Кіріспе
Математикадағы мәлімдеме
Математикада төрт түсті теорема немесе төрт түсті карта теоремасы, кез келген картаның аймақтарын бояу үшін ең көп төрт түс қажет екенін, ал екі іргелес аймақтың түсі бірдей болмауы керек екенін көрсетеді. Іргелес дегеніміз – екі аймақтың нөлдік емес ұзындығы бар ортақ шекарасы бар екендігі (яғни, үш немесе одан көп аймақ жиналатын жай ғана бұрыш емес). Бұл компьютерді пайдаланып дәлелденген алғашқы маңызды теорема болды. Бастапқыда, компьютердің көмегімен алынған бұл дәлелді барлық математиктер қабылдаған жоқ, себебі адамның қолмен тексеруіне тым қиын болды. Сол кездегі күмәндар болғанымен, дәлел кеңінен қабылданып, қазірге дейін қолданылып келеді. Теорема, бес түсті теореманың күштірек түрі болып табылады, оны қарапайым аргумент арқылы көрсетуге болады. Әлсіз бес түсті теорема 1800 жылдардың өзінде дәлелденген болатын, бірақ төрт түсті теорема 1976 жылға дейін Кеннет Аппель мен Вольфганг Хакеннің дәлелдеуіне дейін шешілмей келді. Бұл, бұрынғы онжылдықтарда көптеген жалған дәлелдер мен қате мысалдардан кейін болды. Аппель-Хакеннің дәлелі өте көп сандағы қысқартылатын конфигурацияларды талдау арқылы жүзеге асырылды. 1997 жылы Робертсон, Сандерс, Сеймур және Томас бұл көрсеткішті жақсарып, мұндай конфигурациялардың санын 633-ке дейін азайтты – бұл әлі де өте ұзақ жағдайды талдауды қажет етеді. 2005 жылы Жорж Гонтьер теореманы жалпы мақсаттағы теореманы дәлелдейтін бағдарламалық жасақтаманы қолдана отырып тексерді.
Теореманың нақты тұжырымдамасы
Граф теориясы тұрғысынан алғанда, теорема loopless planar graph үшін оның хроматикалық саны төртке тең. Төрт түсті теореманың интуитивті тұжырымы – "жазықтық кез келген жалғасқан аймақтарға бөлінген болса, аймақтарды ең көп дегенде төрт түспен бояуға болады, осылайша екі іргелес аймақтың түсі бірдей болмайды" – дұрыс болу үшін тиісті түсіндірілуі керек. Біріншіден, аймақтар ортақ шекаралық бөлігін бөліссе ғана іргелес болып саналады; тек оқшауланған шекаралық нүктелерді бөлісетін екі аймақ іргелес емес. (Әйтпесе, пішіні торт диаграммасы сияқты картада ортақ бұрышта өте көп аймақтар бір-біріне «іргелес» болып келеді де, нәтижесінде өте көп түс қажет болады.) Екіншіден, шекті ауданы болғанымен, шексіз ұзын периметрі бар сияқты ерекше аймақтарға рұқсат етілмейді; мұндай аймақтары бар карталар төрт түстен артық талап етуі мүмкін. (Қауіпсіздік үшін шекаралары шекті сандағы түзу сызық сегменттерінен тұратын аймақтармен шектелуге болады. Аймақтың ішінде анклавтар болуы мүмкін, яғни ол бір немесе бірнеше басқа аймақтарды толық қоршап тұрады.) «Жалғасқан аймақ» (техникалық тұрғыда: жазықтықтың байланысты ашық ішкі жиыны) түсінігі, әдеттегі карталардағы «ел» түсінігінен өзгеше, себебі елдер жалғасқан болуы міндетті емес (оларда эксклавтар болуы мүмкін, мысалы, Анголаның бөлігі Кабинда провинциясы, Әзірбайжанның бөлігі Нахичеван, Ресейдің бөлігі Калининград, Францияның теңізден тыс территориялары және АҚШ-тың бөлігі Аляска жалғаспайды). Егер елдің барлық аумағын бір түспен бояу қажет болса, онда төрт түс әрқашан жеткіліксіз болады. Мысалы, қарапайым картаны қарастырайық: осы картада А деп белгіленген екі аймақ бір елге жатады. Егер осы аймақтардың бірдей түс болуын қаласақ, онда бес түс қажет болады, себебі екі А аймағы төрт басқа аймаққа іргелес, ал олардың әрқайсысы қалғандарына іргелес. Екі бөлек аймақты бірдей түспен бояу қажеттілігін оларды жазықтықтың сыртында біріктіретін «қолсаушыны» қосу арқылы модельдеуге болады. Мұндай құрылым мәселені торусқа (жынысы 1 бет) картаны бояуға теңестіреді, бұл кез келген карта үшін 7 түске дейін қажет болуы мүмкін. Бұған ұқсас құрылым, егер бір түс бірнеше ажыратылған аймақтар үшін қолданылса, нақты карталардағы су айдындары үшін немесе ажыратылған территориялары бар елдер көп болғанда да қолданылады. Мұндай жағдайларда пайда болатын беттің туысы өскен сайын көбірек түс қажет болуы мүмкін. (Төмендегі «Жалпылаулар» бөлімін қараңыз.) Теореманың қарапайым тұжырымы граф теориясын пайдаланады. Картаның аймақтар жиынтығын абстрактілі түрде бағытталмаған граф ретінде