Введение
Динамическая система, которая не является ни асимптотически устойчивой, ни неустойчивой.
В теории динамических систем и теории управления линейная стационарная система считается предельно устойчивой, если она не является ни асимптотически устойчивой, ни неустойчивой. Говоря упрощенно, система устойчива, если она всегда возвращается и остается вблизи определенного состояния (называемого стационарным состоянием), и неустойчива, если она удаляется все дальше и дальше от любого состояния, не имея ограничений. Маргинальная система, иногда называемая системой с нейтральной устойчивостью, находится между этими двумя типами: при отклонении она не возвращается вблизи какого-либо стационарного состояния и не удаляется бесконечно от начальной точки. Предельная устойчивость, как и неустойчивость, является характеристикой, которой стремятся избежать в теории управления; желательно, чтобы система, подвергшаяся внешнему воздействию, возвращалась в желаемое состояние. Это требует использования специально разработанных алгоритмов управления. В эконометрике наличие единичного корня во временном ряду, приводящее к его предельной устойчивости, может привести к неверным результатам регрессии относительно влияния независимых переменных на зависимую переменную, если не используются соответствующие методы для преобразования системы в устойчивую.
Непрерывное время
Однородная непрерывная линейная стационарная система является предельно устойчивой тогда и только тогда, когда действительная часть каждого полюса (собственного значения) в передаточной функции системы неположительна, один или несколько полюсов имеют нулевую действительную часть, и все полюсы с нулевой действительной частью являются простыми корнями (то есть полюсы на мнимой оси различны друг от друга). Напротив, если все полюсы имеют строго отрицательные действительные части, система является асимптотически устойчивой. Если система не является ни устойчивой, ни предельно устойчивой, она неустойчива. Если система представлена в пространстве состояний, предельную устойчивость можно проанализировать, приведя систему к жордановой нормальной форме: система предельно устойчива тогда и только тогда, когда жордановы блоки, соответствующие полюсам с нулевой действительной частью, являются скалярными.
Ответ системы
Маргинально устойчивая система – это система, которая, при подаче на вход импульса конечной величины, не выйдет за пределы конечных значений выходного сигнала, но и не вернется к нулю. Ограниченное смещение или колебания в выходном сигнале будут сохраняться неопределенно долго, и, следовательно, в общем случае не будет достигнуто установившееся конечное состояние. Если непрерывной системе подать входной сигнал с частотой, равной частоте полюса с нулевой действительной частью, выходной сигнал системы будет неограниченно возрастать (это явление известно как чистый резонанс). Это объясняет, почему для обеспечения BIBO-устойчивости системы действительные части полюсов должны быть строго отрицательными (а не просто неположительными). Непрерывная система, имеющая мнимые полюсы, то есть полюсы с нулевой действительной частью, будет генерировать устойчивые колебания в выходном сигнале. Например, незатухающая система второго порядка, такая как подвеска автомобиля (масса-пружина-демпфер), из которой удален демпфер и пружина является идеальной, то есть отсутствует трение, теоретически будет колебаться бесконечно после возмущения. Другой пример – маятник без трения. Система с полюсом в начале координат также является маргинально устойчивой, но в этом случае в отклике не будет колебаний, поскольку мнимая часть также равна нулю (jw = 0 означает w = 0 рад/с). Примером такой системы может служить масса на поверхности с трением. При приложении бокового импульса масса начнет двигаться и никогда не вернется в исходное положение. Однако масса остановится из-за трения, и боковое движение останется ограниченным. Поскольку для маргинальной устойчивости системы местоположение предельных полюсов должно точно соответствовать мнимой оси или единичной окружности (для систем непрерывного и дискретного времени соответственно), такая ситуация вряд ли возникнет на практике, если маргинальная устойчивость не является неотъемлемым теоретическим свойством системы.
Стохастическая динамика
Маргинальная стабильность также является важной концепцией в контексте стохастической динамики. Например, некоторые процессы могут следовать случайному блужданию, заданному в дискретном времени как
где – независимая и одинаково распределенная случайная ошибка. Это уравнение имеет единичный корень (значение 1 для собственного значения его характеристического уравнения) и, следовательно, демонстрирует маргинальную стабильность, поэтому для эмпирического моделирования системы, содержащей такое уравнение, необходимо использовать специальные методы анализа временных рядов. Маргинально стабильные марковские процессы – это процессы, обладающие нулевыми рекуррентными классами.