Ойын теориясында кеңейтілген формадағы ойынның бейнелеуі

Кіріспе

Ойын теориясындағы ойынның толыққанды бейнеленуі

Ойын теориясында кеңейтілген формадағы ойын – ойынды сипаттаудың бір түрі болып табылады, ол (атынан көрініп тұрғандай) ойыншылардың мүмкін болатын қимылдарының тізбегі, олардың әрбір шешім нүктесіндегі таңдаулары, әрбір ойыншының шешім қабылдаған кезде екінші ойыншының қимылдары туралы (толық емес болуы мүмкін) ақпараты және барлық мүмкін ойын нәтижелері үшін алатын сыйлықтары сияқты маңызды аспектілерді нақты көрсетуге мүмкіндік береді. Кеңейтілген формадағы ойындар толық емес ақпаратты "табиғаттың қимылы" ретінде модельделген кездейсоқ оқиғалар арқылы да бейнелеуге мүмкіндік береді. Кеңейтілген формадағы бейнелеулер нормативтік формадан айырмашылығы, олар қарастырылып отырған ойынның толыққанды сипаттамасын ұсынады, ал нормативтік форма ойынды тек сыйлық матрицасына дейін тоғытады.

Толық емес ақпарат

Ойыншы ойынның қандай сыйлықтарға жететінін немесе қарсыластарының қандай типтес екенін білмей қалуы мүмкін. Мұндай ойында толық емес ақпарат болады. Кеңейтілген формада ол толық, бірақ кемшілік ақпаратпен ойналатын ойын ретінде, Харсаньи трансформациясы деп аталатын әдіс арқылы ұсынылады. Бұл трансформация ойынға табиғаттың немесе Құдайдың таңдауы түсінігін енгізеді. Мысалы, жұмыс беруші жұмыс іздеушіні жұмысқа алуды қарастырып жатыр. Жұмыс іздеушінің қабілеті екі түрлі болуы мүмкін: жоғары немесе төмен. Олардың қабілет деңгейі кездейсоқ; олардың төмен қабілетке ие болу ықтималдығы 1/3, ал жоғары қабілетке ие болу ықтималдығы 2/3. Бұл жағдайда табиғатты сол ықтималдықтарға сәйкес өтініш берушінің қабілетін таңдайтын тағы бір ойыншы ретінде модельдеу ыңғайлы. Дегенмен табиғаттың ешқандай сыйлықтары жоқ. Табиғаттың таңдауы ойын ағашында толтырылмаған түйінмен көрсетіледі. Табиғаттың таңдау түйінінен шығатын қабырғалар ол көрсететін оқиғаның орын алу ықтималдығымен белгіленеді. Сол жақтағы ойын толық ақпараттан тұрады (барлық ойыншылар мен сыйлықтар барлығына белгілі), бірақ кемшілік ақпараттан тұрады (жұмыс беруші табиғаттың қандай әрекет жасағанын білмейді). Бастапқы түйін ортада орналасқан, ол толтырылмаған, сондықтан табиғат бірінші болып әрекет етеді. Табиғат 1-ойыншының типін бірдей ықтималдықпен таңдайды (бұл ойында ойналатын қосалқы ойынның сыйлықтарын таңдауға тең), t1 немесе t2. 1-ойыншыда олар үшін бөлек ақпарат жиынтығы бар; яғни 1-ойыншы олардың қандай типтес екенін біледі (бұл міндетті түрде емес). Алайда 2-ойыншы табиғаттың таңдауын байқамайды. Олар 1-ойыншының типін білмейді, бірақ бұл ойында олар 1-ойыншының әрекеттерін байқайды; яғни толық ақпарат бар. Шындығында, жоғарыдағы толық ақпарат анықтамасын өзгерту орынды: ойынның әрбір кезеңінде әрбір ойыншы басқа ойыншылардың не ойнағанын біледі. Жеке ақпарат жағдайында әрбір ойыншы табиғаттың қандай әрекет жасағанын біледі. Ақпарат жиынтықтары бұрынғыдай үзілген сызықтармен көрсетіледі. Бұл ойында егер табиғат 1-ойыншының t1 типін таңдаса, ойналатын ойын бірінші сипатталған ойынға ұқсас болады, бірақ 2-ойыншы оны білмейді (және бұл олардың ақпарат жиынтығын кесіп тастауы оның қосалқы ойын мәртебесінен бас тартуына себеп болады). Бір бөлек кемелді Байес тепе-теңдігі бар; яғни әртүрлі типтер әртүрлі нәрселер жасайтын тепе-теңдік. Егер екі тип те бірдей әрекет жасаса (біріктіру), тепе-теңдік сақталмайды. Егер екеуі де D ойнаса, 2-ойыншы тек ақпарат жиынтығының кез келген торабында 1/2 ықтималдығымен екеніне сенімді бола алады (өйткені бұл кез келген типті көру мүмкіндігі). 2-ойыншы D' ойнағанда өзінің сыйлығын барынша арттырады. Дегенмен, егер D' ойнаса, 2-ойыншы U ойнағанды жөн көреді. Бұл тепе-теңдік бола алмайды. Егер екі ойыншы да U ойнаса, 2-ойыншы олардың бір торапта 1/2 ықтималдығымен екеніне сенімді болады. Бұл жағдайда 2-ойыншы D' ойнайды, бірақ 1-ойыншы D ойнағанды жөн көреді. Егер 1-ойыншы U ойнаса және 2-ойыншы D ойнаса, 2-ойыншы байқалған әрекетке қарамастан D' ойнайды, бірақ 1-ойыншы D-ді ұнатады. Сондықтан, жалғыз тепе-теңдік 1-ойыншы D ойнағанда, 2-ойыншы U ойнағанда және 2-ойыншы D байқағанда U' ойнағанда, ал U байқағанда кездейсоқ әрекеттенгенде болады. 1-ойыншы өзінің әрекеттері арқылы 2-ойыншыға өзінің типін көрсетті.

