Кіріспе
Төрт түстің теоремасының дәлелденбеген жалпылауы
In graph theory, the Hadwiger conjecture states that if is loopless and has no minor then its chromatic number satisfies It is known to be true for The conjecture is a generalization of the four color theorem and is considered to be one of the most important and challenging open problems in the field. In more detail, if all proper colorings of an undirected graph use or more colors, then one can find disjoint connected subgraphs of such that each subgraph is connected by an edge to each other subgraph. Contracting the edges within each of these subgraphs so that each subgraph collapses to a single vertex produces a complete graph on vertices as a minor of
This conjecture, a far reaching generalization of the four color problem, was made by Hugo Hadwiger in 1943 and is still unsolved. call it "one of the deepest unsolved problems in graph theory."
Графтар теориясында Хадвигер болжамы, егер граф бұрандасыз және миноры болмаса, онда оның хроматикалық саны қанағаттандырады деп айтылады. Бұл болжам төрт түстің теоремасының жалпылауы болып табылады және саладағы ең маңызды және шешуге қиын ашық проблемалардың бірі саналады. Егер бағытталмаған графтың барлық дұрыс түстеуі бір немесе одан көп түс қолданса, онда әрбір субграфтың өзге субграфтардың әрқайсысына қабырға арқылы қосылған, бір-бірімен байланысқан субграфтарды табуға болады. Осы субграфтардың әрқайсысының ішіндегі қабырғаларды қысқарту арқылы әрбір субграф бір төбеге дейін қысқарып, төбелеріндегі толық графты минор ретінде шығаруға болады.
In graph theory, the Hadwiger conjecture states that if is loopless and has no minor then its chromatic number satisfies It is known to be true for The conjecture is a generalization of the four color theorem and is considered to be one of the most important and challenging open problems in the field. In more detail, if all proper colorings of an undirected graph use or more colors, then one can find disjoint connected subgraphs of such that each subgraph is connected by an edge to each other subgraph. Contracting the edges within each of these subgraphs so that each subgraph collapses to a single vertex produces a complete graph on vertices as a minor of
This conjecture, a far reaching generalization of the four color problem, was made by Hugo Hadwiger in 1943 and is still unsolved. call it "one of the deepest unsolved problems in graph theory."
Бұл төрт түстің мәселесінің кең ауқымды жалпылауын 1943 жылы Хьюго Хадвигер ұсынған және ол әлі де шешілмеген. Оны "графтар теориясындағы ең терең шешілмеген проблемалардың бірі" деп атайды.
In graph theory, the Hadwiger conjecture states that if is loopless and has no minor then its chromatic number satisfies It is known to be true for The conjecture is a generalization of the four color theorem and is considered to be one of the most important and challenging open problems in the field. In more detail, if all proper colorings of an undirected graph use or more colors, then one can find disjoint connected subgraphs of such that each subgraph is connected by an edge to each other subgraph. Contracting the edges within each of these subgraphs so that each subgraph collapses to a single vertex produces a complete graph on vertices as a minor of
This conjecture, a far reaching generalization of the four color problem, was made by Hugo Hadwiger in 1943 and is still unsolved. call it "one of the deepest unsolved problems in graph theory."
