Төртөлшемді политоптар класы

Кіріспе

4 өлшемді политоптар класы

Геометрияда, біркелкі 4 политоп (немесе біркелкі полихорон) — бұл төртінші өлшемді политоп, ол төбелік транзитивті және оның жасушалары біркелкі полиэдрлер, ал грандары тұрақты көпбұрыштар болып табылады. 47 призма емес дөңес біркелкі 4 политоп бар. Дөңес призмалық формалардың екі шексіз жиынтығы және дөңес біркелкі полиэдрлердің призмаларынан туындайтын 17 жағдай бар. Сонымен қатар, белгісіз саны дөңес емес жұлдыз тәрізді формалар да бар.

16 ұяшықты қысқарту

#Атау (Боуэрс атауы және аббревиатурасы) Төбелік фигураКоксетер диаграммасы және Шләфли символдарыОрын бойынша жасушалар саныЭлементтер саны Поз. 3(8) Поз. 2(24) Поз. 1(32) Поз. 0(16)Альтернативті жасушалар Жүздер Қырлар Төбелер[12]16 жасушаГексадекахорон ht0,1,2,3{3,4,3}(2)(3.3.3.3.4)(2)(3.3.3.3)(4)(3.3.3) 816 2832 2592 576

Полигональды призмалық призмалар: [p] × [ ] × [ ]

Бірыңғай призмалардың шексіз жиынтығы 4p дупризмалармен тоғысады: (p≥3) p куб және 4p бұрышты призмалар (барлығы 4p дупризмасымен сәйкес келеді). Бұл қатардағы екінші политоп – тұрақты тессеракттың {4}×{4} төмендегі симметриясы.

Полигональды антипризмалық призмалар: [p] × [ ] × [ ]

Бірыңғай антипризмалық призмалардың шексіз жиынтығы екі параллель біркелкі антипризмадан тұрады: (p≥2) 2p қабырғалы антипризма, 2p қабырғалы призмалармен және 2p үшбұрышты призмалармен байланысқан. p қабырғалы антипризмалық призманың 4p үшбұрыш, 4p төртбұрыш және 4p p қабырғалы беттері болады. Онда 10p қабырға және 4p төбе бар.

Біркелкі емес ауыспалы

Коксетер 4-ші дәрежедегі Коксетер топтары үшін барлық сақиналар кезектесіп (бос шеңбер түйіндерімен көрсетілген) екі ғана біртекті шешім көрсетті. Біріншісі – , s{21,1,1}, ол демитессеракттың 24-індексті кіші тобын (симметриясы [2,2,2]+, 8-ретті) білдіреді, , h{4,3,3} (симметриясы [1+,4,3,3] = [31,1,1], 192-ретті). Екіншісі – , s{31,1,1}, ол шнып 24 жасушасының 6-індексті кіші тобын (симметриясы [31,1,1]+, 96-ретті) білдіреді, , s{3,4,3} (симметриясы [3+,4,3], 576-ретті). Омнитрункалы тессеракттан алынған кезектестірулер сияқты басқа кезектестірулерді біртекті етуге болмайды, себебі тең қабырға ұзындығын табу жалпы жағдайда анықталмайды (алты теңдеу бар, бірақ тек төрт айнымалы). Мұндай біртекті емес кезектестірілген фигураларды толық сақиналы фигураның екі жартысының біреуін алып тастау арқылы төбелік транзитивті 4 политоп ретінде құруға болады, бірақ олардың қабырғаларының ұзындығы тең болмайды. Біртекті кезектестірулер сияқты, олар біртекті фигураның жартысына симметрияны иеленеді, мысалы [4,3,3]+, 192-реттік, кезектестірілген омнитрункалы тессеракттың симметриясы. Уитхофф конструкциялары кезектестірулермен төбелік транзитивті фигураларды жасайды, оларды теңқабырғалы етуге болады, бірақ біртекті емес, себебі кезектестірілген бос орындар (алып тасталған төбелердің айналасында) тұрақты немесе жартылай тұрақты емес жасушаларды жасайды. Мұндай фигураларға арналған ұсынылатын атау – скалиформалы политоптар. Бұл категория Джонсон қатты денелерінің кіші жиынтығын жасуша ретінде пайдалануға мүмкіндік береді, мысалы үшбұрышты күмбез. Джонсон қатты денесіндегі әрбір төбелік конфигурация төбелік фигурада болуы керек. Мысалы, шаршы пирамиданың екі төбелік конфигурациясы бар: 3.3.4 негіздің айналасында және 3.3.3.3 төбесінде. Төрт дөңгелек теңқабырғалы жағдайлардың желілері мен төбелік фигуралары төменде берілген, әр төбедің айналасындағы жасушалардың тізімімен бірге. + Біртекті емес жасушалары бар төрт дөңгелек төбелік транзитивті теңқабырғалы 4 политоп Коксетер диаграммалары 3{2,4,3}, s3{3,4,3}, Басқалары Қатынас 48 төбелі ромбикубококтаэдрлі призманың 24 576 төбелі ұшыраған 24 жасушаның 72 120 төбелі 600 жасушаның 600 720 төбелі 600 жасушаның түзетуі Проекция Пирамидалардың екі сақинасы Желі Truncic snub кубикалық хосокорон Truncic snub 24 жасуша Жасушалар Төбелік фигура (1) 3.4.3.4: үшбұрышты күмбез (2) 3.4.6: үшбұрышты күмбез (1) 3.3.3: тетраэдр (1) 3.6.6: қиық тетраэдр (1) 3.4.3.4: үшбұрышты күмбез (2) 3.4.6: үшбұрышты күмбез (2) 3.4.4: үшбұрышты призма (1) 3.6.6: қиық тетраэдр (1) 3.3.3.3.3: икосаэдр (2) 3.3.3.5: үш өлшемді кемітілген икосаэдр (4) 3.5.5: үш өлшемді кемітілген икосаэдр (1) 3.3.3.3: шаршы пирамида (4) 3.3.4: шаршы пирамида (2) 4.4.5: бесбұрышты призма (2) 3.3.3.5: бесбұрышты антипризма.

