Четырехмерные политопы: Классификация и свойства

Введение

Класс 4-мерных политопов

В геометрии, однородный 4-мерный политоп (или однородный полихорон) — это 4-мерный политоп, который является транзитивным по вершинам и чьи ячейки являются однородными многогранниками, а грани — правильными многоугольниками. Существует 47 непrizматических выпуклых однородных 4-мерных политопов. Существует два бесконечных семейства выпуклых призматических форм, а также 17 случаев, возникающих как призмы от выпуклых однородных многогранников. Существует также неизвестное количество невыпуклых звездчатых форм.

Обрезания 16 ячеек

#Название (имя и акроним Боуэра) Вершинная фигура Диаграмма Коксетера и символы ШлефлиСчет ячеек по положениюСчет элементов Поз. 3(8) Поз. 2(24) Поз. 1(32) Поз. 0(16) Альт. Клетки Грани Ребра Вершины[12]16 ячеек Гексадекахрон ht0,1,2,3{3,4,3}(2)(3.3.3.3.4)(2)(3.3.3.3)(4)(3.3.3) 8 16 28 32 2592 576

Полигональные призматы: [p] × [ ] × [ ]

Бесконечный набор однородных призматических призм пересекается с 4p дуопризмами: (p≥3) p кубов и 4p n-угольных призм (все они идентичны 4p дуопризмам). Второй политоп в этой серии является вариантом тессеракта с пониженной симметрией, {4}×{4}.

Полигональные антипризматические призмы: [p] × [ ] × [ ]

Бесконечные множества однородных антипризматических призм строятся из двух параллельных однородных антипризм: (p≥2) 2 p-угольных антипризмы, соединенных 2 p-угольными и 2p треугольными призмами. p-угольная антипризматическая призма имеет 4p треугольных, 4p квадратных и 4p многоугольных граней. У неё 10p ребер и 4p вершин.

Неравномерные смены

Коксетер показал только два однородных решения для групп Коксетера ранга 4 со всеми кольцами, чередующимися (показаны с пустыми узлами круга). Первый из них — , s{21,1,1}, который представляет собой подгруппу индекса 24 (симметрия [2,2,2]+, порядка 8) форму демитессеракта, , h{4,3,3} (симметрия [1+,4,3,3] = [31,1,1], порядка 192). Второй — , s{31,1,1}, который является подгруппой индекса 6 (симметрия [31,1,1]+, порядок 96) формой ячейки 24, , s{3,4,3}, (симметрия [3+,4,3], порядок 576). Другие чередования, такие как , как чередование от всеобъемлющего тессеракта , не могут быть унифицированы, поскольку решение для равных длин ребер, как правило, является переопределенным (есть шесть уравнений, но только четыре переменные). Такие неравномерные чередующиеся фигуры могут быть построены как вершинно-транзитивные 4-политопы путем удаления одного из двух полунаборов вершин полной кольцевой фигуры, но будут иметь неравные длины ребер. Как и в случае с однородными чередованиями, они будут иметь половину симметрии однородных фигур, например [4,3,3]+, порядка 192, является симметрией чередующегося всеобъемлющего тессеракта. Конструкции Уайтхоффа с чередованиями производят вершинно-транзитивные фигуры, которые могут быть сделаны равносторонними, но не однородными, поскольку чередующиеся промежутки (вокруг удаленных вершин) создают ячейки, которые не являются регулярными или полурегулярными. Предлагаемое название для таких фигур — скалиформные политопы. Эта категория допускает подмножество тел Джонсона в качестве ячеек, например, треугольный купол. Каждая вершинная конфигурация внутри тела Джонсона должна присутствовать в вершинной фигуре. Например, квадратная пирамида имеет две вершинные конфигурации: 3.3.4 вокруг основания и 3.3.3.3 на вершине. Ниже приведены развертки и вершинные фигуры четырех выпуклых вершинно-транзитивных равносторонних 4-политопов вместе со списком ячеек вокруг каждой вершины. + Четыре выпуклых вершинно-транзитивных равносторонних 4-политопа с неравномерными ячейками. Диаграммы Коксетера: 3{2,4,3}, s3{3,4,3}, Другие. Связь: 24 из 48 вершин ромбокубооктаэдрической призмы, 288 из 576 вершин усеченной 24-ячейки, 72 из 120 вершин 600-ячейки, 600 из 720 вершин выпрямленной 600-ячейки. Проекция: Два кольца пирамид. Развертка: Усеченная кубическая хосохора, усеченная 24-ячейка. Ячейки: (1) 3.4.3.4: треугольный купол, (2) 3.4.6: треугольный купол, (1) 3.3.3: тетраэдр, (1) 3.6.6: усеченный тетраэдр, (1) 3.4.3.4: треугольный купол, (2) 3.4.6: треугольный купол, (2) 3.4.4: треугольная призма, (1) 3.6.6: усеченный тетраэдр, (1) 3.3.3.3.3: икосаэдр, (2) 3.3.3.5: тридиминуированный икосаэдр, (4) 3.5.5: тридиминуированный икосаэдр, (1) 3.3.3.3: квадратная пирамида, (4) 3.3.4: квадратная пирамида, (2) 4.4.5: пятиугольная призма, (2) 3.3.3.5: пятиугольный антипризма.

