Введение
Конфигурация, создающая квадрупольное поле того или иного типа.
Квадруполь – это одна из последовательностей конфигураций, таких как электрический заряд или ток, или гравитационная масса, которые могут существовать в идеальной форме, но обычно являются лишь частью многополярного разложения более сложной структуры, отражающего различные уровни сложности.
Обобщение: более высокие многополюсы
Крайним обобщением ("точечный октаполь") будет: восемь чередующихся точечных зарядов в восьми вершинах параллелепипеда, например, куба с длиной ребра a. "Октопольный момент" этой конфигурации будет соответствовать, в "октопольном пределе", ненулевому диагональному тензору третьего ранга. Еще более высокие мультиполи, например, порядка, будут получены дипольными (четырехполярными, восьмиполярными, ) расположениями точечных диполей (четырехполярных, восьмиполярных), а не точечных монополей, более низкого порядка, например, .
Магнитный квадрополь
Все известные магнитные источники создают дипольные поля. Однако магнитный квадруполь можно получить, расположив четыре одинаковых магнитных стержня перпендикулярно друг другу так, чтобы северный полюс одного находился рядом с южным полюсом другого. Такая конфигурация компенсирует дипольный момент и создает квадрупольный момент, а его поле на больших расстояниях убывает быстрее, чем поле диполя. Пример магнитного квадруполя с использованием постоянных магнитов изображен справа. Электромагниты аналогичной концептуальной конструкции (называемые квадрупольными магнитами) широко используются для фокусировки пучков заряженных частиц в ускорителях частиц и линиях транспортировки пучков, метод, известный как сильная фокусировка. В них имеется четыре стальных полюсных наконечника: два противоположных магнитных северных полюса и два противоположных магнитных южных полюса. Сталь намагничивается большим электрическим током, протекающим по обмоткам трубок, охватывающим полюса. Изменение магнитного квадрупольного момента порождает электромагнитное излучение.
Гравитационный квадропол
Квадруполь массы аналогичен квадруполю электрического заряда, где плотность заряда просто заменяется плотностью массы и добавляется отрицательный знак, поскольку массы всегда положительны, а сила притяжения. Гравитационный потенциал тогда выражается как:
Например, поскольку Земля вращается, она имеет форму сплюснутого сфероида (сжата у полюсов). Это придает ей ненулевой квадрупольный момент. Вклад этого квадруполя в гравитационное поле Земли чрезвычайно важен для искусственных спутников, находящихся вблизи Земли, но менее важен для Луны, поскольку соответствующий член быстро убывает с расстоянием. Квадрупольный момент массы также важен в общей теории относительности, поскольку, если он изменяется во времени, он может генерировать гравитационное излучение, подобно электромагнитному излучению, испускаемому колеблющимися электрическими или магнитными диполями и более высокими мультиполями. Однако гравитационно излучать могут только квадрупольные и более высокие моменты. Массовый монополь представляет собой полную энергию массы в системе, которая сохраняется, – следовательно, он не излучает. Аналогично, массовый диполь соответствует центру масс системы, а его первая производная представляет импульс, который также является сохраняющейся величиной, поэтому массовый диполь также не излучает. Однако квадрупольный момент массы может изменяться во времени и является вкладом наименьшего порядка в гравитационное излучение. Самый простой и важный пример излучающей системы – пара точечных масс с равными массами, вращающихся друг вокруг друга по круговой орбите, что является приближением, например, к частному случаю двойной системы черных дыр. Поскольку дипольный момент постоянен, для удобства можно поместить начало координат точно между двумя точками. Тогда дипольный момент будет равен нулю, и если мы также масштабируем координаты так, чтобы точки находились на единичном расстоянии от центра в противоположных направлениях, квадрупольный момент системы будет просто
где M – масса каждой точки, а – компоненты (единичного) вектора положения одной из точек. По мере вращения этого вектора x он будет вращаться, что означает, что он будет иметь ненулевую первую и вторую производные по времени (это, конечно, верно независимо от выбора системы координат). Следовательно, система будет излучать гравитационные волны. Энергия, теряемая таким образом, впервые была обнаружена в изменении периода двойной системы Халса — Тейлора, пульсара на орбите вокруг другой нейтронной звезды с сопоставимой массой. Подобно тому, как мультиполи электрических зарядов и токов вносят вклад в электромагнитное поле, мультиполи масс и массовых токов вносят вклад в гравитационное поле в общей теории относительности, вызывая так называемые гравитомагнитные эффекты. Изменение мультиполей массового тока также может генерировать гравитационное излучение. Однако вклад от мультиполей тока обычно будет намного меньше, чем вклад от квадруполя массы.