Шеңберлердің өлшемі және математикалық түсініктер

Кіріспе

Шексіз жиынның мүмкін болатын мөлшері – математикалық ұғым.

Математикада кардинал сан, немесе қысқаша кардинал – жиынның элементтерінің саны деп аталады. Сондықтан, шекті жиын үшін оның кардинал саны немесе кардиналдығы – табиғи сан болып табылады. Шексіз жиындармен жұмыс істеу үшін шексіз кардинал сандары енгізілген, олар көбінесе еврей әрпі (алеф) арқылы, шексіз кардиналдар арасындағы олардың орнын көрсететін төмен индекспен белгіленеді. Кардиналдылық биективті функциялар арқылы анықталады. Екі жиынның элементтері арасында біржақты сәйкестік (биекция) болса және тек сонда ғана, олардың кардиналдығы бірдей болады. Шекті жиындар үшін бұл элементтер санының интуитивті түсінігімен сәйкес келеді. Шексіз жиындар үшін мінез-құлық күрделірек. Георг Кантордың негізгі теоремасы шексіз жиындардың әртүрлі кардиналдыққа ие болуы мүмкін екенін көрсетеді, және нақты сандар жиынының кардиналдығы табиғи сандар жиынының кардиналдығынан үлкен. Сондай-ақ, шексіз жиынның нақты қосалқы жиыны бастапқы жиынмен бірдей кардиналдыққа ие болуы мүмкін – бұл шекті жиынның нақты қосалқы жиындары үшін мүмкін емес. Кардинал сандардың трансфиниттік тізбегі бар:

Бұл тізбек нөлді қоса алғанда, табиғи сандардан (шекті кардиналдар) басталады, одан кейін алеф сандары келеді. Алеф сандары реттік сандармен индексирленеді. Егер таңдау аксиомасы дұрыс болса, онда бұл трансфиниттік тізбекте әрбір кардинал сан бар. Егер таңдау аксиомасы дұрыс болмаса (қараңыз), онда алеф сандары емес, шексіз кардиналдар бар. Кардиналдылық жиын теориясының бір бөлігі ретінде өздігінен зерттеледі. Бұл сонымен қатар математиканың модельдер теориясы, комбинаторика, абстрактілі алгебра және математикалық талдау сияқты салаларында қолданылатын құрал. Категориялар теориясында кардинал сандар жиындар санатының қаңқасын құрайды.

