Введение
Теория непрерывных фазовых переходов
Теория Ландау (также известная как теория Гинзбурга-Ландау, несмотря на вводящее в заблуждение название) в физике – это теория, предложенная Львом Ландау в попытке сформулировать общую теорию непрерывных (т.е. фазовых переходов второго рода). Её также можно адаптировать к системам, находящимся под воздействием внешних полей, и использовать в качестве количественной модели для разрывных (т.е. фазовых переходов первого рода) переходов. Хотя в настоящее время теория уступила место методу ренормализационной группы и теории масштабирования, она остаётся исключительно широкой и мощной основой для изучения фазовых переходов, а связанное с ней понятие параметра порядка как характеристики сущности перехода оказалось революционным.
Переходы первого порядка
Теория Ландау также может быть использована для изучения фазовых переходов первого рода. Существует два различных подхода, в зависимости от того, инвариантна ли система к смене знака параметра порядка.
II. Несимметричный случай
Далее мы рассмотрим случай, когда система не обладает симметрией. В этом случае нет оснований сохранять только четные степени в разложении , и необходимо допустить кубический член (линейный член всегда можно исключить сдвигом + константа). Таким образом, мы рассматриваем функционал свободной энергии
Вновь , и все положительны. Знак кубического члена всегда можно выбрать отрицательным, как мы и сделали, изменив знак, если это необходимо. Мы анализируем этот функционал свободной энергии следующим образом: (i) При , у нас есть локальный максимум в , и поскольку свободная энергия ограничена снизу, должны существовать два локальных минимума при ненулевых значениях и . Кубический член обеспечивает, что является глобальным минимумом, поскольку он глубже. (ii) При чуть большем , чем , минимум в исчезает, максимум в превращается в локальный минимум, но минимум в сохраняется и продолжает быть глобальным минимумом. При дальнейшем повышении температуры , растет до нуля при некоторой температуре . При мы получаем скачкообразное изменение глобального минимума от к 0. (Минимумы не могут слиться, так как для этого потребовалось бы обращение в ноль первых трех производных от .) Чтобы найти , мы требуем, чтобы свободная энергия была равна нулю в (как и в решении), и, кроме того, чтобы эта точка была локальным минимумом. Эти два условия дают два уравнения,
которые выполняются при . Те же уравнения также подразумевают, что . То есть,
Как и в симметричном случае, параметр порядка испытывает скачкообразное изменение от к 0. Во-вторых, температура перехода не совпадает с температурой, при которой обращается в ноль.
Приложения
Экспериментально было известно, что кривая сосуществования жидкости и газа и кривая намагничивания ферромагнетика демонстрируют соотношение масштабирования вида , где таинственным образом оказывалось одинаковым для обеих систем. Это и есть феномен универсальности. Также было известно, что простые модели жидкость-газ точно отображаются на простые магнитные модели, что подразумевало, что обе системы обладают одинаковыми симметриями. Затем из теории Ландау следовало, почему эти две, казалось бы, различные системы должны иметь одинаковые критические показатели, несмотря на различные микроскопические параметры. Сейчас известно, что феномен универсальности возникает по другим причинам (см. группу перенормировки). Фактически, теория Ландау предсказывает неверные критические показатели для систем Изинга и жидкость-газ. Главное достоинство теории Ландау заключается в том, что она делает конкретные предсказания относительно того, какое неаналитическое поведение следует ожидать, когда базовая свободная энергия аналитична. Вся неаналитичность в критической точке, критические показатели, обусловлены тем, что равновесное значение параметра порядка изменяется неаналитически, как корень квадратный, всякий раз, когда свободная энергия теряет свой единственный минимум. Расширение теории Ландау с учетом флуктуаций параметра порядка показывает, что теория Ландау строго справедлива только вблизи критических точек обычных систем с пространственными размерностями выше 4. Это верхняя критическая размерность, которая может быть значительно выше четырех при более точно настроенных фазовых переходах. В анализе Мухамеля изотропной точки Лифшица критическая размерность равна 8. Это связано с тем, что теория Ландау является теорией среднего поля и не учитывает корреляции дальнего действия. Эта теория не объясняет неаналитичность в критической точке, но при применении к фазовым переходам в сверхтекучих и сверхпроводящих системах теория Ландау послужила вдохновением для другой теории – теории сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау.
Включая долгосрочные корреляции
Рассмотрим свободную энергию модели Изинга, представленную выше. Предположим, что параметр порядка и внешнее магнитное поле, , могут иметь пространственные изменения. Теперь можно считать, что свободная энергия системы принимает следующую модифицированную форму:
где – общая пространственная размерность. Следовательно,
Предположим, что для локализованного внешнего магнитного возмущения параметр порядка принимает вид. Тогда,
То есть, флуктуация параметра порядка соответствует корреляции порядка. Таким образом, пренебрежение этой флуктуацией (как и в предыдущем приближении среднего поля) соответствует пренебрежению корреляцией порядка, которая расходится вблизи критической точки. Можно также выразить через , из чего можно получить скалирующий показатель для длины корреляции. На основе этих данных можно вычислить критерий Гинзбурга для верхней критической размерности, при которой теория Ландау среднего поля для модели Изинга (без учета корреляций дальнего действия) является обоснованной:
В нашей текущей модели Изинга теория Ландау среднего поля дает , и, следовательно, она действительна только для пространственных размерностей, больших или равных 4 (при граничных значениях в показатели вносятся небольшие поправки). Эта модифицированная версия теории Ландау среднего поля иногда также называется теорией Ландау — Гинзбурга фазовых переходов Изинга. Для уточнения, существует также теория Ландау — Гинзбурга, специфичная для фазовых переходов в сверхпроводниках, которая также учитывает флуктуации.