Coxeter showed only two uniform solutions for rank 4 Coxeter groups with all rings alternated (shown with empty circle nodes). The first is , s{21,1,1} which represented an index 24 subgroup (symmetry [2,2,2]+, order 8) form of the demitesseract, , h{4,3,3} (symmetry [1+,4,3,3] = [31,1,1], order 192). The second is , s{31,1,1}, which is an index 6 subgroup (symmetry [31,1,1]+, order 96) form of the snub 24 cell, , s{3,4,3}, (symmetry [3+,4,3], order 576). Other alternations, such as , as an alternation from the omnitruncated tesseract , can not be made uniform as solving for equal edge lengths are in general overdetermined (there are six equations but only four variables). Such nonuniform alternated figures can be constructed as vertex transitive 4 polytopes by the removal of one of two half sets of the vertices of the full ringed figure, but will have unequal edge lengths. Just like uniform alternations, they will have half of the symmetry of uniform figure, like [4,3,3]+, order 192, is the symmetry of the alternated omnitruncated tesseract. Wythoff constructions with alternations produce vertex transitive figures that can be made equilateral, but not uniform because the alternated gaps (around the removed vertices) create cells that are not regular or semiregular. A proposed name for such figures is scaliform polytopes. This category allows a subset of Johnson solids as cells, for example triangular cupola. Each vertex configuration within a Johnson solid must exist within the vertex figure. For example, a square pyramid has two vertex configurations: 3.3.4 around the base, and 3.3.3.3 at the apex. The nets and vertex figures of the four convex equilateral cases are given below, along with a list of cells around each vertex. + Four convex vertex transitive equilateral 4 polytopes with nonuniform cellsCoxeterdiagrams3{2,4,3}, s3{3,4,3}, OthersRelation24 of 48 vertices of rhombicuboctahedral prism288 of 576 vertices ofruncitruncated 24 cell72 of 120 verticesof 600 cell600 of 720 verticesof rectified 600 cellProjectionTwo rings of pyramidsNetruncic snub cubic hosochoronruncic snub 24 cell Cells Vertexfigure(1) 3.4.3.4: triangular cupola(2) 3.4.6: triangular cupola(1) 3.3.3: tetrahedron(1) 3.6.6: truncated tetrahedron(1) 3.4.3.4: triangular cupola(2) 3.4.6: triangular cupola(2) 3.4.4: triangular prism(1) 3.6.6: truncated tetrahedron(1) 3.3.3.3.3: icosahedron(2) 3.3.3.5: tridiminished icosahedron (4) 3.5.5: tridiminished icosahedron(1) 3.3.3.3: square pyramid(4) 3.3.4: square pyramid(2) 4.4.5: pentagonal prism(2) 3.3.3.5 pentagonal antiprism

Геометрические выводы для 46 непризматических однородных полихоров витоффианского типа

