Кіріспе
Динамикалық жүйелер теориясы мен басқару теориясында, сызықтық уақыт инвариантты жүйе, егер ол асимптотикалық тұрақты да, тұрақсыз да болмаса, шекті тұрақты болып табылады. Жалпы айтқанда, жүйе тұрақты болып есептеледі, егер ол әрқашан белгілі бір күйге оралып, сол күйдің маңында қалады (бұл күй тұрақты күй деп аталады), ал тұрақсыз жүйе кез келген күйден шексіз алшақтап кетеді. Шекті тұрақтылыққа ие жүйе, кейде бейтарап тұрақтылық деп те аталады, осы екі жағдайдың арасында орналасады: ол орын ауыстырылғанда, ешқандай тұрақты күйге жақын қайта оралмайды, сонымен қатар бастапқы орнынан шексіз алшақтамайды. Шекті тұрақтылық, тұрақсыздық сияқты, басқару теориясының алдын алуға тырысатын қасиеті болып табылады; жүйе сыртқы күштің әсерінен бұзылған кезде, ол қалаған күйіне оралуын қалаймыз. Осы үшін тиісті бақылау алгоритмдерін қолдану қажет. Эконометрияда, бақылаудағы уақыт қатарларында бірлік түбірдің болуы, оларды шекті тұрақты етеді және тәуелсіз айнымалылардың тәуелді айнымалыға тигізетін әсері туралы бұрыс регрессия нәтижелеріне алып келуі мүмкін, егер жүйені тұрақты жүйеге түрлендіру үшін тиісті әдістер қолданылмаса.
In the theory of dynamical systems and control theory, a linear time invariant system is marginally stable if it is neither asymptotically stable nor unstable. Roughly speaking, a system is stable if it always returns to and stays near a particular state (called the steady state), and is unstable if it goes farther and farther away from any state, without being bounded. A marginal system, sometimes referred to as having neutral stability, is between these two types: when displaced, it does not return to near a common steady state, nor does it go away from where it started without limit. Marginal stability, like instability, is a feature that control theory seeks to avoid; we wish that, when perturbed by some external force, a system will return to a desired state. This necessitates the use of appropriately designed control algorithms. In econometrics, the presence of a unit root in observed time series, rendering them marginally stable, can lead to invalid regression results regarding effects of the independent variables upon a dependent variable, unless appropriate techniques are used to convert the system to a stable system.
Жалғаспалы уақыт
Біртекті үздік сызықтық уақыт инвариантты жүйесі тек қана жүйенің ауысу функциясының әрбір полюсінің (өздік мәні) нақты бөлігі оң емес болса, сондай-ақ бір немесе бірнеше полюсінде нақты бөлігі нөлге тең болса және нөлдік нақты бөлігі бар барлық полюстер жай түбірлер болса (яғни, жолғанат осьтегі полюстердің бәрі бір-бірінен өзгеше) шекті тұрақты болады. Ал, егер жүйенің барлық полюсінде қатаң теріс нақты бөліктері болса, онда жүйе асимптотикалық тұрақты болады. Егер жүйе тұрақты да, шекті тұрақты да болмаса, онда ол тұрақсыз болады. Егер жүйе күй кеңістігінде берілген болса, шекті тұрақтылықты Джорданның канондық түрін шығару арқылы талдауға болады: жүйе шекті тұрақты болады, тек қана нөлдік нақты бөлігі бар полюстерге сәйкес Джордан блоктары скалярлы болса.
Жүйенің жауабы
Шекті тұрақты жүйе – егер оған шекті мәнді импульс кіріс ретінде берілсе, ол «жарылып» шексіз шығыс бермейді, бірақ шығыс да нөлге қайта оралмайды. Шығыстағы шектелген ығысу немесе тербелістер шексіз сақталады, сондықтан көбінесе соңғы тұрақты күйдегі шығыс болмайды. Егер үздіксіз жүйеге полюсінің нақты бөлігі нөлге тең жиілікпен кіріс берілсе, жүйенің шығысы шексіз өседі (бұл таза резонанс деп аталады). Осы себепті, жүйенің BIBO тұрақты болуы үшін, полюстерінің нақты бөліктері қатаң теріс болуы керек (тек оң емес). Көпірлік полюстері бар үздіксіз жүйе, яғни полюстерде нақты бөлігі нөлге тең, шығыста тұрақты тербелістер тудырады. Мысалы, автомобильдің серіппелі жүйесі сияқты екінші реттік жүйе (масса-серіппе-демпфер жүйесі), онда демпфер алынып тасталған және серіппе идеалды, яғни үйкеліс жоқ, теория бойынша бір рет бұзылғаннан кейін мәңгілікке тербеледі. Тағы бір мысал – үйкеліссіз маятник. Бастауыш полюсі бар жүйе де шекті тұрақты, бірақ бұл жағдайда жауапта тербеліс болмайды, өйткені жолғары бөлігі де нөлге тең (jw = 0, яғни w = 0 рад/сек). Мұндай жүйенің мысалы – үйкеліс бар беттегі масса. Жанама импульс бергенде, масса қозғалады және ешқашан нөлге қайта оралмайды. Дегенмен, масса үйкеліс салдарынан тоқтасады, ал жанама қозғалыс шектелген болады. Шекаралық полюстердің орналасуы жүйеде шекті тұрақтылық болуы үшін, қиялданған осьте немесе бірлік шеңберде (үздіксіз және дискретті уақыт жүйелері үшін сәйкесінше) дәл болуы керек. Сондықтан, егер шекті тұрақтылық жүйенің ішкі теориялық ерекшелігі болмаса, мұндай жағдай практикада кездесуі сирек.
Стохастикалық динамика
Маргиналды тұрақтылық – стохастикалық динамика контекстінде де маңызды ұғым. Мысалы, кейбір процестер дискретті уақыт бойынша берілген кездейсоқ қозғалысты (random walk) ұстануы мүмкін:
мұнда – тәуелсіз және бірдей үлестірілген (i.i.d.) қателік термі. Бұл теңдеуде бірлік түбір бар (оның сипаттамалық теңдеуінің өзіндік мәні 1-ге тең), демек, ол маргиналды тұрақтылықты көрсетеді. Сондықтан, мұндай теңдеуді қамтитын жүйені эмпирикалық түрде модельдеу үшін арнайы уақыт қатарлары әдістерін қолдану қажет. Маргиналды тұрақты Марков процестері – нөлдік рекурренттік кластарға ие процестер.