Кіріспе
Жинақтар теориясының аксиомасы
In mathematics, the axiom of regularity (also known as the axiom of foundation) is an axiom of Zermelo–Fraenkel set theory that states that every non empty set A contains an element that is disjoint from A. In first order logic, the axiom reads:
The axiom of regularity together with the axiom of pairing implies that no set is an element of itself, and that there is no infinite sequence (an) such that ai+1 is an element of ai for all i. With the axiom of dependent choice (which is a weakened form of the axiom of choice), this result can be reversed: if there are no such infinite sequences, then the axiom of regularity is true. Hence, in this context the axiom of regularity is equivalent to the sentence that there are no downward infinite membership chains. The axiom is the contribution of ; it was adopted in a formulation closer to the one found in contemporary textbooks by Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of However, regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well ordered sets but also on proper classes that are well founded relational structures such as the lexicographical ordering on
Given the other axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction. The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent. In addition to omitting the axiom of regularity, non standard set theories have indeed postulated the existence of sets that are elements of themselves.
Математикада, реттелу аксиомасы (сондай-ақ негіз аксиомасы деп белгілі) – Зермело-Франкель жинақтар теориясының аксиомасы, ол әрбір бос емес жинақтың А жинағында А жинағынан бөлек элемент болатынын күйеді. Бірінші реттік логикада аксиома былай оқылады:
In mathematics, the axiom of regularity (also known as the axiom of foundation) is an axiom of Zermelo–Fraenkel set theory that states that every non empty set A contains an element that is disjoint from A. In first order logic, the axiom reads:
The axiom of regularity together with the axiom of pairing implies that no set is an element of itself, and that there is no infinite sequence (an) such that ai+1 is an element of ai for all i. With the axiom of dependent choice (which is a weakened form of the axiom of choice), this result can be reversed: if there are no such infinite sequences, then the axiom of regularity is true. Hence, in this context the axiom of regularity is equivalent to the sentence that there are no downward infinite membership chains. The axiom is the contribution of ; it was adopted in a formulation closer to the one found in contemporary textbooks by Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of However, regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well ordered sets but also on proper classes that are well founded relational structures such as the lexicographical ordering on
Given the other axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction. The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent. In addition to omitting the axiom of regularity, non standard set theories have indeed postulated the existence of sets that are elements of themselves.
Реттелу аксиомасы жұптасу аксиомасымен бірге ешбір жинақтың өзінің мүшесі емес екенін, және ai+1 барлық i үшін ai мүшесі болатын (an) шексіз тізбек жоқ екенін білдіреді. Тәуелді таңдау аксиомасымен (таңдау аксиомасының әлсіретілген түрі) бұл нәтижені кері қайтаруға болады: егер мұндай шексіз тізбектер болмаса, онда реттелу аксиомасы дұрыс. Сондықтан, осы контексте реттелу аксиомасы төмен қарай шексіз мүшелік тізбектерінің жоқтығына тең. Аксиоманың авторы; ол қазіргі оқулықтардағыдан жақын түрінде қабылданды. Математиканың жинақтар теориясына негізделген салаларындағы барлық нәтижелер, тіпті реттелу болмаған жағдайда да жарамды; мысалы, қараңыз. Дегенмен, реттелу ординалдардың кейбір қасиеттерін дәлелдеуді жеңілдетеді; және ол жақсы реттелген жинақтарға ғана емес, сонымен қатар лексикографиялық реттелу сияқты жақсы негізделген реляциялық құрылымдарға негізделген кластарға да индукция жасауға мүмкіндік береді. Зермело-Франкель жинақтар теориясының басқа аксиомаларымен берілгенде, реттелу аксиомасы индукция аксиомасына тең. Индукция аксиомасы интуиционистік теорияларда (қабылданбаған үшіншінің заңы бар теориялар) реттелу аксиомасының орнына қолданылады, онда екі аксиома тең емес. Реттелу аксиомасын жоюдан басқа, стандартты емес жинақтар теориялары өзінің мүшесі болатын жинақтардың бар екенін постулаттады.