46 политопов Витхоффа 4 включают в себя шесть выпуклых регулярных 4-политопов. Остальные сорок могут быть получены из регулярных полихоров геометрическими операциями, сохраняющими большую часть или всю их симметрию, и поэтому могут быть классифицированы по группам симметрии, которые у них общие. Сводная схема операций усечения. Пример расположения калейдоскопического генератора на фундаментальной области. Геометрические операции, производящие 40 однородных 4-политопов из 4 регулярных 4-политопов, – это операции усечения. 4-политоп может быть усечен на вершинах, ребрах или гранях, что приводит к добавлению ячеек, соответствующих этим элементам, как показано в столбцах таблиц ниже. Диаграмма Коксетера — Динкина отображает четыре зеркала калейдоскопа Витхоффа как узлы, а ребра между узлами помечены целым числом, указывающим угол между зеркалами (π/n радиан или 180/n градусов). Закольцованные узлы показывают, какие зеркала активны для каждой формы; зеркало активно относительно вершины, не лежащей на нем. ОперацияСимвол ШлефлиСимметрияДиаграмма КоксетераОписаниеРодительская формаt0{p,q,r}[p,q,r]Исходная регулярная форма {p,q,r}Усечениеt1{p,q,r}Операция усечения применяется до тех пор, пока исходные ребра не выродятся в точки. Двойное усечение (Rectified dual) t2{p,q,r}Грани полностью усечены до точек. То же, что и двойная выпрямленная форма. Тройное усечение (Dual) t3{p,q,r}Ячейки усечены до точек. Регулярная двойственная форма {r,q,p}Усечение 0,1{p,q,r}Каждая вершина отсекается так, что остается середина каждого исходного ребра. Там, где была вершина, появляется новая ячейка – вершинная фигура родительской формы. Каждая исходная ячейка также усекается. Двойное усечениеt1,2{p,q,r}Усечение между выпрямленной формой и двойной выпрямленной формой. Тройное усечениеt2,3{p,q,r}Усеченная двойственная форма {r,q,p}. Кантелляцияt0,2{p,q,r}Усечение, применяемое к ребрам и вершинам, определяющее прогрессию между регулярной и двойной выпрямленной формой. Двойная кантелляцияt1,3{p,q,r}Кантелированная двойственная форма {r,q,p}. Рунсинация (или расширение)t0,3{p,q,r}Усечение, применяемое к ячейкам, граням и ребрам, определяющее прогрессию между регулярной формой и двойственной. Кантиусечениеt0,1,2{p,q,r}Операции кантелляции и усечения применяются вместе. Двойное кантиусечениеt1,2,3{p,q,r}Кантиусеченная двойственная форма {r,q,p}. Рунциусечениеt0,1,3{p,q,r}Совместное применение операций рунсинации и усечения. Рунцикантелляцияt0,2,3{p,q,r}Рунциисеченная двойственная форма {r,q,p}. Всестороннее усечение (runcicantitruncation) t0,1,2,3{p,q,r}Применение всех трех операторов. Полуусечение (Half) h{2p,3,q}[1+,2p,3,q]=[(3,p,3),q]Альтернация, то же, что и Кантелляция ch2{2p,3,q}То же, что и Рунцикантелляция ch2,3{2p,3,q}То же, что и Четверть q{2p,3,2q}[1+,2p,3,2q,1+]То же, что и Скручивания (Snubs) {p,2q,r}[p+,2q,r]Альтернативное усечениеКантискручивания (Cantic snubs) 2{p,2q,r}Альтернативное усечениеРунциискручивания (Runcic snubs) 3{p,2q,r}Альтернативное усечениеРунциикантискручивания (Runcicantic snubs) 2,3{p,2q,r}Альтернативное усечениеСкручивание выпрямленной формы (Snub rectified) sr{p,q,2r}[(p,q)+,2r]Альтернативное усечение выпрямленной формыПолускручивание (Bisnub) 2s{2p,q,2r}[2p,q+,2r]Альтернативное двойное усечениеВсестороннее скручивание (Omnisnub) ht0,1,2,3{p,q,r}[p,q,r]+Альтернативное всестороннее усечение

