Кіріспе

Математикалық функция – комбинаторлық таңдау функциясы C(n, k).

Таңдау функциясы (селектор, таңдау) – математикалық f функциясы, ол бос емес жиынтықтардың X жиынында анықталған және осы жиындағы әрбір S жиынынан бір элементті f(S) арқылы S-ке бейнелейді; f(S) S жиынын S жиынының бір элементіне сәйкестендіреді. Басқаша айтқанда, f функциясы X үшін таңдау функциясы болады, егер және тек қана ол X жиынының тікелей көбеліміне жатса.

Мысал

Х = {{1,4,7}, {9}, {2,7}} болсын. Онда f функциясы f({1, 4, 7}) = 7, f({9}) = 9 және f({2, 7}) = 2 арқылы анықталса, ол X жиынындағы таңдау функциясы болады.

Тарих және маңызы

Эрнст Зермело (1904) таңдау функцияларын, сондай-ақ таңдау аксиомасын (АК) енгізді және кез келген жиынды жақсы реттеуге болатынын көрсететін жақсы реттеу теоремасын дәлелдеді. АК бойынша, бос емес жиынтардың кез келген жиынында таңдау функциясы болады. АК-ның әлсіз түрі – саналатын таңдау аксиомасы (ACω) – бос емес жиынтардың саналатын кез келген жиынында таңдау функциясы бар екенін айтады. Дегенмен, АК немесе ACω болмаған жағдайда, кейбір жиындардың таңдау функциясы бар екенін көрсетуге болады. Егер бос емес жиынтардың шекті жиыны болса, онда -ның әрбір мүшесінен бір элементті таңдап, үшін таңдау функциясын құрастыруға болады. Бұл үшін тек шекті санда ғана таңдау қажет, сондықтан АК немесе ACω қажет емес. Егер -ның әрбір мүшесі бос емес жиын болса, ал жиыны жақсы реттелген болса, онда -ның әрбір мүшесінен ең кіші элементті таңдауға болады. Бұл жағдайда, жиынының біріктірілісінің жақсы ретін бір рет таңдау арқылы -ның барлық мүшелерін бір уақытта жақсы реттеуге мүмкіндік туады, сондықтан АК немесе ACω қажет емес. (Бұл мысал жақсы реттеу теоремасы АК-ны білдіреді. Керісі де дұрыс, бірақ оны дәлелдеу қиынырақ.)

Бурбаки тау функциясы

Николас Бурбаки өздерінің негіздері үшін епсилондық есептеуді қолданды, онда берілген қағиданы қанағаттандыратын объектіні (егер мұндай объекті болса) таңдауға болатын символ болды. Демек, егер P – қағида болса, онда εP – P қағидасын қанағаттандыратын нақты бір объекті (егер мұндай объекті болса, болмаса кез келген объектіні қайтарады). Сондықтан таңдау функциясынан кванторларды алуға болады, мысалы, ∀xP(x) эквивалентті болады εxP(x). Алайда, Бурбакидің таңдау операторы қалыптыдан күштірек: ол жаһандық таңдау операторы. Яғни, ол жаһандық таңдау аксиомасын білдіреді. Гилберт осыны эпсилондық есептеуді енгізген кезде түсінген.