бейнелеуге болады, онда әр аймақ үшін бір түйін және ортақ шекаралық бөлігі бар аймақтар жұбы үшін бір қабырға болады. Бұл граф жазық: оны жазықтықта қиылыстарсыз салуға болады, әр түйінді оған сәйкес келетін аймақтың ішінде кездейсоқ таңдалған орынға орналастыру арқылы және қабырғаларды қиылыстарсыз қисықтар ретінде салу арқылы, бір аймақтың түйінінен ортақ шекаралық бөлігі арқылы көршілес аймақтың түйініне дейін жетеді. Керісінше, кез келген жазық графты осылайша картадан құрауға болады. Граф теориясы терминологиясында төрт түсті теорема әрбір жазық графтың түйіндерін ең көп дегенде төрт түспен бояуға болады, осылайша екі іргелес түйіннің түсі бірдей болмайды, немесе қысқаша: әрбір жазық граф төрт түске боялады.
The intuitive statement of the four color theorem – "given any separation of a plane into contiguous regions, the regions can be colored using at most four colors so that no two adjacent regions have the same color" – needs to be interpreted appropriately to be correct. First, regions are adjacent if they share a boundary segment; two regions that share only isolated boundary points are not considered adjacent. (Otherwise, a map in a shape of a pie chart would make an arbitrarily large number of regions 'adjacent' to each other at a common corner, and require arbitrarily large number of colors as a result.) Second, bizarre regions, such as those with finite area but infinitely long perimeter, are not allowed; maps with such regions can require more than four colors. (To be safe, we can restrict to regions whose boundaries consist of finitely many straight line segments. It is allowed that a region has enclaves, that is it entirely surrounds one or more other regions.) Note that the notion of "contiguous region" (technically: connected open subset of the plane) is not the same as that of a "country" on regular maps, since countries need not be contiguous (they may have exclaves, e. g., the Cabinda Province as part of Angola, Nakhchivan as part of Azerbaijan, Kaliningrad as part of Russia, France with its overseas territories, and Alaska as part of the United States are not contiguous). If we required the entire territory of a country to receive the same color, then four colors are not always sufficient. For instance, consider a simplified map:
In this map, the two regions labeled A belong to the same country. If we wanted those regions to receive the same color, then five colors would be required, since the two A regions together are adjacent to four other regions, each of which is adjacent to all the others. Forcing two separate regions to have the same color can be modelled by adding a 'handle' joining them outside the plane. Such construction makes the problem equivalent to coloring a map on a torus (a surface of genus 1), which requires up to 7 colors for an arbitrary map. A similar construction also applies if a single color is used for multiple disjoint areas, as for bodies of water on real maps, or there are more countries with disjoint territories. In such cases more colors might be required with a growing genus of a resulting surface. (See the section Generalizations below.) A simpler statement of the theorem uses graph theory. The set of regions of a map can be represented more abstractly as an undirected graph that has a vertex for each region and an edge for every pair of regions that share a boundary segment. This graph is planar: it can be drawn in the plane without crossings by placing each vertex at an arbitrarily chosen location within the region to which it corresponds, and by drawing the edges as curves without crossings that lead from one region's vertex, across a shared boundary segment, to an adjacent region's vertex. Conversely any planar graph can be formed from a map in this way. In graph theoretic terminology, the four color theorem states that the vertices of every planar graph can be colored with at most four colors so that no two adjacent vertices receive the same color, or for short: every planar graph is four colorable.
