Кіріспе

логикалық жүйелердегі логикалық қорытындылау ережелері Логикада, егер берілген жүйенің теоремалар жиынтығы сол ережені қолданыстағы ережелерге қосқанда өзгермесе, онда ол ереже ресми жүйеде қабылданады. Яғни, сол ережені қолданып шығарылған кез келген формула, сол ережесіз де шығарылуға мүмкіндік береді, демек, белгілі бір жағдайда ол артық болып табылады. Қабылданатын ереже туралы ұғымды Пол Лорензен 1955 жылы енгізген.

Қабылдауға болатын ережелердің негіздері

L логика болсын. L логикасының R жиыны қабылданатын ережелердің негізі деп аталады, егер әрбір қабылданатын Γ/B ережесі R және L логикасының шығарылатын ережелерінен, алмастыру, құрастыру және әлсірету арқылы шығарыла алатын болса. Басқаша айтқанда, R негіз болып табылады, егер және тек егер ол қабылданатын ережелерді қамтитын және R-ді қамтитын ең кіші құрылымдық салдар қатынасы болса.

Шешілетін логиканың қабылданатын ережелерінің шешілуі рекурсивті (немесе рекурсивті санамаланған) негіздердің болуымен эквивалентті: бір жағынан, егер қабылдауға болатындық шешілсе, барлық қабылданатын ережелер жиыны рекурсивті негіз болып табылады. Екінші жағынан, қабылданатын ережелер жиыны әрқашан ко-рекурсивті санамаланған, және егер бізде рекурсивті санамаланған негіз болса, қабылданатын ережелер жиыны да рекурсивті санамаланған болады; демек, ол шешілетін болады. (Басқаша айтқанда, A/B-нің қабылдауға болатынын келесі алгоритммен анықтай аламыз: біз екі параллель іздеуді бастаймыз, біреуі A-ны біріктіретін, бірақ B-ді емес, алмастыру σ табу үшін, ал екіншісі R және L-дің шығарылатын ережелерінен A/B-нің шығарылуын табу үшін. Іздеулердің бірі сөзсіз жауап табуы керек.) Шешілетіндігінен басқа, қабылданатын ережелердің нақты негіздері кейбір қолданулар үшін пайдалы, мысалы, дәлелдеудің күрделілігін зерттеуде. Берілген логика үшін, оның қабылданатын ережелердің рекурсивті немесе шекті негізі бар ма және нақты негізді ұсынуға бола ма деп сұрауға болады. Егер логиканың шекті негізі болмаса, онда оның тәуелсіз негізі болуы мүмкін: R негізі, онда R-дің ешқандай тиісті ішкі жиыны негіз болып табылмайды. Жалпы алғанда, қалаулы қасиеттері бар негіздердің болуы туралы көп нәрсе айтуға болмайды. Мысалы, кестелік логика әдетте жақсы қасиеттерге ие және әрқашан шекті түрде аксиоматизацияланатын болса да, кестелік модальдық логикаларда шекті немесе тәуелсіз ережелердің негізі болмауы мүмкін. Шекті негіздер салыстырмалы түрде сирек кездеседі: тіпті негізгі транзитивті логикалар IPC, K4, S4, GL, Grz, олардың тәуелсіз негіздері болса да, қабылданатын ережелердің шекті негізіне ие емес.

Құрылымның толықтығы

Құрылымдық жағынан толық логикаларды жалпы жіктеу оңай шаруа емес, бірақ біз кейбір ерекше жағдайларды жақсы түсінеміз. Интуициялық логиканың өзі құрылымдық жағынан толық емес, бірақ оның фрагменттері әртүрліше танылуы мүмкін. Атап айтқанда, суперинтуиционистік логикада қабылданған кез келген дизъюнкциясыз ереже немесе импликациясыз ереже туынды болады. Екінші жағынан, Минт ережесі интуиционистік логикада қабылданады, бірақ туынды емес, және тек импликациялар мен дизъюнкцияларды қамтиды. Бізге максималды құрылымдық жағынан толық емес транзитивті логикалар белгілі. Логика, егер кез келген кеңейтуі құрылымдық жағынан толық болса, мұрагерлік бойынша толық деп аталады. Мысалы, классикалық логика, сондай-ақ жоғарыда аталған LC және Grz.3 логикалары мұрагерлік бойынша толық. Сыртынан толық суперинтуиционистік және транзитивті модальдық логиканың толық сипаттамасы тиісінше Циткин және Рыбаковпен берілген. Атап айтқанда, суперинтуиционистік логика мұрагерлік бойынша толық болады, егер және тек қана ол бес Крипке шеңберінің ешқайсысында жарамсыз болса, бірақ ол құрылымдық жағынан толық емес KC логикасына кірсе.