Ресми анықтама

Формальды түрде, таңдау аксиомасын қабылдасақ, X жиынының кардиналдығы – X пен α арасында биекция болатын ең кіші ординарлық сан α болып табылады. Бұл анықтама фон Нейманның кардиналдық сәйкестендіруі деп аталады. Егер таңдау аксиомасы қабылданбаса, онда басқа тәсіл қажет. X жиынының кардиналдығының ең көне анықтамасы (Канторда түсіндірілген, ал Фреге мен Principia Mathematica-да нақты көрсетілген) – X-пен тең санды жиындардың [X] класы. Бұл ZFC немесе аксиоматикалық жиын теориясының басқа да жүйелерінде қолданылмайды, себебі егер X бос емес болса, бұл жиын жиын болу үшін тым үлкен. Шындығында, X ≠ ∅ үшін, әлемнен [X] жиынына m жиынын {m} × X сәйкестендіру арқылы инъекция бар, сондықтан өлшемді шектеу аксиомасы бойынша [X] – бұл дұрыс класс. Дегенмен, бұл анықтама типтер теориясында және New Foundations және оған байланысты жүйелерде жұмыс істейді. Бірақ, егер осы классты X-пен тең санды және ең төменгі рангі бар жиындармен шектелген болса, онда ол жұмыс істейді (бұл Дана Скотттың хитролығы: ол жұмыс істейді, өйткені кез келген рангі бар объектілердің жиыны жиын болып табылады). Фон Нейманның кардиналдық сәйкестендіруі шекті жиынның кардиналдық саны – осы жиынның барлық мүмкін жақсы реттелгендерінің ортақ ординарлық саны екенін көрсетеді, ал кардиналдық және ординарлық арифметика (қосу, көбейту, дәрежелеу, дұрыс алу) шекті сандар үшін бірдей нәтижелер береді. Бірақ, олар шексіз сандар үшін өзгеше. Мысалы, ординарлық арифметикада, ал кардиналдық арифметикада, фон Нейман сәйкестендіруі 0-ге ординарлық сан 0-ді тағайындайды, бұл сонымен қатар ординарлық сан 1 болып табылады, бұл шатастыруға алып келуі мүмкін. Мүмкін болатын компромисс (шектелген арифметикадағы үйлесімділікті пайдаланып, таңдау аксиомасына және шексіз арифметикадағы шатасуға тәуелділіктен аулақ болу үшін) – фон Нейман сәйкестендіруін шекті жиындардың кардиналдық санына (жақсы реттелген және тиісті кіші жиынға тең емес) қолдану және Скотттың хитролығын басқа жиындардың кардиналдық санына қолдану. Формальды түрде, кардиналдық сандар арасындағы рет былай анықталады: |X| ≤ |Y| егер X-тен Y-ге инъективті функция болса. Кантор–Бернштейн–Шрёдер теоремасы былай гластейды: егер |X| ≤ |Y| және |Y| ≤ |X| болса, онда |X| = |Y|. Таңдау аксиомасы екі жиын X және Y берілген жағдайда, |X| ≤ |Y| немесе |Y| ≤ |X| екеніне тең. X жиыны Дедекинд шексіз, егер X-тің Y кіші жиыны болса, онда |X| = |Y|, ал егер мұндай кіші жиын болмаса, онда Дедекинд шекті. Аяқты кардиналдар – бұл тек табиғи сандар, яғни X жиыны шекті, егер және тек егер |X| = |n| = n болса, мұнда n – қандай да бір табиғи сан. Кез келген басқа жиын шексіз. Таңдау аксиомасын қабылдасақ, Дедекинд түсініктері стандартты түсініктерімен сәйкес екенін дәлелдеуге болады. Сондай-ақ, табиғи сандар жиынының кардиналы (алеф нөл немесе алеф 0, мұнда алеф – еврей алфавитіндегі бірінші әріп, ) ең кіші шексіз кардинал болып табылады (яғни, кез келген шексіз жиынның кардиналдылығы бар кіші жиыны бар). Келесі үлкен кардинал арқылы белгіленеді, және т.б. Кез келген ординарлық α үшін, кардиналдық сан және бұл тізім барлық шексіз кардиналдық сандарды қамтиды.