Coxeter showed only two uniform solutions for rank 4 Coxeter groups with all rings alternated (shown with empty circle nodes). The first is , s{21,1,1} which represented an index 24 subgroup (symmetry [2,2,2]+, order 8) form of the demitesseract, , h{4,3,3} (symmetry [1+,4,3,3] = [31,1,1], order 192). The second is , s{31,1,1}, which is an index 6 subgroup (symmetry [31,1,1]+, order 96) form of the snub 24 cell, , s{3,4,3}, (symmetry [3+,4,3], order 576). Other alternations, such as , as an alternation from the omnitruncated tesseract , can not be made uniform as solving for equal edge lengths are in general overdetermined (there are six equations but only four variables). Such nonuniform alternated figures can be constructed as vertex transitive 4 polytopes by the removal of one of two half sets of the vertices of the full ringed figure, but will have unequal edge lengths. Just like uniform alternations, they will have half of the symmetry of uniform figure, like [4,3,3]+, order 192, is the symmetry of the alternated omnitruncated tesseract. Wythoff constructions with alternations produce vertex transitive figures that can be made equilateral, but not uniform because the alternated gaps (around the removed vertices) create cells that are not regular or semiregular. A proposed name for such figures is scaliform polytopes. This category allows a subset of Johnson solids as cells, for example triangular cupola. Each vertex configuration within a Johnson solid must exist within the vertex figure. For example, a square pyramid has two vertex configurations: 3.3.4 around the base, and 3.3.3.3 at the apex. The nets and vertex figures of the four convex equilateral cases are given below, along with a list of cells around each vertex. + Four convex vertex transitive equilateral 4 polytopes with nonuniform cellsCoxeterdiagrams3{2,4,3}, s3{3,4,3}, OthersRelation24 of 48 vertices of rhombicuboctahedral prism288 of 576 vertices ofruncitruncated 24 cell72 of 120 verticesof 600 cell600 of 720 verticesof rectified 600 cellProjectionTwo rings of pyramidsNetruncic snub cubic hosochoronruncic snub 24 cell Cells Vertexfigure(1) 3.4.3.4: triangular cupola(2) 3.4.6: triangular cupola(1) 3.3.3: tetrahedron(1) 3.6.6: truncated tetrahedron(1) 3.4.3.4: triangular cupola(2) 3.4.6: triangular cupola(2) 3.4.4: triangular prism(1) 3.6.6: truncated tetrahedron(1) 3.3.3.3.3: icosahedron(2) 3.3.3.5: tridiminished icosahedron (4) 3.5.5: tridiminished icosahedron(1) 3.3.3.3: square pyramid(4) 3.3.4: square pyramid(2) 4.4.5: pentagonal prism(2) 3.3.3.5 pentagonal antiprism