Теңдес нысандар
Хадвигер болжамының эквивалентті түрі (жоғарыда көрсетілген түрінің керісі) – егер графты толық графқа жеткізетін жиектерді қысқарту тізбегі болмаса (әрқайсысы кейбір жиектің екі ұшын бір супертөбеге біріктіретін), онда графты түстермен бояуға болады. Кез келген графтың минималды бояуында, бояудың әрбір түстік класын бір төбеге қысқарту толық графты тудырады. Алайда, бұл қысқарту процесі графтың кіші графигін (minor) жаратпайды, себебі (анықтама бойынша) бір түстік кластағы екі төбе арасында жиек болмайды, демек, бұл жиектерді қысқарту емес (кіші графикті табу үшін қажеттісі). Хадвигердің болжамына сәйкес, төбелер жиынын бір төбеге дұрыс қысқартудың басқа тәсілі бар, нәтижесінде толық граф пайда болады, мұнда барлық қысқартылған жиындар байланысты. Егер графтардың барлық кіші графиктері бояла алатын қасиетке ие графтар отбасын білдірсе, онда Робертсон-Сеймур теоремасынан, оны шекті тыйым салынған кіші графиктерінің жиынтығымен сипаттауға болады. Хадвигердің болжамы бойынша, бұл жиынтық бір тыйым салынған кіші графиктен тұрады. Графтың Хадвигер саны – графтың кіші графигі болып табылатын ең үлкен толық графтың өлшемі (немесе эквивалентті түрде, оның жиектерін қысқарту арқылы алуға болады). Бұл санды жиектерді қысқару тобы деп те атайды. Хадвигер болжамын қарапайым алгебралық түрде былай көрсетуге болады: , мұнда – графтың хроматикалық саны.
The Hadwiger number of a graph is the size of the largest complete graph that is a minor of (or equivalently can be obtained by contracting edges of ). It is also known as the contraction clique number The Hadwiger conjecture can be stated in the simple algebraic form where denotes the chromatic number of .
Ерекше жағдайлар және ішінара нәтижелер
Бұл жағдай тривиальды: граф бірден көп түс қажет етеді, егер және тек қана егер оның жиегі болса, ал бұл жиек өзі кіші граф болып табылады. Бұл жағдай да оңай: үш түс қажет ететін графтар – екі бөлікті емес графтар, және әрбір екі бөлікті емес графтың тақ циклдары бар, оларды 3 циклға, яғни кіші графқа қысқартуға болады. Осы болжамды енгізген мақаласында Хадвигер оның дұрыстығын дәлелдеді. Бұл типтегі әрбір графтың ең көп дегенде екі жақын жиегі бар төбесі болады; мұндай графты бір төбесін алып тастап, қалған графы рекурсивті түрде бояп, содан кейін алып тасталған төбені қайта қосып бояуға болады. Алып тасталған төбеде ең көп дегенде екі жиек болғандықтан, төбе қайта қосылғанда оны бояу үшін үш түстің бірі әрқашан қолжетімді болады. Егер болжам дұрыс болса, бес немесе одан да көп түс қажет ететін әрбір граф кіші графқа ие болады және (Вагнер теоремасы бойынша) жазық емес болады. Клаус Вагнер 1937 жылы осы жағдайдың төрт түстің теоремасына эквивалентті екенін дәлелдеді, сондықтан оның дұрыс екенін білеміз. Вагнер көрсеткендей, кіші графтары жоқ әрбір графты кликалық қосынды арқылы жазық немесе 8 төбесі бар Мёбиус бағанасына бөлуге болады, және осы бөліктердің әрқайсысын бір-біріне тәуелсіз 4 түспен бояуға болады, сондықтан кіші графтары жоқ графты 4 түспен бояу жазық бөліктердің әрқайсысын 4 түспен бояуға байланысты. , үшін болжамды төрт түстің теоремасын қолдана отырып дәлелдеді; олардың бұл дәлелмен жазған мақаласы 1994 жылы Фулкерсон сыйлығын жеңіп алды. Олардың дәлелдеуінен, үш өлшемді жазық графтардың аналогы – байланыссыз ендірілетін графтардың хроматикалық саны ең көп дегенде бес екені шығады. Осы нәтижеге байланысты, болжамның , үшін дұрыс екені белгілі, бірақ ол барлық үшін әлі де шешілмеген. , үшін кейбір ішінара нәтижелер белгілі: әрбір 7-хроматикалық граф кіші графты немесе кіші графты және кіші графты қамтуы керек. Әрбір графтың ең көп дегенде жақын жиектері бар төбесі болады, одан кейін осы төмен дәрежелі төбесі алынып тасталған, қалған графы боялған, содан кейін алынып тасталған төбесі қосылған және боялған, берілген графты түстермен бояуға болады. 1980-ші жылдары Александр В. Косточка мен Эндрю Томассон тәуелсіз түрде әрбір графтың орташа дәрежесі бар екенін және осылайша түстерді қолдану арқылы бояуға болатынын дәлелдеді. Бұл шекті жақсартулар тізбегі кіші графтары жоқ графтар үшін түстелуді дәлелдеуге әкелді.
