Введение

В квантовой механике, полный набор коммутирующих наблюдаемых (CSCO) – это набор коммутирующих операторов, общие собственные векторы которых могут быть использованы в качестве базиса для представления любого квантового состояния. В случае операторов с дискретными спектрами, CSCO представляет собой набор коммутирующих наблюдаемых, чьи совместные собственные подпространства образуют полное пространство Гильберта, так что собственные векторы однозначно определяются соответствующими наборами собственных значений. В некоторых простых случаях, например, для задач связанных состояний в одном измерении, энергетический спектр не вырожден, и энергию можно использовать для однозначной идентификации собственных состояний. В более сложных задачах энергетический спектр вырожден, и для различения собственных состояний требуются дополнительные наблюдаемые. Поскольку каждая пара наблюдаемых в наборе коммутирует, все наблюдаемые совместимы, и измерение одной наблюдаемой не влияет на результат измерения другой наблюдаемой в этом наборе. Следовательно, нет необходимости указывать порядок, в котором проводятся измерения различных наблюдаемых. Измерение полного набора наблюдаемых представляет собой полное измерение, в том смысле, что оно проецирует квантовое состояние системы на единственный и известный вектор в базисе, заданном набором операторов. Иными словами, для подготовки полностью определенного состояния необходимо взять любое произвольное состояние и затем последовательно выполнить измерения, соответствующие всем наблюдаемым в наборе, пока оно не станет однозначно определенным вектором в пространстве Гильберта (с точностью до фазы).

Теорема совместимости

Рассмотрим два наблюдаемых, и , представленные операторами и . Тогда следующие утверждения эквивалентны: и являются совместимыми наблюдаемыми. и имеют общую собственную базу. Операторы и коммутируют, то есть, что .

Обсуждение

Мы рассматриваем два вышеуказанных наблюдаемых и предположим, что существует полный набор кетов, каждый элемент которого одновременно является собственным кетом операторов и . Тогда мы говорим, что операторы и совместимы. Если мы обозначим собственные значения операторов и , соответствующие кету , как и , мы можем записать:

Если система находится в одном из собственных состояний, скажем, , то оба оператора и могут быть одновременно измерены с любой заданной точностью, и мы получим результаты и соответственно. Эта идея может быть расширена на большее количество наблюдаемых.

Примеры совместимых наблюдений

Картезианские компоненты оператора положения — это , и . Все эти компоненты коммутируют. Аналогично, картезианские компоненты оператора импульса , то есть , и , также коммутируют.

Свободная частица

Для свободной частицы гамильтониан инвариантен относительно сдвигов. Оператор сдвига коммутирует с гамильтонианом: Однако, если выразить гамильтониан в базисе оператора сдвига, то обнаружится, что он имеет двойственно вырожденные собственные значения. Можно показать, что для построения КСО в этом случае требуется еще один оператор, называемый оператором четности, такой, что вместе они образуют КСО. Опять же, пусть и будут вырожденными собственными состояниями, соответствующими собственному значению , то есть вырождение в снимается оператором импульса. Таким образом, , образуют КСО.