46 призмалық емес Витофтың біркелкі полихорасының геометриялық түзілімдері

46 Витхоффиандық 4-политоптың арасында алты дөңгелек тұрақты 4-политоп бар. Қалған қырық политопты тұрақты полихорадан геометриялық операциялар арқылы алуға болады, бұл операциялар олардың көптеген немесе барлық симметрияларын сақтайды, сондықтан оларды ортақ симметриялық топтар бойынша жіктеуге болады. Кесу операцияларының жиынтық кестесі. Калейдоскоптық генераторлық нүктенің негізгі домендегі орналасуының мысалдары. 40 біркелкі 4-политопты тұрақты 4-политоптардан шығаратын геометриялық операциялар – кесу операциялары. 4-политопты төбелерінде, қырларында немесе жақтарында кесуге болады, бұл төмендегі кестелерде көрсетілгендей, осы элементтерге сәйкес келетін жасушаларды қосады. Коксетер-Динкин диаграммасы Витхоффиандық калейдоскоптың төрт айнасын түйіндер ретінде көрсетеді, ал түйіндер арасындағы қабырғалар айналар арасындағы бұрышты көрсететін бүтін санмен белгіленеді (π/n радиан немесе 180/n градус). Шеңберленген түйіндер әрбір форма үшін қай айналар белсенді екенін көрсетеді; айна төбеде жатпаса, ол белсенді болады. ОперацияSchläfli символыСимметрияКоксетер диаграммасыСипаттамаАтасыt0{p,q,r}[p,q,r]Тұрақты бастапқы форма {p,q,r}Реттификацияt1{p,q,r}Бастапқы қырлар нүктелерге айналғанша қолданылатын түзету операциясы. Биректификация (Двойной)t2{p,q,r}Жақтар нүктелерге толық кесіледі. Реттификацияланған двойноймен бірдей. Триректификация (Двойной)t3{p,q,r}Жасушалар нүктелерге кесіледі. Тұрақты двойной {r,q,p}Кесуt0,1{p,q,r}Әр төбе кесіледі, әр бастапқы қырдың ортасы сақталады. Төбе болған жерде атасының төбелік фигурасы болып табыс жаңа жасуша пайда болады. Әр бастапқы жасуша да солай кесіледі. Бикесуt1,2{p,q,r}Реттификацияланған форма мен екі рет реттификацияланған форма арасындағы кесу. Трикесуt2,3{p,q,r}Кесілген двойной {r,q,p}. Кантелляцияt0,2{p,q,r}Қырлар мен төбелерге қолданылатын кесу және тұрақты және двойной реттификацияланған формалар арасындағы прогрессияны анықтайды. Бикантелляцияt1,3{p,q,r}Кантелляцияланған двойной {r,q,p}. Рунцинация (немесе кеңейту)t0,3{p,q,r}Жасушаларға, жақтарға және қырларға қолданылатын кесу; тұрақты және двойной формалар арасындағы прогрессияны анықтайды. Кантикесуt0,1,2{p,q,r}Кантикесу және кесу операциялары бірге қолданылады. Бикесуt1,2,3{p,q,r}Рунцинацияланған кесу. Трикесуt2,3{p,q,r}Рунцинация және кесу операциялары бірге қолданылады. Рунцикантелляцияt0,2,3{p,q,r}Рунцикесуленген двойной {r,q,p}. Омникесу (runcicantitruncation)t0,1,2,3{p,q,r}Барлық үш оператордың қолданылуы. Егер екі политоп бір-бірінің двойнойы болса (мысалы, тессеракт және 16 жасуша, немесе 120 жасуша және 600 жасуша), онда биттік кесу, рунцинациялау немесе омникесу операциясы екіншісіне бірдей операция қолданғанда бірдей фигураны береді. Сондықтан кестеде тек қатысу көрсетілсе, ол екі атасына да қатысты деп түсіну керек.