The 46 Wythoffian 4 polytopes include the six convex regular 4 polytopes. The other forty can be derived from the regular polychora by geometric operations which preserve most or all of their symmetries, and therefore may be classified by the symmetry groups that they have in common. Summary chart of truncation operationsExample locations of kaleidoscopic generator point on fundamental domain. The geometric operations that derive the 40 uniform 4 polytopes from the regular 4 polytopes are truncating operations. A 4 polytope may be truncated at the vertices, edges or faces, leading to addition of cells corresponding to those elements, as shown in the columns of the tables below. The Coxeter Dynkin diagram shows the four mirrors of the Wythoffian kaleidoscope as nodes, and the edges between the nodes are labeled by an integer showing the angle between the mirrors (π/n radians or 180/n degrees). Circled nodes show which mirrors are active for each form; a mirror is active with respect to a vertex that does not lie on it. OperationSchläfli symbolSymmetryCoxeter diagramDescriptionParentt0{p,q,r}[p,q,r]Original regular form {p,q,r}Rectificationt1{p,q,r}Truncation operation applied until the original edges are degenerated into points. Birectification(Rectified dual)t2{p,q,r}Face are fully truncated to points. Same as rectified dual. Trirectification(dual)t3{p,q,r}Cells are truncated to points. Regular dual {r,q,p}Truncationt0,1{p,q,r}Each vertex is cut off so that the middle of each original edge remains. Where the vertex was, there appears a new cell, the parent's vertex figure. Each original cell is likewise truncated. Bitruncationt1,2{p,q,r} A truncation between a rectified form and the dual rectified form. Tritruncationt2,3{p,q,r}Truncated dual {r,q,p}. Cantellationt0,2{p,q,r} A truncation applied to edges and vertices and defines a progression between the regular and dual rectified form. Bicantellationt1,3{p,q,r}Cantellated dual {r,q,p}. Runcination(or expansion)t0,3{p,q,r}A truncation applied to the cells, faces and edges; defines a progression between a regular form and the dual. Cantitruncationt0,1,2{p,q,r}Both the cantellation and truncation operations applied together. Bicantitruncationt1,2,3{p,q,r}Cantitruncated dual {r,q,p}. Runcitruncationt0,1,3{p,q,r}Both the runcination and truncation operations applied together. Runcicantellationt0,2,3{p,q,r}Runcitruncated dual {r,q,p}. Omnitruncation(runcicantitruncation)t0,1,2,3{p,q,r} Application of all three operators. Halfh{2p,3,q}[1+,2p,3,q]=[(3,p,3),q]Alternation of , same as Cantich2{2p,3,q}Same as Runcich3{2p,3,q}Same as Runcicantich2,3{2p,3,q}Same as Quarterq{2p,3,2q}[1+,2p,3,2q,1+]Same as Snubs{p,2q,r}[p+,2q,r]Alternated truncationCantic snubs2{p,2q,r}Cantellated alternated truncationRuncic snubs3{p,2q,r}Runcinated alternated truncationRuncicantic snubs2,3{p,2q,r}Runcicantellated alternated truncationSnub rectifiedsr{p,q,2r}[(p,q)+,2r]Alternated truncated rectificationht0,3{2p,q,2r}[(2p,q,2r,2+)]Alternated runcinationBisnub2s{2p,q,2r}[2p,q+,2r]Alternated bitruncationOmnisnubht0,1,2,3{p,q,r}[p,q,r]+Alternated omnitruncation

См. также выпуклые однородные соты, некоторые из которых иллюстрируют эти операции, примененные к регулярным кубическим сотам. Если два политопа являются двойственными друг другу (например, тессеракт и 16-ячейник, или 120-ячейник и 600-ячейник), то двойное усечение, рунсинация или всестороннее усечение любого из них дает ту же фигуру, что и та же операция, примененная к другому. Таким образом, когда в таблице появляется только причастие, следует понимать, что оно относится к любой из родительских форм.

Однородные звездные полихоры

Кроме вышеупомянутых семейств бесконечных дуопризм и антипризм, которые содержат бесконечно много невыпуклых элементов, было обнаружено множество однородных звездных полихоров. В 1852 году Людвиг Шлефли открыл четыре правильных звездных полихора: {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {3,3,5/2} и {5/2,3,3}. В 1883 году Эдмунд Гесс обнаружил остальные шесть: {3,5,5/2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3} и {3,5/2,5}. Норман Джонсон описал три однородных полихора, подобных антипризмам, в своей докторской диссертации 1966 года: они основаны на трех дитригональных полиэдрах, имеющих общие ребра и вершины с правильным додекаэдром. С тех пор другие исследователи, включая Джонатана Бауэрса и Джорджа Ольшевского, обнаружили еще множество таких полихоров, в результате чего общее количество известных однородных звездных полихоров на данный момент составляет 2127 (не считая бесконечного множества дуопризм, основанных на звездных многоугольниках). В настоящее время полнота этого множества не доказана.