Кіріспе

Геометрияда тесеракт немесе 4 куб – төрт өлшемді гиперкуб, екі өлшемді квадрат пен үш өлшемді кубқа ұқсас. Қалай квадраттың периметрі төрт қабырғадан, ал кубтың беті алты квадрат жақтан тұратын болса, тесеракттың гипербеті сегіз кубикалық жасушадан тұрады, олар тік бұрыштарда түйіседі. Тесеракт – алты дөңес тұрақты 4-политоптың бірі. Тесеракт 8 ұяшықты, С8, (реттелі) октахорон немесе кубтық призма деп те аталады. Бұл гиперкөлемнің өлшем бірлігі ретінде қабылданатын төрт өлшемді политоп. Коксетер оны γ4 политопы деп атайды. Өлшем туралы сілтемесіз гиперкуб термині көбінесе осы нақты политоптың синонимі ретінде қарастырылады. Оксфорд ағылшын сөздігі "тесеракт" сөзін Чарльз Говард Хинтонның 1888 жылғы "Жаңа ой дәуірі" кітабымен байланыстырады. Бұл термин грек тіліндегі téssara (τέσσαρα 'төрт') және aktís (ἀκτίς 'сәуле') сөздерінен туындаған, бұл әр төбеден басқа төбелерге дейінгі төрт қабырғаны білдіреді. Хинтон бастапқыда бұл сөзді тессаракт деп жазған.

Геометрия

Әрбір қабырғасы бойынша үш кубтан жиналған тұрақты политоп ретінде, ол {4,3,3} Шлефли символымен және 384 реттік гипер октаэдрлік симметриямен сипатталады. Екі параллель кубтан құралған 4D гиперпризма ретінде жасалған, оны {4,3} × { } құрама Шлефли символымен, 96 реттік симметриясымен атауға болады. 4 4 дуопризмасы ретінде, екі квадраттың декартылық көбейтіндісі ретінде, оны {4}×{4} құрама Шлефли символымен, 64 реттік симметриясымен атауға болады. Ортотоп ретінде оны { } × { } × { } × { } немесе { }4 композиттік Шлефли символы арқылы, 16 реттік симметриясымен көрсетуге болады. Тессеракттың әрбір төбесі төрт қабырғаға іргелес болғандықтан, тессеракттың төбелік фигурасы тұрақты тетраэдр болып табылады. Тессеракттың дуалды политопы – {3,3,4} Шлефли символы бар 16 ұяшық, оны тессеракт пен 16 ұяшықтың қосындысын жасау үшін біріктіруге болады. Тұрақты тессеракттың әрбір қабырғасының ұзындығы бірдей. Бұл тессеракттарды желілік топологияның негізі ретінде пайдаланып, бірнеше процессорларды параллель есептеуде байланыстырғанда маңызды: екі түйін арасындағы қашықтық ең көп дегенде 4-ке жетеді және салмақты теңестіруге мүмкіндік беретін көптеген жолдар бар. Тессеракт сегіз үш өлшемді гипержазықтықпен шектелген. Параллель емес гипержазықтықтардың әрбір жұбы 24 шаршы жақ құру үшін қиылысады. Үш куб және үш квадрат әрбір қабырғада қиылысады. Әрбір төбеде төрт куб, алты квадрат және төрт қабырға кездеседі. Барлығында, тессеракт 8 кубтан, 24 квадраттан, 32 қабырғадан және 16 төбеден тұрады.

Координаттары

Бірлік тесеракттың қабырға ұзындығы 1-ге тең, және әдетте 4 өлшемді кеңістіктегі гиперкөлемнің негізгі бірлігі ретінде қабылданады. 4 өлшемді кеңістік үшін Картезиандық координаттар жүйесіндегі бірлік тесеракттың [0, 0, 0, 0] және [1, 1, 1, 1] координаталарында екі қарама-қарсы төбесі бар, ал қалған төбелері 0 және 1-дің барлық мүмкін комбинацияларынан құралған координаталарға ие. Ол әр осьтегі [0, 1] жабық аралығының декарт көбейтіндісі болып табылады. Кейде бірлік тесеракт бастапқы нүктеде орналасады, осылайша оның координаттары симметриялырақ болады. Бұл әр осьтегі жабық аралықтың декарт көбейтіндісі. Тағы бір жиі қолданылатын тесеракт – әр осьтегі [−1, 1] жабық аралығының декарт көбейтіндісі, төбелері (±1, ±1, ±1, ±1) координаталарында орналасқан. Бұл тесеракттың қабырға ұзындығы 2-ге тең, ал гиперкөлемі 2^(4) = 16-ға тең.