It may be the case that a player does not know exactly what the payoffs of the game are or of what type their opponents are. This sort of game has incomplete information. In extensive form it is represented as a game with complete but imperfect information using the so called Harsanyi transformation. This transformation introduces to the game the notion of nature's choice or God's choice. Consider a game consisting of an employer considering whether to hire a job applicant. The job applicant's ability might be one of two things: high or low. Their ability level is random; they either have low ability with probability 1/3 or high ability with probability 2/3. In this case, it is convenient to model nature as another player of sorts who chooses the applicant's ability according to those probabilities. Nature however does not have any payoffs. Nature's choice is represented in the game tree by a non filled node. Edges coming from a nature's choice node are labelled with the probability of the event it represents occurring. The game on the left is one of complete information (all the players and payoffs are known to everyone) but of imperfect information (the employer doesn't know what nature's move was.) The initial node is in the centre and it is not filled, so nature moves first. Nature selects with the same probability the type of player 1 (which in this game is tantamount to selecting the payoffs in the subgame played), either t1 or t2. Player 1 has distinct information sets for these; i. e. player 1 knows what type they are (this need not be the case). However, player 2 does not observe nature's choice. They do not know the type of player 1; however, in this game they do observe player 1's actions; i. e. there is perfect information. Indeed, it is now appropriate to alter the above definition of complete information: at every stage in the game, every player knows what has been played by the other players. In the case of private information, every player knows what has been played by nature. Information sets are represented as before by broken lines. In this game, if nature selects t1 as player 1's type, the game played will be like the very first game described, except that player 2 does not know it (and the very fact that this cuts through their information sets disqualify it from subgame status). There is one separating perfect Bayesian equilibrium; i. e. an equilibrium in which different types do different things. If both types play the same action (pooling), an equilibrium cannot be sustained. If both play D, player 2 can only form the belief that they are on either node in the information set with probability 1/2 (because this is the chance of seeing either type). Player 2 maximises their payoff by playing D' However, if they play D' , type 2 would prefer to play U. This cannot be an equilibrium. If both types play U, player 2 again forms the belief that they are at either node with probability 1/2. In this case player 2 plays D' , but then type 1 prefers to play D.

If type 1 plays U and type 2 plays D, player 2 will play D' whatever action they observe, but then type 1 prefers D. The only equilibrium hence is with type 1 playing D, type 2 playing U and player 2 playing U' if they observe D and randomising if they observe U. Through their actions, player 1 has signalled their type to player 2.

Шексіз іс-қимыл кеңістігі

Ойыншы белгілі бір шешім түйінінде шексіз көп әрекеттерді таңдау мүмкіндігіне ие болуы мүмкін. Мұны көрсету үшін, аталған шешім түйінінен шығатын екі жиекті қосатын доға қолданылады. Егер әрекеттер кеңістігі екі сан арасындағы үздіксіздік болса, онда төменгі және жоғарғы шектеуші сандар, әдетте, сыйақыны көрсететін айнымалымен бірге, доғаның төменгі және жоғарғы бөлігіне орналастырылады. Соның салдарынан пайда болатын шешім түйіндерінің шексіз саны доғаның ортасына орналастырылған бір түйінмен бейнеленеді. Осыған ұқсас құрылғы, әрбір әрекет үшін жеке жиектерді көрсетудің практикалық емес болуы мүмкін, бірақ шексіз емес, кең әрекеттер кеңістіктерін бейнелеу үшін де қолданылады. Сол жақтағы ағаш мұндай ойынды көрсетеді, яғни шексіз әрекеттер кеңістігімен (0 мен 5000 арасындағы кез келген нақты сан) немесе өте кең әрекеттер кеңістігімен (мысалы, 0 мен 5000 арасындағы кез келген бүтін сан). Бұл мәліметтер басқа жерде нақтыланады. Мұнда, бұл жағдайдың біріншісі деп есептелінеді және нақты мысал келтіру үшін, бұл Стакельберг бәсекелестігіне қатысқан екі фирманы көрсетеді деп ұйғарылады. Фирмалардың табысы сол жақта көрсетілген, мұнда q1 және q2 олар қолданатын стратегиялар, ал c1 және c2 – кейбір тұрақты шамалар (бұл жерде әр фирманың шекті шығындары). Бұл ойынның толыққанды Nash тепе-теңдігін табу үшін, әрбір табыс функциясының ізбасардың (фирма 2) стратегиялық айнымалысы q2 бойынша бірінші жартылай туындысын алып, оның ең жақсы жауап функциясын анықтау керек. Лидер үшін де осы процесті орындауға болады, бірақ оның пайдасын есептегенде, фирма 2 жоғарыда аталған жауапты таңдайтынын ескеру қажет, сондықтан оны өзінің максималдау мәселесіне қоюға болады. Содан кейін q1 үшін бірінші туындыны алып, оны фирма 2-нің ең жақсы жауап функциясына қосу арқылы толық Nash тепе-теңдігіне қол жеткізіледі.