Кіріспе
Кейбір түрде төртполюстік өріс құру үшін жасалған шара.
Төртполюстік – электр заряды, ток немесе гравитациялық масса сияқты нәрселердің идеалды түрде болуы мүмкін конфигурацияларының тізбегінің бірі, бірақ көбінесе ол күрделіліктің әртүрлі деңгейлерін көрсететін күрделі құрылымның көпполюстік кеңеюінің бір бөлігі болып табылады.
Жалпылау: жоғары көпполюстілер
Шеткі жалпылау ("нүктелік сегізполюс") мынадай болады: Паралелепипедтің сегіз бұрышында кезектесіп орналасқан сегіз нүктелік заряд, мысалы, қабырғасы a болатын куб. Бұл орналасудың "сегізполюстік моменті" "сегізполюстік лимитте" үшінші реттік нөлден өзгеше диагональдық тензорға сәйкес келеді. Одан да жоғары мультипольдер, мысалы, төменгі реттідегі нүктелік монопольдер емес, нүктелік дипольдердің (төртполюстік, сегізполюстік, ) дипольдік (төртполюстік, сегізполюстік, ) орналасуы арқылы алынады, мысалы.
Магниттік төртполюс
Барлық белгілі магниттік көздер дипольдік өрістер тудырады. Дегенмен, төрт бірдей таяқша магнитті бір-біріне перпендикуляр орналастырып, біреуінің солтүстік полюсі екіншісінің оңтүстік полюсіне жақын болатындай етіп, магниттік төртполюс жасау мүмкін. Мұндай конфигурация диполь моментін жойып, төртполярлық моментті тудырады, ал оның өрісі қашықтық артқан сайын дипольдік өрістен тезірек азаяды. Тұрақты магниттерді қолданатын магниттік төртполюс мысалы оң жақта көрсетілген. Ұқсас принципке негіделген электромагниттер (төртполюс магниттері деп аталады) бөлшектер үдеткіштерінде және сәуле тасымалдау желілерінде зарядталған бөлшектер шоғын фокустау үшін жиі қолданылады, бұл әдіс "күшті фокустау" деп белгілі. Онда төрт темір ұшы бар: екі қарсы бағытталған солтүстік және екі қарсы бағытталған оңтүстік магниттік полюсі. Болат, полюстерге оралған түтіктердегі күшті электр тогы арқылы магниттеледі. Өзгеріп тұратын магниттік төртполюс моменті электромагниттік сәулеленуді тудырады.
Гравитациялық төртполюс
Массалық төртполюс электрлік зарядтың төртполюсіне ұқсас, онда заряд тығыздығы жай ғана массалық тығыздықпен ауыстырылады және теріс белгі қосылады, өйткені массалар әрқашан оң, ал күш тартымды. Гравитациялық потенциал былайша өрнектеледі:
For example, because the Earth is rotating, it is oblate (flattened at the poles). This gives it a nonzero quadrupole moment. While the contribution to the Earth's gravitational field from this quadrupole is extremely important for artificial satellites close to Earth, it is less important for the Moon because the term falls quickly. The mass quadrupole moment is also important in general relativity because, if it changes in time, it can produce gravitational radiation, similar to the electromagnetic radiation produced by oscillating electric or magnetic dipoles and higher multipoles. However, only quadrupole and higher moments can radiate gravitationally. The mass monopole represents the total mass energy in a system, which is conserved—thus it gives off no radiation. Similarly, the mass dipole corresponds to the center of mass of a system and its first derivative represents momentum which is also a conserved quantity so the mass dipole also emits no radiation. The mass quadrupole, however, can change in time, and is the lowest order contribution to gravitational radiation. The simplest and most important example of a radiating system is a pair of mass points with equal masses orbiting each other on a circular orbit, an approximation to e. g. special case of binary black holes. Since the dipole moment is constant, we can for convenience place the coordinate origin right between the two points. Then the dipole moment will be zero, and if we also scale the coordinates so that the points are at unit distance from the center, in opposite direction, the system's quadrupole moment will then simply be
where M is the mass of each point, and are components of the (unit) position vector of one of the points. As they orbit, this x vector will rotate, which means that it will have a non zero first, and also a non zero second time derivative (this is of course true regardless the choice of the coordinate system). Therefore, the system will radiate gravitational waves. Energy lost in this way was first observed in the changing period of the Hulse–Taylor binary, a pulsar in orbit with another neutron star of similar mass. Just as electric charge and current multipoles contribute to the electromagnetic field, mass and mass current multipoles contribute to the gravitational field in general relativity, causing the so called gravitomagnetic effects. Changing mass current multipoles can also give off gravitational radiation. However, contributions from the current multipoles will typically be much smaller than that of the mass quadrupole.
