Кіріспе

Бейресми жиындық теориялар

Наивтік жиындық теориясы – математика негіздерін талқылауда қолданылатын жиындықтардың бірнеше теориясының бірі. Аксиоматикалық жиындық теориялардан, формалды логика қолданылып анықталатындардан өзгеше, наивтік жиындық теориясы бейресми түрде, қарапайым тілмен сипатталады. Ол дискретті математикадағы жиындықтардың таныс аспектілерін (мысалы, Венн диаграммалары және олардың Буль алгебрасы туралы логикалық ой-пікірлер) көрсетеді және қазіргі математикада жиындық теориясы ұғымдарын күнделікті қолдану үшін жеткілікті. Жинақтар математикада маңызды рөл атқарады; қазіргі заманғы формалды қарастыруларда көптеген математикалық объектілер (сандар, қатынастар, функциялар және т.б.) жиындықтар арқылы анықталады. Наивтік жиындық теориясы көптеген жағдайларда қолдануға жарамды, сонымен қатар формалды теорияларға көшуге көмектеседі.

Әдіс

Наив теория, "наивтік жиын теориясы" мағынасында, формальдалмаған теория, яғни жиындар мен оларға жасалатын амалдарды сипаттау үшін табиғи тілді қолданатын теория. Мұндай теория жиындарды платондық абсолютті объектілер ретінде қарастырады. "Және", "немесе", "егер...дегенмен", "біреуі үшін", "әрқайсысы үшін" сөздері қалыпты математикада қолданылатындай қолданылады. Ыңғайлылық үшін, наивтік жиын теориясы мен оның формализмі жоғары математикада да, тіпті жиын теориясының өзінің формалды тұжырымдамаларында да кеңінен қолданылады. Жиын теориясының алғашқы дамуы – наивтік жиын теориясы болды. Оны 19 ғасырдың соңында Георг Кантор шексіз жиындарды зерттеу барысында жасады, ал Готтлоб Фреге "Grundgesetze der Arithmetik" еңбегінде оны дамытты. Наивтік жиын теориясы бірнеше өте ерекше ұғымдарды білдіруі мүмкін. Ол аксиоматикалық жиын теориясының бейресми баяндалуына, мысалы, Пол Халмостың "Наивтік жиын теориясы" кітабындағыдай. Георг Кантордың теориясының ерте немесе кейінгі нұсқалары және басқа бейресми жүйелер. Расселдің парадоксына әкелген Готтлоб Фреге теориясы, сондай-ақ Джузеппе Пеано мен Ричард Дедекиндтің теориялары сияқты, (аксиоматикалық немесе олай болмаған) өзара қайшылыққа түсетін теориялар.

Парадокстер

Кез келген мүлікті шектеусіз жиын құру үшін пайдалану туралы болжам парадоксқа алып келеді. Рассел парадоксының кең таралған мысалы: "өзін-өзі қамтымайтын барлық жиындардан тұратын" жиын жоқ. Сондықтан, наивтік жиын теориясының дұрыс жүйелері жиындарды құруға қолданылатын қағидаларға белгілі бір шектеулер қоюы керек.

Кантор теориясы

Кейбіреулер Георг Кантордың көпшіліктер теориясының көпшілік теориялық парадокстарға тікелей қатысы болмағанын айтады (Frápolli 1991 қараңыз). Мұны нақты анықтаудың қиындығы Кантор жүйесін аксиоматизацияламағандығында. 1899 жылға қарай Кантор өз теориясының шектеусіз түсіндірілуінен туындаған кейбір парадокстарды, мысалы Кантор парадоксын және Бурали-Форти парадоксын білген, бірақ олар оның теориясын жоққа шығарады деп ойлаған жоқ. Кантор парадоксын жоғарыдағы (бұрыс) болжамнан – кез келген қасиет P(x) жиын құру үшін қолданылуы мүмкін дегеннен – шығаруға болады, P(x) үшін "x – кардинал сан" дегенді пайдалану арқылы. Фреге наївтік көпшіліктер теориясының формалды нұсқасы түсіндірілетін теорияны нақты аксиомалармен жазды, ал Бертран Рассел өз парадоксын ұсынғанда осы формалды теорияны қарастырды, Кантордың, еске сала кетейік, бірнеше парадокстан хабардар болған теориясын емес.