Желілік

Политоптың жазылуы тор деп аталады. Тессеракттың 261 ерекше торы бар. Тессеракттың жазылуларын торларды жұптасқан ағаштарға (ағаш пен оның толықтырылымындағы толық сәйкестік) бейнелеу арқылы санауға болады.

Конфигурация ретінде

Бұл конфигурациялық матрица тесерактты көрсетеді. Жолдар мен бағандар төбелерге, қабырғаларға, жақтарға және жасушаларға сәйкес келеді. Диагональдағы сандар тесеракттың ішінде әрбір элементтің неше рет кездесетінін көрсетеді. Диагональ емес сандар бағандағы элементтердің қатардағы элементтерде немесе оның бойында неше рет кездесетінін көрсетеді. Мысалы, екінші жолдың бірінші бағанындағы 2 саны әрбір қабырғаның шетінде 2 төбе бар екенін көрсетеді; ал бірінші жолдың екінші бағанындағы 4 саны әрбір төбеде 4 қабырға кездесетінін көрсетеді.

Тесселяция

Тесеракт, барлық гиперкубтар сияқты, Евклид кеңістігін теселяциялайды. Әр бетінің айналасында 4 тесеракттан тұратын өзіне-өзі жұп тесерактикалық бал арасының Schläfli символы {4,3,3,4}. Осыдан тесеракттың диэдр бұрышы 90° екендігі көрінеді. Тесеракттың радиалды теңқабырлы симметриясы оның теселяциясын кез келген өлшемдегі бірдей өлшемдегі шарлардың бірегей реттелген денеорталық кубтық торы етеді.

Танымал мәдениетте

Төрт өлшемді гиперкубтар табылғаннан бері өнер, сәулет және ғылыми фантастикада танымал тақырыпқа айналды. Көрікті мысалдар:

"And He Built a Crooked House" – Роберт Хайнлайнның 1940 жылы жарық көрген ғылыми-фантастикалық әңгімесі, онда төрт өлшемді гиперкуб пішіндес ғимарат бейнеленген. Осы және Мартин Гарднердің 1946 жылы жарияланған "The No Sided Professor" еңбегі ғылыми фантастикадағы алғашқы туындылардың бірі болып табылады, олар оқырмандарға Мёбиус лентасы, Клейн бөтелкесі және гиперкуб (тесеракт) туралы мәлімет береді. Сальвадор Далидің 1954 жылғы "Крестке айдалу (Corpus Hypercubus)" атты майлы суреті, онда төрт өлшемді гиперкуб үш өлшемді латын кресіне айналдырылған. 1989 жылы Париждің жанында аяқталған монумент және ғимарат – Гранде Арк. Монументтің инженері Эрик Рейцельдің сөзіне сәйкес, Гранде Арк гиперкубтың проекциясына ұқсас етіп жобаланған. "Fez" – ойын, онда басқа кейіпкерлер көре алмайтын екі өлшемнен тыс көре алатын кейіпкерді ойнайсыз және платформалық жұмбақтарды шешу үшін осы қабілетті пайдалану қажет. Ойын "Dot" атты тесерактты ұсынады, ол ойыншыға әлемді шарлауға көмектеседі және қабілеттерді қалай пайдалану керектігін түсіндіреді, бұл белгілі өлшемді кеңістікті адамдық қабылдаудан тыс көру тақырыбына сай келеді. Кейіннен "тесеракт" сөзі көптеген басқа қолданыстарда танымал мәдениетте пайда болды, соның ішінде ғылыми фантастика туындыларында сюжеттік құрал ретінде, көбінесе төрт өлшемді гиперкубпен байланысы жоқ немесе аз; қараңыз Тесеракт (аңдатпа).