Алғашқы дәлелдеу әрекеттері
Белгілі болғандай, бұл болжам алғаш рет 1852 жылғы 23 қазанда Франсис Гатри Англия округтерінің картасын бояуға тырысқанда, тек төрт түрлі түс қажет екенін байқаған кезде ұсынылды. Сол кезде Гатридің ағасы Фредерик Лондон университетінің колледжінде Август Де Морганның (Франсисктің бұрынғы кеңесшісі) студенті болды. Франсис Фредерикке бұл туралы сұрақ қойды, ол оны Де Морганға жеткізді (Франсис Гатри 1852 жылы бітіріп, кейін Оңтүстік Африкада математика профессоры болды). Де Морганның айтуынша: «Менің бір студентім (Гатри) бүгін маған бір фактіні түсіндіруді сұрады, ол факті екенін мен білмедім, әлі де білмеймін. Оның айтуынша, егер фигура қандай да бір жолмен бөлінгенде және бөліктері әртүрлі түстермен боялғанда, ортақ шекарасы бар фигуралар әртүрлі түстерде болуы керек – төрт түс қажет болуы мүмкін, бірақ одан көп емес. Міне, төрт түс қажет болатын жағдай. Сұрақ: бес немесе одан көп түс қажет болуы мүмкін бе?» «F. G.», болуы мүмкін екі Гатридің бірі, 1854 жылы «Афинеумда» бұл сұрақты жариялады, ал Де Морган 1860 жылы сол журналда осы сұрақты қайта қойды. Тағы бір ерте жарияланған сілтеме болжамды Де Морганға жатқызады. Теореманы дәлелдеуге бірнеше сәтсіз әрекеттер жасалды. Де Морган бұл төрт аймаққа қатысты қарапайым фактіден туындайды деп сенді, бірақ ол бұл фактіні негізгі фактілерден шығаруға болады деп ойлаған жоқ. Бұл келесідей болады: Бізге көршілес жатқанда төрт түс қажет емес, егер төрт округ болмаса, олардың әрқайсысының шекарасы басқа үш округтің әрқайсысымен ортақ. Мұндай жағдай төрт аймақпен бірге болмайды, егер олардың бірі немесе бірнешесі қалғандарымен шектелмесе; және шектелген округ үшін қолданылатын түс осылайша еркін қолданылуға мүмкіндік алады. Енді, төрт аймақтың әрқайсысы басқа үш аймақпен ортақ шекараға ие бола алмайды деп толық сенеміз, олардың бірі шектелмесе; ол постулат ретінде тұруы керек. Тағы бір дәлелді 1880 жылы Питер Гатри Тейт берді. Тек 1890 жылы Перси Хьювуд Кемптің дәлелі дұрыс емес екенін көрсетті, ал 1891 жылы Тайттың дәлелі Юлиус Петерсен тарапынан дұрыс емес деп танылды – әр жалған дәлел 11 жыл бойы сынға түспеді. 1890 жылы Хьювуд Кемптің дәлеліндегі қателікті ашумен қатар, бес түсті теореманы дәлелдеді және төрт түсті болжамды кез келген родтың беттеріне жалпылады. Тейт 1880 жылы төрт түсті теорема белгілі бір типтегі графқа (қазіргі терминологияда «snark» деп аталады) жазықтық емес болуы керек деген мәлімдемеге тең екенін көрсетті. 1943 жылы Хьюго Хадвигер төрт түстің мәселесін кеңінен жалпылайтын Хадвигер жорамалын ұсынды, ол әлі күнге дейін шешілмеген.