Аксиомалық теориялар

Аксиомалық жиын теориясы жиынды түсінуге жасалған осы алғашқы тырастың нәтижесінде пайда болды, мақсаты – қандай амалдарға рұқсат етілетінін және қашан рұқсат етілетінін нақты анықтау болды.

Бірқалыптылық

Наивтік жиынтықтар теориясы, егер ол қарастырылатын жиынтықтарды дұрыс анықтаса, міндетті түрде қайшылыққа ұшырамайды. Бұл, аксиомалардың жасырын түрі болатын анықтамалар арқылы іске асырылуы мүмкін. Барлық аксиомаларды ашық түрде жазуға болады, мысалы, Хальмостың «Наивтік жиынтықтар теориясы» кітабында, ол шындығында әдеттегі аксиомалық Зермело-Франкель жиынтықтар теориясының бейресми түсіндірілуі. Ол «наивтік» деп аталады, себебі оның тілі мен белгілері қалыпты бейресми математикаға тән, және ол аксиомалар жүйесінің дәйектілігі мен толықтығымен айналыспайды. Сол сияқты, аксиомалық жиынтықтар теориясы да міндетті түрде дәйекті болуы керек емес: ол міндетті түрде парадокстардан бос болуы керек емес. Гёдельдің толық еместік теоремаларынан, жеткілікті күрделі бірінші реттік логикалық жүйе (оның ішінде көптеген таралған аксиомалық жиынтықтар теориялары) теорияның өзінің ішінде дәйекті екенін дәлелдеуге болмайды – тіпті ол шындығында дәйекті болса да. Дегенмен, кең таралған аксиомалық жүйелердің дәйекті деп есептелуі мүмкін; олардың аксиомалары Расселдің парадоксы сияқты кейбір парадокстарды жоққа шығарады. Гёдельдің теоремасына сүйене отырып, осы теорияларда немесе кез келген бірінші реттік жиынтықтар теориясында парадокстардың жоқтығы әзірге белгісіз және болашақта да белгілі болмайды. «Наивтік жиынтықтар теориясы» термині кейбір әдебиеттерде бүгінгі таңға дейін Фреге мен Кантор зерттеген жиынтықтар теориясын білдіру үшін қолданылады, қазіргі заманғы аксиомалық жиынтықтар теориясының бейресми нұсқаларын емес.

Пайдалылығы

Аксиоматикалық тәсіл мен басқа тәсілдердің арасындағы таңдау көбінесе ыңғайлылық мәселесі болып табылады. Күнделікті математикада ең қолайлысы аксиоматикалық жиын теориясын бейресми түрде қолдану болуы мүмкін. Нақты аксиомаларға сілтеме жасау әдетте дәстүр талап еткен жағдайда ғана кездеседі, мысалы, таңдау аксиомасы қолданылған кезде жиі айтылады. Сол сияқты, формалды дәлелдемелер тек ерекше жағдайларда ғана қажет болады. Аксиоматикалық жиын теориясын осылай бейресми қолдану (нотацияға байланысты) төменде сипатталғандай наив жиын теориясының өзіне ұқсас болуы мүмкін. Мұндай тәсілді оқу және жазу (көптеген мәлімдемелерді, дәлелдемелерді және талқылау бағыттарын жазуда) әлдеқайда оңай және қатаң формалды тәсілге қарағанда қателер жасау ықтималдығы төмен.

Жинақтар, мүшелік және теңдік

Наивтік жиынтық теориясында жиынтық – бұл жақсы анықталған нысандардың жиыны ретінде сипатталады. Бұл нысандар жиынның элементтері немесе мүшелері деп аталады. Нысандар кез келген нәрсе болуы мүмкін: сандар, адамдар, басқа жиынтықтар және т.б. Мысалы, 4 – барлық жұп бүтін сандар жиынының мүшесі. Жұп сандар жиыны шексіз үлкен екені анық; жиынның шекті болуы міндетті емес. Жинақтардың анықтамасы Георг Канторға қатысты. Ол 1915 жылы жазған «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» мақаласында былай деп жазды:

“Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.” – Georg Cantor
“Жиынтық – біздің сезіміміздің немесе ойымыздың нақты, ерекше нысандарының біртұтас жиынтығы, олар жиынтықтың элементтері деп аталады.” – Георг Кантор.