In mathematics, the axiom of regularity (also known as the axiom of foundation) is an axiom of Zermelo–Fraenkel set theory that states that every non empty set A contains an element that is disjoint from A. In first order logic, the axiom reads:
The axiom of regularity together with the axiom of pairing implies that no set is an element of itself, and that there is no infinite sequence (an) such that ai+1 is an element of ai for all i. With the axiom of dependent choice (which is a weakened form of the axiom of choice), this result can be reversed: if there are no such infinite sequences, then the axiom of regularity is true. Hence, in this context the axiom of regularity is equivalent to the sentence that there are no downward infinite membership chains. The axiom is the contribution of ; it was adopted in a formulation closer to the one found in contemporary textbooks by Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of However, regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well ordered sets but also on proper classes that are well founded relational structures such as the lexicographical ordering on
Given the other axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction. The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent. In addition to omitting the axiom of regularity, non standard set theories have indeed postulated the existence of sets that are elements of themselves.
Жинақтың өзі элемент емес
A жиыны болсын, және жұптасу аксиомасы бойынша жиын болатын {A} жиынына реттелу аксиомасын қолданайық. {A} жиынында {A} жиынынан бөлек элемент болуы керек екенін көреміз. {A} жиынының жалғыз ғана мүшесі A болғандықтан, A жиыны {A} жиынынан бөлек болуы тиіс. Осылайша, A ∈ A болуы мүмкін емес (бөлек болудың анықтамасы бойынша).
Жинақтардың шексіз төмендеу кезегі жоқ
Керісінше, f функциясы бар деп есептейік, мұнда әр n үшін f(n+1) саны f(n) санының ішінде жатыр. S = {f(n): n – натурал сан} деп анықтайық, бұл f функциясының мәндер жиыны, және оны ауыстыру аксиомалық схемасы бойынша жиын ретінде қарастыруға болады. S-ке реттелу аксиомасын қолданып, S жиынынан бөлек болатын B элементін табайық. S-тің анықтамасы бойынша, B саны қандай да бір k натурал саны үшін f(k) саны болуы керек. Дегенмен, f(k) санының құрамында f(k+1) саны бар, ол да S жиынының элементі болып табылады. Олай болса, f(k+1) саны f(k) және S жиындарының қиылысында жатыр. Бұл олардың бөлек жиындар екендігіне қайшы келеді. Біздің есептеуіміз қайшылыққа әкелгендіктен, мұндай f функциясы болмауы керек.
Өзін қамтитын жиынның болмауы – тізбек шексіз және тұрақты болатын ерекше жағдай ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл аргумент тек жиын ретінде бейнеленетін f функцияларына ғана қатысты екенін ескеру қажет, анықталмаған кластарға емес. Мұрагерлік бойынша шекті жиындар, Vω, реттелу аксиомасын (және шексіздік аксиомасынан басқа ZFC-нің барлық аксиомаларын) қанағаттандырады. Егер Vω-ның тривиальды емес ультракүші құрылса, онда ол да реттелу аксиомасын қанағаттандырады. Нәтижесінде пайда болған модельде стандартты емес натурал сандар деп аталатын элементтер болады, олар сол модельдегі натурал сандардың анықтамасын қанағаттандырады, бірақ шын мәнінде натурал сандар емес. Олар кез келген нақты натурал саннан "үлкен" "жалған" натурал сандар. Бұл модель элементтердің шексіз төмендеу тізбектерін қамтиды. Мысалы, егер n – стандартты емес натурал сан болса, онда және т.с.с. Кез келген нақты k натурал саны үшін, бұл элементтердің шексіз төмендеу тізбегі болады. Бірақ бұл тізбек модельде анықталмайды, сондықтан жиын емес. Осылайша, реттелуге қайшы келетінін дәлелдеу мүмкін емес.