The 46 Wythoffian 4 polytopes include the six convex regular 4 polytopes. The other forty can be derived from the regular polychora by geometric operations which preserve most or all of their symmetries, and therefore may be classified by the symmetry groups that they have in common. Summary chart of truncation operationsExample locations of kaleidoscopic generator point on fundamental domain. The geometric operations that derive the 40 uniform 4 polytopes from the regular 4 polytopes are truncating operations. A 4 polytope may be truncated at the vertices, edges or faces, leading to addition of cells corresponding to those elements, as shown in the columns of the tables below. The Coxeter Dynkin diagram shows the four mirrors of the Wythoffian kaleidoscope as nodes, and the edges between the nodes are labeled by an integer showing the angle between the mirrors (π/n radians or 180/n degrees). Circled nodes show which mirrors are active for each form; a mirror is active with respect to a vertex that does not lie on it. OperationSchläfli symbolSymmetryCoxeter diagramDescriptionParentt0{p,q,r}[p,q,r]Original regular form {p,q,r}Rectificationt1{p,q,r}Truncation operation applied until the original edges are degenerated into points. Birectification(Rectified dual)t2{p,q,r}Face are fully truncated to points. Same as rectified dual. Trirectification(dual)t3{p,q,r}Cells are truncated to points. Regular dual {r,q,p}Truncationt0,1{p,q,r}Each vertex is cut off so that the middle of each original edge remains. Where the vertex was, there appears a new cell, the parent's vertex figure. Each original cell is likewise truncated. Bitruncationt1,2{p,q,r} A truncation between a rectified form and the dual rectified form. Tritruncationt2,3{p,q,r}Truncated dual {r,q,p}. Cantellationt0,2{p,q,r} A truncation applied to edges and vertices and defines a progression between the regular and dual rectified form. Bicantellationt1,3{p,q,r}Cantellated dual {r,q,p}. Runcination(or expansion)t0,3{p,q,r}A truncation applied to the cells, faces and edges; defines a progression between a regular form and the dual. Cantitruncationt0,1,2{p,q,r}Both the cantellation and truncation operations applied together. Bicantitruncationt1,2,3{p,q,r}Cantitruncated dual {r,q,p}. Runcitruncationt0,1,3{p,q,r}Both the runcination and truncation operations applied together. Runcicantellationt0,2,3{p,q,r}Runcitruncated dual {r,q,p}. Omnitruncation(runcicantitruncation)t0,1,2,3{p,q,r} Application of all three operators. Halfh{2p,3,q}[1+,2p,3,q]=[(3,p,3),q]Alternation of , same as Cantich2{2p,3,q}Same as Runcich3{2p,3,q}Same as Runcicantich2,3{2p,3,q}Same as Quarterq{2p,3,2q}[1+,2p,3,2q,1+]Same as Snubs{p,2q,r}[p+,2q,r]Alternated truncationCantic snubs2{p,2q,r}Cantellated alternated truncationRuncic snubs3{p,2q,r}Runcinated alternated truncationRuncicantic snubs2,3{p,2q,r}Runcicantellated alternated truncationSnub rectifiedsr{p,q,2r}[(p,q)+,2r]Alternated truncated rectificationht0,3{2p,q,2r}[(2p,q,2r,2+)]Alternated runcinationBisnub2s{2p,q,2r}[2p,q+,2r]Alternated bitruncationOmnisnubht0,1,2,3{p,q,r}[p,q,r]+Alternated omnitruncation

See also convex uniform honeycombs, some of which illustrate these operations as applied to the regular cubic honeycomb. If two polytopes are duals of each other (such as the tesseract and 16 cell, or the 120 cell and 600 cell), then bitruncating, runcinating or omnitruncating either produces the same figure as the same operation to the other. Thus where only the participle appears in the table it should be understood to apply to either parent.

Біркелкі жұлдызды полихора

Жоғарыда аталған шексіз дуопризмалар мен антипризмалар призмаларының отбасыларынан басқа, олар шексіз көп дөңес емес мүшелерге ие, көптеген біркелкі жұлдыз полихоралары ашылған. 1852 жылы Людвиг Шлефли төрт реттелі жұлдыз полихораны: {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {3,3,5/2} және {5/2,3,3} ашты. 1883 жылы Эдмунд Гесс қалған алтысын тапты: {3,5,5/2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3} және {3,5/2,5}. Норман Джонсон 1966 жылғы докторлық диссертациясында жұлдыз полихорасына ұқсас үш біркелкі антипризмді сипаттады: олар реттелі додекаэдрдің қабырғалары мен төбелерін бөлісетін үш дитригоналды полиэдрлерге негізделген. Содан бері Джонатан Бауэрс және Джордж Олшевский сияқты басқа зерттеушілер де көптеген түрлерін тапты, қазіргі уақытта 2127 белгілі біркелкі жұлдыз полихорасы бар (жұлдыз көпбұрыштары негізіндегі дуопризмалардың шексіз жиынтығын есептемегенде). Аталған жиынның толықтығын дәлелдейтін дерек әзірге жоқ.