Formally, assuming the axiom of choice, the cardinality of a set X is the least ordinal number α such that there is a bijection between X and α. This definition is known as the von Neumann cardinal assignment. If the axiom of choice is not assumed, then a different approach is needed. The oldest definition of the cardinality of a set X (implicit in Cantor and explicit in Frege and Principia Mathematica) is as the class [X] of all sets that are equinumerous with X. This does not work in ZFC or other related systems of axiomatic set theory because if X is non empty, this collection is too large to be a set. In fact, for X ≠ ∅ there is an injection from the universe into [X] by mapping a set m to {m} × X, and so by the axiom of limitation of size, [X] is a proper class. The definition does work however in type theory and in New Foundations and related systems. However, if we restrict from this class to those equinumerous with X that have the least rank, then it will work (this is a trick due to Dana Scott: it works because the collection of objects with any given rank is a set). Von Neumann cardinal assignment implies that the cardinal number of a finite set is the common ordinal number of all possible well orderings of that set, and cardinal and ordinal arithmetic (addition, multiplication, power, proper subtraction) then give the same answers for finite numbers. However, they differ for infinite numbers. For example, in ordinal arithmetic while in cardinal arithmetic, although the von Neumann assignment puts On the other hand, Scott's trick implies that the cardinal number 0 is , which is also the ordinal number 1, and this may be confusing. A possible compromise (to take advantage of the alignment in finite arithmetic while avoiding reliance on the axiom of choice and confusion in infinite arithmetic) is to apply von Neumann assignment to the cardinal numbers of finite sets (those which can be well ordered and are not equipotent to proper subsets) and to use Scott's trick for the cardinal numbers of other sets. Formally, the order among cardinal numbers is defined as follows: |X| ≤ |Y| means that there exists an injective function from X to Y. The Cantor–Bernstein–Schroeder theorem states that if |X| ≤ |Y| and |Y| ≤ |X| then |X| = |Y|. The axiom of choice is equivalent to the statement that given two sets X and Y, either |X| ≤ |Y| or |Y| ≤ |X|. A set X is Dedekind infinite if there exists a proper subset Y of X with |X| = |Y|, and Dedekind finite if such a subset does not exist. The finite cardinals are just the natural numbers, in the sense that a set X is finite if and only if |X| = |n| = n for some natural number n. Any other set is infinite. Assuming the axiom of choice, it can be proved that the Dedekind notions correspond to the standard ones. It can also be proved that the cardinal (aleph null or aleph 0, where aleph is the first letter in the Hebrew alphabet, represented ) of the set of natural numbers is the smallest infinite cardinal (i. e., any infinite set has a subset of cardinality ). The next larger cardinal is denoted by , and so on. For every ordinal α, there is a cardinal number and this list exhausts all infinite cardinal numbers.

Кардиналдық арифметика

Біз кардинал сандарға арифметикалық амалдарды анықтай аламыз, олар табиғи сандарға арналған қалыпты амалдарды кеңейтеді. Шекті кардиналдар үшін бұл амалдардың табиғи сандарға арналған әдеттегі амалдармен бірдей болатынын көрсетуге болады. Бұдан әрі, бұл амалдар қалыпты арифметикамен көптеген қасиеттерді бөліседі.

Келесі кардинал

Егер таңдау аксиомасы орындалса, онда кез келген кардинал κ-ның κ+ деп белгіленетін, және κ+ > κ болатын, сондай-ақ κ мен оның мұрагері арасында ешқандай кардинал жоқ мұрагері болады. (Таңдау аксиомасы болмаса, Хартогс теоремасын қолданып, кез келген кардинал саны κ үшін, минималды кардинал κ+ бар екенін көрсетуге болады.) Шекті кардиналдар үшін, мұрагері жай ғана κ + 1 болады. Шеңберсіз кардиналдар үшін, мұрагер кардиналы мұрагер ординалынан өзгеше болады.

Алу

Таңдау аксиомасын қабылдап, шексіз кардинал σ және кардинал μ берілгенде, μ + κ = σ теңдігі орындалатынын және тек қана μ ≤ σ болғанда ғана кардинал κ болады. Ол бірегей (және σ-ға тең) болады, егер және тек қана μ < σ болса.

Кардинал көбейту

Кардиналдардың көбейтіндісі Декарт көбейтіндісінен туындайды.

Континуумдық гипотеза

Континуум гипотезасы (CH) бойынша, және арасында қатаң түрде кардиналдар жоқ. Бұл соңғы кардинал саны жиі белгісімен таңбаланады; ол континуумның (нақты сандар жиынының) кардиналдылығын көрсетеді. Осы ретте, жалпыланған континуум гипотезасы (GCH) әрбір шексіз кардинал үшін, және арасында қатаң түрде кардиналдар жоқ екенін айтады. Континуум гипотезасы және жалпыланған континуум гипотезасы жиындар теориясының қалыпты аксиомаларынан – Зермело-Фраенкель аксиомаларынан және таңдау аксиомасынан (ZFC) тәуелсіз екені дәлелденген. Шындығында, Истон теоремасы, реттегі кардиналдар үшін ZFC-нің кардиналдылығына қатысты қоятын жалғыз шектеулері – және экспоненциалдық функцияның кемімейтінін көрсетеді.