For , some partial results are known: every 7 chromatic graph must contain either a minor or both a minor and a minor. Every graph has a vertex with at most incident edges, from which it follows that a greedy coloring algorithm that removes this low degree vertex, colors the remaining graph, and then adds back the removed vertex and colors it, will color the given graph with colors. In the 1980s, Alexander V. Kostochka and Andrew Thomason both independently proved that every graph with no minor has average degree and can thus be colored using colors. A sequence of improvements to this bound have led to a proof of colorability for graphs without minors.
Жалпылау
Гьёрги Хайос Хадвигердің болжамын кішігірімдерге емес, бөліністерге күшейтуге болады деп болжады: яғни, хроматикалық саны бар әрбір граф толық графтың бөлінісін қамтиды. Хайостың болжамы үшін дұрыс, бірақ осы күшейтілген болжамға қарсы мысалдар табылды; және жағдайлары зерттелді. Байқалады, Хайостың болжамы кездейсоқ графтар үшін нашар орындалады: кез келген үшін, төбелер санының шегінде, нүктелер саны шексізге ұмтылғанда, кездейсоқ графтың хроматикалық саны және оның ең ірі толық бөлінісінің төбелер саны жақындайды. Бұл контексте, кездейсоқ графтың Хадвигер саны оның хроматикалық санынан кем емес болу ықтималдығы бірге жақындайтынын атап өткен жөн, сондықтан Хадвигердің болжамы жоғары ықтималдықпен кездейсоқ графтар үшін орындалады; нақтырақ айтқанда, Хадвигер саны жоғары ықтималдықпен пропорционалды.
asked whether Hadwiger's conjecture could be extended to list coloring. For , every graph with list chromatic number has a vertex clique minor. However, the maximum list chromatic number of planar graphs is 5, not 4, so the extension fails already for minor free graphs. More generally, for every , there exist graphs whose Hadwiger number is and whose list chromatic number
Gerards and Seymour conjectured that every graph with chromatic number has a complete graph as an odd minor. Such a structure can be represented as a family of vertex disjoint subtrees of , each of which is two colored, such that each pair of subtrees is connected by a monochromatic edge. Although graphs with no odd minor are not necessarily sparse, a similar upper bound holds for them as it does for the standard Hadwiger conjecture: a graph with no odd minor has chromatic number
By imposing extra conditions on , it may be possible to prove the existence of larger minors than One example is the snark theorem, that every cubic graph requiring four colors in any edge coloring has the Petersen graph as a minor, conjectured by W. T. Tutte and announced to be proved in 2001 by Robertson, Sanders, Seymour, and Thomas.
Хадвигердің болжамын тізімдік бояуға кеңейтуге бола ма деген сұрақ туды. үшін, әрбір тізімдік хроматикалық саны бар граф төбесі бар толық кликаның кішігірімін қамтиды. Алайда, жазық графтардың максималды тізімдік хроматикалық саны 5, 4 емес, сондықтан кеңейту кішігірімдері жоқ графтар үшін де орындалмайды. Жалпы алғанда, әрбір үшін, Хадвигер саны және тізімдік хроматикалық саны бар графтар бар.