A student of mine [Guthrie] asked me to day to give him a reason for a fact which I did not know was a fact—and do not yet. He says that if a figure be any how divided and the compartments differently colored so that figures with any portion of common boundary line are differently colored—four colors may be wanted but not more—the following is his case in which four colors are wanted. Query cannot a necessity for five or more be invented
"F. G.", perhaps one of the two Guthries, published the question in The Athenaeum in 1854, and De Morgan posed the question again in the same magazine in 1860. Another early published reference by in turn credits the conjecture to De Morgan. There were several early failed attempts at proving the theorem. De Morgan believed that it followed from a simple fact about four regions, though he didn't believe that fact could be derived from more elementary facts. <blockquote>This arises in the following way. We never need four colours in a neighborhood unless there be four counties, each of which has boundary lines in common with each of the other three. Such a thing cannot happen with four areas unless one or more of them be inclosed by the rest; and the colour used for the inclosed county is thus set free to go on with. Now this principle, that four areas cannot each have common boundary with all the other three without inclosure, is not, we fully believe, capable of demonstration upon anything more evident and more elementary; it must stand as a postulate. another was given by Peter Guthrie Tait in 1880. It was not until 1890 that Kempe's proof was shown incorrect by Percy Heawood, and in 1891, Tait's proof was shown incorrect by Julius Petersen—each false proof stood unchallenged for 11 years. In 1890, in addition to exposing the flaw in Kempe's proof, Heawood proved the five color theorem and generalized the four color conjecture to surfaces of arbitrary genus. Tait, in 1880, showed that the four color theorem is equivalent to the statement that a certain type of graph (called a snark in modern terminology) must be non planar. In 1943, Hugo Hadwiger formulated the Hadwiger conjecture, a far reaching generalization of the four color problem that still remains unsolved.
Компьютерлік дәлелдеу
1960 және 1970 жылдары неміс математигі Генрих Хиш дәлелді табу үшін компьютерлерді пайдалану әдістерін әзірледі. Ол теореманы дәлелдеу үшін бірінші болып разрядтау әдісін қолданды, бұл кейінгі Аппель-Хакен дәлелінің қажетсіздік бөлігінде маңызды болып шықты. Ол сондай-ақ қысқарту мүмкіндігі туралы ұғымды кеңейтті және Кен Дурремен бірге оны тексеруге арналған компьютерлік тест жасады. Өкінішке орай, осы шешуші сәтте ол жұмысын жалғастыру үшін қажетті суперкомпьютер уақытын ала алмады. Басқалар оның әдістерін, соның ішінде компьютерлік көмекпен жасалған тәсілін де қабылдады. Басқа математиктердің топтары дәлелдеуді аяқтауға асығып жатқанда, Иллинойс университетінің Кеннет Аппель мен Вольфганг Хакен 1976 жылдың 21 маусымында теореманы дәлелдегендерін жариялады. Джон А. Кох оларға алгоритмдік жұмыста көмектесті. Егер төрт түстің болжамы жалған болса, онда бес түс қажет болатын ең аз аймақ саны бар кем дегенде бір карта болуы керек. Дәлелдеу екі техникалық ұғымды қолдану арқылы мұндай минималды қарсы мысалдың болуы мүмкін емес екенін көрсетті: қажетсіз жиын – бұл конфигурациялардың жиынтығы, сондықтан 4 түспен боялмаған минималды үшбұрыштың болуы үшін қажетті шарттарды қанағаттандыратын әрбір картада (мысалы, ең төменгі дәрежесі 5) осы жиынтықтан кем дегенде бір конфигурация болуы керек. Қысқартуға болатын конфигурация – бұл минималды қарсы мысалда кездеспейтін елдердің орналасуы. Егер картада қысқартуға болатын конфигурация болса, картаны кішірек картаға дейін қысқартуға болады. Бұл кішірек картаның шарты – егер оны төрт түспен бояу мүмкін болса, бұл бастапқы картаға да қатысты. Бұл бастапқы картаны төрт түспен бояу мүмкін болмаса, кішірек картаны да бояу мүмкін емес екенін білдіреді, сондықтан бастапқы карта минималды емес. Математикалық ережелер мен процедураларды, қысқартуға болатын конфигурациялардың қасиеттеріне негізделген түрде қолдану арқылы Аппель мен Хакен қысқартуға болатын конфигурациялардың қажетсіз жиынтығын тапты, осылайша төрт түстің болжамына қарсы минималды мысалдың болуы мүмкін емес екенін дәлелдеді. Олардың дәлелдеуі мүмкін карталардың