Реттелген жұптың қарапайым жинақ-теориялық анықтамасы
Қалыптылық аксиомасы (a,b) реттелген жұбын {a,{a,b} түрінде анықтауға мүмкіндік береді; толық мәліметтер үшін реттелген жұпты қараңыз. Бұл анықтама Куратовскийдің каноникалық анықтамасынан – (a,b) = {a},{a,b} – бір жұп жақшаны жояды.
Әр топтың реттік дәрежесі бар
Бұл фон Нейманның аксиомалық тұжырымдамасындағы аксиоманың түпкілікті түрі болды. x кез келген жиын болсын. t – {x} жиынының транзитивті жабылуы болсын. u – t жиынының дәрежесі жоқ жиындарынан тұратын ішкі жиыны болсын. Егер u бос болса, онда x дәрежеленген және мәселе шешілді. Әйтпесе, u-ға ретсіздік аксиомасын қолданып, u-дан бөлек w элементін табыңыз. w, u жиынында болғандықтан, дәрежесі жоқ. w, транзитивті жабылудың анықтамасы бойынша t жиынының ішкі жиыны болып табылады. w, u-дан бөлек болғандықтан, w жиынының әрбір элементі дәрежеленген. w элементтерінің дәрежелерін біріктіру үшін алмастыру және біріктіру аксиомаларын қолданып, w үшін реттік дәреже аламыз, яғни, бұл w дәрежесі жоқ деген қорытындыға қайшы келеді. Демек, u бос емес деген болжам қате болуы керек, ал x-тің дәрежесі болуы керек.
Әр екі жиынның тек біреуі екіншісінің элементі бола алады
X және Y жиындары болсын. Содан кейін, жұптық аксиома бойынша бар {X, Y} жиынына реттелу аксиомасын қолданамыз. {X, Y} жиынында одан бөлек элементі бар екенін көреміз. Бұл элемент X немесе Y болуы керек. Бөлінгендіктің анықтамасы бойынша, Y, X-тің мүшесі емес немесе керісінше болуы керек.
Тәуелді таңдау аксиомасы және ұжымдардың шексіз төмендеу тізбегі тұрақтылықты білдіреді
Бос емес жиын S реттелу аксиомасына қарсы мысал болсын; яғни, S-тің әрбір элементе S-пен бос емес қиылысы бар. Біз S-де R екілік қатынасын былай анықтаймыз, ол тұтас деп есептеледі. Осылайша, тәуелді таңдау аксиомасы бойынша, S-те барлық n үшін anRan+1 шартын қанағаттандыратын (an) тізбегі бар. Бұл шексіз төмендейтін тізбек болғандықтан, біз қайшылыққа жетеміз, демек, мұндай S жиыны жоқ.
Қалыптылық және басқа ZF ((C) аксиомалары
Қалыптылық ZF-нің қалған бөлігімен салыстырмалы түрде үйлесімді екені көрсетілді және , яғни егер қалыптылықсыз ZF үйлесімді болса, онда қалыптылықпен ZF да үйлесімді болады. Қазіргі заманғы белгілеудегі дәлел үшін, мысалы, қараңыз. Қалыптылық аксиомасы ZF(C) аксиомаларынан тәуелсіз екені де дәлелденді, егер олар үйлесімді болса. Бұл нәтижені Пол Бернейс 1941 жылы хабарлады, бірақ ол 1954 жылға дейін дәлел жарияламады. Дәлелдеуде Ригер-Берней пермутациялық модельдері (немесе әдісі) қолданылды (және олардың зерттелуіне әкелді), бұл модельдер жақсы негізделмеген жүйелер үшін тәуелсіздікті дәлелдеуде де пайдаланылды (және).
