Кванттық механикада толық коммутацияланатын операторлар жиыны
Complete set of commuting observables
Кванттық механикада толық коммутацияланатын операторлар жиыны – кез келген кванттық күйді сипаттауға арналған негіз. Операторлардың өзара әсері жоқ, өлшеу нәтижесіне әсер етпейді.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Кванттық механикада, толық ауыспалы байқалатын шамалар жиынтығы (CSCO) – кез келген кванттық күйді өрнектеу үшін негіз ретінде қолданылатын ортақ өзіндік векторлары бар ауыспалы операторлар жиынтығы. Дискретті спектрлері бар операторлар үшін CSCO – бұл бірдей өзіндік кеңістіктері Гильберт кеңістігін жабатын, ал өзіндік векторлары сәйкес өзіндік мәндер жиынтығымен толық анықталатын ауыспалы байқалатын шамалар жиынтығы. Мысалы, бірөлшемді байланысқан күйлер сияқты қарапайым жағдайларда, энергия спектрі дегенерацияланбайды және энергия өзіндік күйлерді бірегей түрде белгілеу үшін қолданылуы мүмкін. Күрделірек мәселелерде энергия спектрі дегенерацияланады, сондықтан өзіндік күйлерді ажырату үшін қосымша байқалатын шамалар қажет. Жиынтықтағы әрбір байқалатын шамалар жұбы ауысқандықтан, барлық байқалатын шамалар үйлесімді болады, сондықтан бір байқалатын шаманы өлшеу жиынтықтағы басқа байқалатын шаманы өлшеу нәтижесіне әсер етпейді. Сондықтан, әртүрлі байқалатын шамаларды өлшеу ретін анықтау қажет емес. Байқалатын шамалардың толық жиынтығын өлшеу – толық өлшеу болып табылады, себебі ол жүйенің кванттық күйін операторлар жиынтығымен анықталған негіздегі бірегей және белгілі векторға проекциялайды. Яғни, толық анықталған күйді дайындау үшін кез келген күйді таңдап, жиынтықтағы барлық байқалатын шамаларға сәйкес өлшемдер қатарын орындау керек, осылайша ол Гильберт кеңістігінде (фазаға дейін) бірегей анықталған векторға айналады.
In quantum mechanics, a complete set of commuting observables (CSCO) is a set of commuting operators whose common eigenvectors can be used as a basis to express any quantum state. In the case of operators with discrete spectra, a CSCO is a set of commuting observables whose simultaneous eigenspaces span the Hilbert space, so that the eigenvectors are uniquely specified by the corresponding sets of eigenvalues. In some simple cases, like bound state problems in one dimension, the energy spectrum is nondegenerate, and energy can be used to uniquely label the eigenstates. In more complicated problems, the energy spectrum is degenerate, and additional observables are needed to distinguish between the eigenstates. Since each pair of observables in the set commutes, the observables are all compatible so that the measurement of one observable has no effect on the result of measuring another observable in the set. It is therefore not necessary to specify the order in which the different observables are measured. Measurement of the complete set of observables constitutes a complete measurement, in the sense that it projects the quantum state of the system onto a unique and known vector in the basis defined by the set of operators. That is, to prepare the completely specified state, we have to take any state arbitrarily, and then perform a succession of measurements corresponding to all the observables in the set, until it becomes a uniquely specified vector in the Hilbert space (up to a phase).
Үйлесімділік теоремасы
Екі байқалатын шаманы қарастырайық, және , олар операторлармен бейнеленген және . Содан кейін келесі тұжырымдар эквивалентті: және үйлесімді байқалатын шамалар. және ортақ егенқұбырлық негізге ие. Операторлар мен коммутациялайды, яғни .
Consider two observables, and , represented by the operators and Then the following statements are equivalent:
and are compatible observables. and have a common eigenbasis. The operators and commute, meaning that .
Талқылау
Жоғарыда аталған екі өлшемді қарастырайық. Егер және операторларының әрқайсысының өзіндік векторларының толық жиынтығы болса, онда және үйлесімді деп айтамыз. Егер біз және операторларының өзіндік мәндерін сәйкесінше және деп белгілесек, онда жүйе бір өзіндік күйде болған жағдайда, мысалы, , екеуін де бір уақытта кез келген дәлдікпен өлшеуге болады, нәтижелері сәйкесінше және болады. Бұл идеяны екі өлшемнен артық өлшемдерге де қолдануға болады.
We consider the two above observables and Suppose there exists a complete set of kets whose every element is simultaneously an eigenket of and Then we say that and are compatible. If we denote the eigenvalues of and corresponding to respectively by and , we can write
If the system happens to be in one of the eigenstates, say, , then both and can be simultaneously measured to any arbitrary level of precision, and we will get the results and respectively. This idea can be extended to more than two observables.
Бір-біріне үйлесімді байқалатын элементтердің мысалдары
Позиция операторының декарты есептеулері: , және . Бұл компоненттердің бәрі өзара үйлесімді. Сол сияқты, импульс операторының декарты есептеулері , яғни , және де өзара үйлесімді.
The Cartesian components of the position operator are , and These components are all compatible. Similarly, the Cartesian components of the momentum operator , that is , and are also compatible.
Еркін бөлшегі
Еркін бөлшек үшін гамильтониан трансляциялар бойынша инвариантты. Трансляция гамильтонианмен коммутациялайды: Дегенмен, егер гамильтонианды трансляция операторының базисінде өрнектесек, онда ол екі рет дегенерацияланған өзіндік мәндерге ие екенін көреміз. Осы жағдайда CSCO жасау үшін, бізге CSCO құрайтын, парлық оператор деп аталатын тағы бір оператор қажет екені көрсетіледі. Сонымен қатар, сәйкес өзіндік мәнге ие болатын дегенерацияланған өзіндік күйлер болсын, яғни .
For a free particle, the Hamiltonian is invariant under translations. Translation commutes with the Hamiltonian: However, if we express the Hamiltonian in the basis of the translation operator, we will find that has doubly degenerate eigenvalues. It can be shown that to make the CSCO in this case, we need another operator called the parity operator , such that forms a CSCO. Again, let and be the degenerate eigenstates of corresponding the eigenvalue , i. e.
The degeneracy in is removed by the momentum operator
So, forms a CSCO.
Дегенерация импульс операторымен алынады.
For a free particle, the Hamiltonian is invariant under translations. Translation commutes with the Hamiltonian: However, if we express the Hamiltonian in the basis of the translation operator, we will find that has doubly degenerate eigenvalues. It can be shown that to make the CSCO in this case, we need another operator called the parity operator , such that forms a CSCO. Again, let and be the degenerate eigenstates of corresponding the eigenvalue , i. e.
The degeneracy in is removed by the momentum operator
So, forms a CSCO.
Осылайша, CSCO құрайды.
For a free particle, the Hamiltonian is invariant under translations. Translation commutes with the Hamiltonian: However, if we express the Hamiltonian in the basis of the translation operator, we will find that has doubly degenerate eigenvalues. It can be shown that to make the CSCO in this case, we need another operator called the parity operator , such that forms a CSCO. Again, let and be the degenerate eigenstates of corresponding the eigenvalue , i. e.
The degeneracy in is removed by the momentum operator
So, forms a CSCO.