шексіз санын 1834 қысқартуға болатын конфигурацияға дейін азайтты (кейін 1482-ге дейін азайтылды), оларды компьютер арқылы бірінен соң бірін тексеру қажет болды, бұл мыңнан астам сағатты алды. Бұл жұмыстың қысқарту бөлігі әртүрлі бағдарламалармен және компьютерлермен тәуелсіз екі рет тексерілді. Алайда, дәлелдеменің қажетсіз бөлігі 400-ден астам беттік микрофишкада тексерілді, оларды Хакеннің қызы Доротея Блоштейннің көмегімен қолмен тексеру қажет болды. Аппель мен Хакеннің хабарламасы әлемдік ақпарат құралдарында кеңінен жарияланды, ал Иллинойс университетінің математика факультеті «Төрт түс жеткілікті» деген пошта таңбасын пайдаланды. Сонымен қатар, дәлелдеудің ерекше сипаты – бұл компьютерлік көмекпен дәлелденген алғашқы маңызды теорема – және адамның тексеруге болатын бөлігінің күрделілігі айтарлықтай дау тудырды. 1980 жылдардың басында Аппель-Хакен дәлеліндегі қате туралы әңгімелер тарады. 1981 жылы жарияланған магистрлік диссертациясы үшін Олрих Шмидт Аахендегі RWTH-да Аппель мен Хакеннің дәлелін зерттеген. Ол қажетсіз бөліктің шамамен 40% тексеріп, разрядтау процедурасында маңызды қате тапты. 1986 жылы Аппель мен Хакенді Mathematical Intelligencer журналының редакторы олардың дәлеліндегі қателер туралы әңгімелерді талқылайтын мақала жазуға шақырды. Олар бұл әңгімелер «Шмидт нәтижелерінің дұрыс түсінілмегенінен» туындағанын айтып, егжей-тегжейлі мақаламен жауап берді. Олардың шедевр туындысы, «Кез келген жазық карта төрт түспен боялады», кітап толық және егжей-тегжейлі дәлелді (400-ден астам беттік микрофишка қосымшасымен) 1989 жылы жарық көрді; ол Шмидт тапқан қателікті және басқалар тапқан бірнеше қателікті түсіндірді және түзеді.
An unavoidable set is a set of configurations such that every map that satisfies some necessary conditions for being a minimal non 4 colorable triangulation (such as having minimum degree 5) must have at least one configuration from this set. A reducible configuration is an arrangement of countries that cannot occur in a minimal counterexample. If a map contains a reducible configuration, the map can be reduced to a smaller map. This smaller map has the condition that if it can be colored with four colors, this also applies to the original map. This implies that if the original map cannot be colored with four colors the smaller map cannot either and so the original map is not minimal. Using mathematical rules and procedures based on properties of reducible configurations, Appel and Haken found an unavoidable set of reducible configurations, thus proving that a minimal counterexample to the four color conjecture could not exist. Their proof reduced the infinitude of possible maps to 1,834 reducible configurations (later reduced to 1,482) which had to be checked one by one by computer and took over a thousand hours. This reducibility part of the work was independently double checked with different programs and computers. However, the unavoidability part of the proof was verified in over 400 pages of microfiche, which had to be checked by hand with the assistance of Haken's daughter Dorothea Blostein. Appel and Haken's announcement was widely reported by the news media around the world, and the math department at the University of Illinois used a postmark stating "Four colors suffice." At the same time the unusual nature of the proof—it was the first major theorem to be proved with extensive computer assistance—and the complexity of the human verifiable portion aroused considerable controversy. In the early 1980s, rumors spread of a flaw in the Appel–Haken proof. Ulrich Schmidt at RWTH Aachen had examined Appel and Haken's proof for his master's thesis that was published in 1981. He had checked about 40% of the unavoidability portion and found a significant error in the discharging procedure In 1986, Appel and Haken were asked by the editor of Mathematical Intelligencer to write an article addressing the rumors of flaws in their proof. They replied that the rumors were due to a "misinterpretation of [Schmidt's] results" and obliged with a detailed article. Their magnum opus, Every Planar Map is Four Colorable, a book claiming a complete and detailed proof (with a microfiche supplement of over 400 pages), appeared in 1989; it explained and corrected the error discovered by Schmidt as well as several further errors found by others.
