theory is sometimes also referred to as the Landau–Ginzburg theory of Ising phase transitions. As a clarification, there is also a Landau Ginzburg theory specific to superconductivity phase transition, which also includes fluctuations.