asked whether Hadwiger's conjecture could be extended to list coloring. For , every graph with list chromatic number has a vertex clique minor. However, the maximum list chromatic number of planar graphs is 5, not 4, so the extension fails already for minor free graphs. More generally, for every , there exist graphs whose Hadwiger number is and whose list chromatic number
Gerards and Seymour conjectured that every graph with chromatic number has a complete graph as an odd minor. Such a structure can be represented as a family of vertex disjoint subtrees of , each of which is two colored, such that each pair of subtrees is connected by a monochromatic edge. Although graphs with no odd minor are not necessarily sparse, a similar upper bound holds for them as it does for the standard Hadwiger conjecture: a graph with no odd minor has chromatic number
By imposing extra conditions on , it may be possible to prove the existence of larger minors than One example is the snark theorem, that every cubic graph requiring four colors in any edge coloring has the Petersen graph as a minor, conjectured by W. T. Tutte and announced to be proved in 2001 by Robertson, Sanders, Seymour, and Thomas.
Герардс пен Сеймур хроматикалық саны бар әрбір граф толық графты тақ кішігірім ретінде қамтиды деп болжады. Мұндай құрылымды төбелері толық ажыратылған субағаштардың жиынтығы ретінде көрсетуге болады, олардың әрқайсысы екі түспен боялған, және әрбір субағаштар жұбы монохроматикалық жиекпен байланысқан. Тақ кішігірімдері жоқ графтар міндетті түрде сирек болмаса да, олар үшін стандартты Хадвигерлік болжаммен бірдей жоғарғы шек сақталады: тақ кішігірімдері жоқ графтың хроматикалық саны .
asked whether Hadwiger's conjecture could be extended to list coloring. For , every graph with list chromatic number has a vertex clique minor. However, the maximum list chromatic number of planar graphs is 5, not 4, so the extension fails already for minor free graphs. More generally, for every , there exist graphs whose Hadwiger number is and whose list chromatic number
Gerards and Seymour conjectured that every graph with chromatic number has a complete graph as an odd minor. Such a structure can be represented as a family of vertex disjoint subtrees of , each of which is two colored, such that each pair of subtrees is connected by a monochromatic edge. Although graphs with no odd minor are not necessarily sparse, a similar upper bound holds for them as it does for the standard Hadwiger conjecture: a graph with no odd minor has chromatic number
By imposing extra conditions on , it may be possible to prove the existence of larger minors than One example is the snark theorem, that every cubic graph requiring four colors in any edge coloring has the Petersen graph as a minor, conjectured by W. T. Tutte and announced to be proved in 2001 by Robertson, Sanders, Seymour, and Thomas.
қосымша шарттарды қою арқылы, одан үлкен кішігірімдердің бар екенін дәлелдеу мүмкін. Бір мысал – snark теоремасы: кез келген жиек бояуында төрт түс қажет болатын әрбір кубикалық графтың Петерсен графигі кішігірім ретінде бар, бұл W. T. Tutte болжаған және 2001 жылы Робертсон, Сандерс, Сеймур және Томас дәлелдегенін жариялаған.
asked whether Hadwiger's conjecture could be extended to list coloring. For , every graph with list chromatic number has a vertex clique minor. However, the maximum list chromatic number of planar graphs is 5, not 4, so the extension fails already for minor free graphs. More generally, for every , there exist graphs whose Hadwiger number is and whose list chromatic number
Gerards and Seymour conjectured that every graph with chromatic number has a complete graph as an odd minor. Such a structure can be represented as a family of vertex disjoint subtrees of , each of which is two colored, such that each pair of subtrees is connected by a monochromatic edge. Although graphs with no odd minor are not necessarily sparse, a similar upper bound holds for them as it does for the standard Hadwiger conjecture: a graph with no odd minor has chromatic number
By imposing extra conditions on , it may be possible to prove the existence of larger minors than One example is the snark theorem, that every cubic graph requiring four colors in any edge coloring has the Petersen graph as a minor, conjectured by W. T. Tutte and announced to be proved in 2001 by Robertson, Sanders, Seymour, and Thomas.