Тұтастығы туралы ескерту

Бұл анықтамадан жиынтықтың қалай құрылатыны және жиынтықтарда қандай амалдар жасалатыны белгілі болмайды. "Объектілердің дұрыс анықталған жиынтығындағы" "дұрыс анықталған" термині өзі жиынтықты құрайтын және құрамайтын нәрсенің дәйектілігі мен бірмәнділігіне кепілдік бере алмайды. Мұны іске асыруға тырысу аксиоматикалық жиынтық теориясы немесе аксиоматикалық сынып теориясының құзыретіне жатады. Бұл контексте, ешқандай нақты аксиоматикалық теориядан (және оның салдарынан) туындамаған, бейресми түрде қалыптастырылған жиынтық теорияларының мәселесі – әртүрлі жиынтықтар мен жаңа жиынтықтардың қалай құрылатыны туралы әртүрлі ережелері бар, көптеген формальданған нұсқалардың болуы мүмкін, олардың барлығы бастапқы бейресми анықтамаға сәйкес келеді. Мысалы, Кантордың нақты анықтамасы жиынтықты құрайтын нәрседе үлкен еркіндікке мүмкіндік береді. Екінші жағынан, Кантордың мысықтар мен итті қамтитын жиынтықтарға қызығушылығы болмаған, оның қызығушылығы тек математикалық объектілерді қамтитын жиынтықтарға ғана болған. Мұндай жиынтықтар класының мысалы – фон Нейман ғаламы. Бірақ қарастырылып отырған жиынтықтар класын белгілеген кезде де, парадокстарға жол бермей, жиынтықтарды құрудың қандай ережелеріне рұқсат етілетіні әрдайым анық емес. Төмендегі талқылауды нақтылау үшін "дұрыс анықталған" термині оның орнына, дәйектілікке қарсы келетін жағдайларды жоюға бағытталған, жасырын немесе ашық ережелермен (аксиомалар немесе анықтамалар) ниет ретінде түсіндірілуі керек. Мақсаты – жиі терең және қиын дәйектілік мәселелерін әдетте қарапайым контекстен алшақтату. Аксиоматикалық жиынтық теориясы үшін барлық мүмкін дәйектіліксіздіктерді (парадокстарды) нақты жою Гёдельдің екінші толық еместік теоремасына байланысты мүмкін емес, сондықтан бұл төменде қарастырылатын қарапайым жағдайларда аксиоматикалық жиынтық теориясына қарағанда нақты жиынтық теориясының пайдалылығына кедергі келтірмейді. Бұл тек талқылауды жеңілдетеді. Дәйектілік бұдан былай, егер нақты айтылмаса, берілген деп есептеледі.

Мүшелік

Егер x жиынтық A-ның мүшесі болса, онда x жиынтық A-ға қатысты немесе x жиынтық A-да дегенмен де айтылады. Бұл x ∈ A арқылы белгіленеді. ∈ символы – грек әрпі епсилонның (ε) кіші әрпінен шығарылған, оны 1889 жылы Джузеппе Пеано енгізген, және ол "болады" деген мағына беретін ἐστί сөзінің бірінші әрпі. x ∉ A символы көбінесе "x жиынтық A-да жоқ" деп жазу үшін қолданылады.

Теңдік

A және B жиындары бірдей элементтерге ие болғанда тең деп анықталады, яғни A жиынының әрбір элементі B жиынында болса және B жиынының әрбір элементі A жиынында болса. (Экстенсиалдық аксиоманы қараңыз.) Осылайша, жиын өз элементтерімен толық анықталады; оның сипаттамасы маңызсыз. Мысалы, 2, 3 және 5 элементтерінен тұратын жиын, 6-дан кіші барлық жай сандар жиынымен тең. Егер A және B жиындары тең болса, бұл A = B (көбінесе) деп символдық түрде белгіленеді.

Бос жиынтық

Бос жиын, деп немесе деп белгіленеді, мүшелері жоқ жиын. Жиын өзінің элементтерімен толық анықталатындықтан, тек бір ғана бос жиын болуы мүмкін. (Бос жиын аксиомасын қараңыз.) Бос жиынның мүшелері болмаса да, ол басқа жиынның мүшесі бола алады. Мысалы, , себебі біріншісінде мүшелер жоқ, ал екіншісінде бір мүше бар.