Мысалы, Жер айналуының нәтижесінде, ол жалпақ (полюстерде жалпақталған). Бұл оған нөлден өзгеше төртполюс моментін береді. Жердің гравитациялық өрісіне осы төртполюспен байланысты үлес, Жерге жақын орналасқан жасанды спутниктер үшін өте маңызды болса, Ай үшін маңыздылығы төмендейді, себебі бұл шарт тез азаяды. Массалық төртполюс моменті жалпы салыстырмалылық теориясында да маңызды, өйткені ол уақыт бойынша өзгерсе, осцилляциялық электрлік немесе магниттік дипольдер мен жоғары көпполюстер арқылы туындайтын электромагниттік сәулеленуге ұқсас гравитациялық сәулеленуді тудыра алады. Дегенмен, гравитациялық сәуле шығара алатыны төртполюс және одан жоғары моменттер ғана. Массалық монополь – жүйедегі жалпы масса-энергияны білдіреді, ол сақталады, сондықтан сәулелену болмайды. Сол сияқты, массалық диполь жүйенің массалық орталығына сәйкес келеді, ал оның бірінші туындысы импульсті көрсетеді, ол да сақталатын шама, сондықтан массалық диполь де сәулелену шығармайды. Алайда, массалық төртполюс уақыт өте келе өзгеруі мүмкін және гравитациялық сәулеленуге ең төменгі реттік үлес қосады. Сәулелену жүйесінің ең қарапайым және маңызды мысалы – бір-біріне тең массалары бар екі массалық нүкте, олар шеңбер бойымен айналып жүреді, бұл, мысалы, екі қара тесіктің ерекше жағдайына жуықтап келеді. Диполь моменті тұрақты болғандықтан, екі нүктенің арасындағы координаттардың басталу нүктесін қолайлы түрде орналастыра аламыз. Онда диполь моменті нөлге тең болады, және егер біз координаттарды нүктелердің орталықтан бірлік қашықтықта, бірін-бірің қарсы бағытта орналасуы үшін масштабтасақ, жүйенің төртполюстік моменті жай ғана M, мұнда M әр нүктенің массасы, ал нүктенің (бірлік) позициялық векторының компоненттері болып табылады. Олар айналатын кезде, бұл x векторы айналады, яғни оның бірінші және екінші уақыт туындылары нөлден өзгеше болады (бұл, әрине, координаттар жүйесінің таңдауына қарамастан дұрыс). Сондықтан жүйе гравитациялық толқындарды шығарады. Осылайша жоғалған энергия алғаш рет Хюльс-Тейлор екіжұлдызының айналу периодының өзгеруінде, ұқсас массадағы екінші нейтрон жұлдызымен айналып жүрген пульсарда байқалды. Электр заряды мен ток көпполюстері электромагниттік өріс құрамына үлес қосатындай, масса және массалық ток көпполюстері жалпы салыстырмалылық теориясындағы гравитациялық өріс құрамына үлес қосып, гравитомагниттік эффекттерге әкеледі. Массалық токтың өзгеруімен көпполюстер де гравитациялық сәулеленуді шығара алады. Алайда, ток көпполюстерінің үлесі әдетте массалық төртполюстердің үлесінен әлдеқайда төмен болады.
For example, because the Earth is rotating, it is oblate (flattened at the poles). This gives it a nonzero quadrupole moment. While the contribution to the Earth's gravitational field from this quadrupole is extremely important for artificial satellites close to Earth, it is less important for the Moon because the term falls quickly. The mass quadrupole moment is also important in general relativity because, if it changes in time, it can produce gravitational radiation, similar to the electromagnetic radiation produced by oscillating electric or magnetic dipoles and higher multipoles. However, only quadrupole and higher moments can radiate gravitationally. The mass monopole represents the total mass energy in a system, which is conserved—thus it gives off no radiation. Similarly, the mass dipole corresponds to the center of mass of a system and its first derivative represents momentum which is also a conserved quantity so the mass dipole also emits no radiation. The mass quadrupole, however, can change in time, and is the lowest order contribution to gravitational radiation. The simplest and most important example of a radiating system is a pair of mass points with equal masses orbiting each other on a circular orbit, an approximation to e. g. special case of binary black holes. Since the dipole moment is constant, we can for convenience place the coordinate origin right between the two points. Then the dipole moment will be zero, and if we also scale the coordinates so that the points are at unit distance from the center, in opposite direction, the system's quadrupole moment will then simply be
where M is the mass of each point, and are components of the (unit) position vector of one of the points. As they orbit, this x vector will rotate, which means that it will have a non zero first, and also a non zero second time derivative (this is of course true regardless the choice of the coordinate system). Therefore, the system will radiate gravitational waves. Energy lost in this way was first observed in the changing period of the Hulse–Taylor binary, a pulsar in orbit with another neutron star of similar mass. Just as electric charge and current multipoles contribute to the electromagnetic field, mass and mass current multipoles contribute to the gravitational field in general relativity, causing the so called gravitomagnetic effects. Changing mass current multipoles can also give off gravitational radiation. However, contributions from the current multipoles will typically be much smaller than that of the mass quadrupole.