Тұрақтылық және Расселдің парадоксы
Наивтік жиын теориясы (шетелсіз түсініктің аксиомалық схемасы және экстенсионалдылық аксиомасы) Расселдің парадоксының салдарынан дұрыс емес. Жиынтардың алғашқы формалдауларында математиктер мен логиктер осы қайшылықтан аулақ болу үшін түсініктің аксиомалық схемасын ажыратудың әлдеқайда әлсіз аксиомалық схемасымен алмастырды. Дегенмен, бұл қадам ғана жиынтар теорияларына жеткізеді, олар тым әлсіз деп есептеледі. Сондықтан түсініктің күші ZF жиынтар теориясының басқа да барлыққа қатысты аксиомалары арқылы қайта қосылды (жұптау, біріктіру, қуат жиыны, алмастыру және шексіздік), оларды түсініктің ерекше жағдайлары деп қарастыруға болады. Қазірге дейін бұл аксиомалар ешқандай қайшылыққа алып келген жоқ. Кейіннен, жағымсыз қасиеттері бар модельдерді жою үшін таңдау аксиомасы мен реттелу аксиомасы қосылды. Бұл екі аксиоманың салыстырмалы түрде дұрыс екені белгілі. Ажырату аксиомалық схемасы болғанда, Расселдің парадоксы барлық жиындардың жиынының жоқ екендігін көрсетеді. Реттелу аксиомасы жұптау аксиомасымен бірге осындай әмбебап жиынды да тыйым салады. Алайда, Расселдің парадоксы ешқандай қосымша аксиомаларсыз, тек ажыратудың аксиомалық схемасын қолдана отырып, "барлық жиындардың жиыны" жоқ екендігін дәлелдейді. Әсіресе, ZF реттелу аксиомасы болмаса, мұндай әмбебап жиынды тыйым салады. Егер теория аксиоманы немесе аксиомаларды қосу арқылы кеңейтілсе, бастапқы теорияның кез келген (мүмкін, жағымсыз) салдары кеңейтілген теорияның салдары болып қалады. Атап айтқанда, егер ZF реттелу аксиомасы болмаса, ZF алу үшін реттелуді қосу арқылы кеңейтілсе, бастапқы теориядан туындаған кез келген қайшылық (мысалы, Расселдің парадоксы) кеңейтілген теорияда да сақталады. Куин атомдарының болуы (x = {x} формуласына сәйкес жиындар, яғни олардың жалғыз элементтері ретінде өздері бар) ZFC-ден реттелу аксиомасын алып тастау арқылы алынған теориямен үйлесімді. Расселдің парадоксының көмегімен үйлесімсіз болмай, Куин атомдары сияқты "қауіпсіз" дөңгелек жиындарға рұқсат беретін әртүрлі негізсіз жиынтар теориялары бар.
Тарих
Дмитрий Мириманов (1917) жақсы негізделгендік және жиынтықтың рангысы ұғымдарын енгізді. Мириманов x жиынтығын "регулярлы" (французша: "ordinaire") деп атады, егер әрбір төмендейтін тізбек x ∋ x1 ∋ x2 ∋ ... шекті болса. Алайда Мириманов өзінің регулярлылық (және жақсы негізделгендік) түсінігін барлық жиынтықтар сақтауы тиіс аксиома ретінде қарастырмады; кейінгі еңбектерінде Мириманов қазір жақсы негізделмеген жиынтықтар деп аталатын нәрсені ("extraordinaire" Мириманов терминологиясында) зерттеді және жақсы негізделмеген жиынтықтардың артық екенін көрсетті (ван Хейеноорттың аудармасындағы 404-бетте) және сол басылымда фон Нейман жақсы негізделмеген жиынтықтардың барлығын емес, тек кейбіреулерін жоққа шығаратын аксиома берді (аудармадағы 412-бетте). Кейінгі басылымда, сынып негізінің аксиомасының эквивалентті, бірақ күрделі нұсқасы келтірілді, қараңыз және: Аксиоманың қазіргі және соңғы түріне тиесілі.
The contemporary and final form of the axiom is due to .
Урелементтердің тұрақтылығы
Urelements – жиын емес, бірақ жиынның элементі бола алатын объектілер. ZF жиын теориясында урелементтер жоқ, бірақ ZFA сияқты басқа жиын теорияларында бар. Бұл теорияларда реттелу аксиомасы өзгертілуі керек. "" деген тұжырым бос емес және урелемент емес деген тұжырыммен алмастырылуы тиіс. Сәйкес алмастырудың бір мысалы – , ол x толтырылған дегенді білдіреді.