Жайлату және тексеру
Теореманың дәлелденуінен бері жаңа тәсіл 4 түспен карта бояу үшін қысқарақ дәлелдеме мен тиімдірек алгоритмге әкелді. 1996 жылы Нил Робертсон, Дэниел П. Сандерс, Пол Сеймур және Робин Томас, Аппель мен Хакеннің дәлелдемесіне негізделген төртінші дәрежелі алгоритмді жетілдіре отырып, квадраттық уақыт алгоритмін жасады (мұнда тек O(n²) уақыт қажет, мұнда n – төбелер саны). Жаңа дәлелдеме сол идеяларға негізделген, Аппель мен Хакеннің дәлелдемесіне ұқсас, бірақ мәселенің күрделігін азайтуы және тек 633 қысқартылатын конфигурацияны тексеруді қажет етуі себепті тиімдірек. Осы жаңа дәлелдеменің қажетсіздік және қысқарту бөлімдері компьютерде орындалуы керек және қолмен тексеруге мүмкін емес. 2001 жылы сол авторлар снарк болжамын дәлелдеу арқылы балама дәлелдеме жариялады. Алайда, бұл дәлелдеме әлі жарияланбаған. 2005 жылы Бенджамин Вернер мен Жорж Гонтьер теореманың дәлелдемесін Coq дәлелдеу жүйесінде ресмилендірді. Бұл белгілі бір жағдайларды тексеру үшін қолданылатын түрлі компьютерлік бағдарламаларға сену қажеттілігін жойды; енді тек Coq ядросына сену жеткілікті.
Жалған дәлелдемелер
Төрт түстің теоремасы ұзақ тарихында көптеген жалған дәлелдемелер мен оны жоққа шығару әрекеттерімен әйгілі болды. Бастапқыда The New York Times бұрынғы дәлелдер сияқты, Appel–Haken дәлелдемесі де жалған болып шығуы мүмкін деп қорқып, осы теорема туралы хабарлаудан бас тартты. Кемпе мен Тайттың жоғарыда аталған дәлелдемелері сияқты кейбір әрекеттер жоққа шығарылғанға дейін он жылдан астам уақыт бойы көпшіліктің қарауында болды. Бірақ одан да көп, әуесқойлар жазғандары жарияланбады. Әдетте, ең қарапайым, бірақ жарамсыз қарсы мысалдар барлық басқа аймақтарға жанасатын бір аймақты құруға тырысады. Бұл қалған аймақтарды тек үш түспен бояуға мәжбүр етеді. Төрт түстің теоремасы дұрыс болғандықтан, мұндай жағдай әрқашан мүмкін; алайда, картаны салатын адам бір үлкен аймаққа назар аударғандықтан, қалған аймақтарды үш түспен бояуға болатынын байқамайды. Бұл тәсілді жалпылауға болады: кейбір аймақтардың түстері алдын ала таңдалған жағдайда, қалған аймақтарды төрт түстен асырмай бояу мүмкін емес болатын көптеген карталар бар. Қарсы мысалдың беткей тексерушісі осы аймақтардың түстерін өзгертуді ойламауы мүмкін, сондықтан қарсы мысал жарамды болып көрінеді. Бұл жалпы қате түсініктің себебі түс шектеуінің транзитивті еместігі болуы мүмкін: аймақ тек тікелей жанасатын аймақтардан ғана басқа түспен боялуы керек, ал оларға жанасатын аймақтардан емес. Егер шектеу осындай болса, жазық графиктерге өте көп түстер қажет болар еді. Басқа жалған жоққа шығарулар теореманың шарттарын бұзады, мысалы, бірнеше бөлек бөліктерден тұратын аймақты пайдалану немесе бір түстің аймақтарының тек бір нүктеде ғана жанасуына рұқсат ету.
Үш түсті
Кез келген жазық картаны төрт түспен бояуға болады, бірақ кездейсоқ жазық картаны үш түспен бояуға болатынын анықтау NP-толық проблемасы болып табылады. Кубтық картаны тек үш түспен бояуға болады, егер және тек қана әрбір ішкі аймақта жұп саны көршілес аймақтар болса. Мысалы, АҚШ картасында, теңізге шығу жолы жоқ Миссуридің (MO) сегіз көршісі бар (жұп сан): оны олардың бәрінен өзгеше түспен бояу керек, бірақ көршілес аймақтар түстерін алмастыра алады, сондықтан картаның бұл бөлігіне үш түс жеткілікті. Дегенмен, теңізге шығу жолы жоқ Неваданың (NV) бес көршісі бар (тақ сан): оның бір көршісі одан және қалғандарынан өзгеше түспен боялуы керек, сондықтан мұнда төрт түс қажет.
Шексіз графиктер
Төрт түстің теоремасы тек шекті жазық графиктерге ғана емес, сонымен қатар жазықтықта қиылыстарсыз салынатын шексіз графиктерге және тіпті шексіз графиктерге (сан алуан нүктелер санымен болса да) қолданылады, олардың кез келген шекті кіші графигі жазық болады. Мұны дәлелдеу үшін шекті жазық графиктерге арналған теореманың дәлелін Де Брюйн–Эрдос теоремасымен үйлестіруге болады, ол теоремаға сәйкес, егер шексіз графиктің кез келген шекті кіші графигі k түспен боялатын болса, онда бүкіл график та k түспен боялатын болады. Бұл, сондай-ақ, Курт Гёдельдің бірінші реттік логикасының тығыздық теоремасының тікелей салдары ретінде де қарастырылуы мүмкін, жай ғана шексіз графиктің боялуын логикалық формулалар жиынтығы арқылы білдіру арқылы.
Қатты аймақтар
Түстің үш өлшемді денелі аймақтарға кеңейтілуі айқын емес. n икемді таяқшалар жиынтығын қолдану арқылы, әрбір таяқшаның қалған барлық таяқшаларға тиюін қамтамасыз етуге болады. Бұл жағдайда жиынға n түс немесе, әрбір таяқшаға қосымша бос орынды ескерсек, n+1 түс қажет болады. n саны кез келген бүтін сан болуы мүмкін, қалағанша үлкендігіне байланысты. Мұндай мысалдар Фредерик Гатриге 1880 жылы белгілі болған. Тіпті оське параллель кубоидтар үшін (екі кубоид екі өлшемді шекаралық аумақты ортақтасқан жағдайда жақын деп есептелсе) шексіз көп түс қажет болуы мүмкін.
Математиканың басқа салаларымен байланысы
Дрор Бар Натан, өтініштер алгебралары және Васильев инварианттары туралы, төрт түс теоремасына эквивалентті мәлімдеме жасады.
Математикадан тыс қолдану
Елдердің саяси карталарын түсіндіруге деген қызығушылыққа қарамастан, теорема картографтар үшін аса қызықты емес. Математика тарихшысы Кеннет Мэйдің мақаласында айтылғандай: "Төрт түс қолданылатын карталар сирек, ал қолданылса, көбінесе үш түс жеткілікті. Картография және карта жасау тарихы туралы кітаптарда төрт түстің қасиеттері туралы ештеңе жазылмаған". Бұл теорема сондай-ақ, бір елдің (мысалы, Аляска эксклавы және АҚШ-тың қалған бөлігі сияқты) бірімен-бірі жалғаспайтын аймақтарының бір түспен боялуын қамтамасыз ететін, картографиядағы қалыпты талапты да кепілдемейді.